折纸与特殊三角形.doc

课题学习：折纸与特殊直角三角形教学设计内容与学情分析：本讲内容折纸与直角三角形是学生学习了八年级上册第二章特殊三角形后的一个综合应用，学生已学过直角三角形的性质（特别是勾股定理及逆定理），能运用这两个定理进行有关的计算和证明。八年级是学生由形象思维向逻辑思维转化的时期，因此在几何学生上，也由实验几何向演绎推理几何转化。这种转化是学生在经历观察、实验、猜想及证明等活动中完成的，折纸与直角三角形就很适合八年级的知识储备及认识水平，有助于学生从形象思维向逻辑思维转化.教学目标：1 运用实验操作、全等、勾股定理的运用在正方形纸片中折出等腰直角三角形、含30的直角三角形、三边长之比分别为3:4:5和5:12:13的直角三角形。2 体验折纸的乐趣，也更加体会到数学来自于身边。3 激发学生的想象力、发散思维，促进学生的合作与交流。教学重点：运用勾股定理和方程来计算相关的线段的长度.教学难点：如何折出含有30的直角三角形.教学准备：正方形纸片（学生课堂中现场制作）教学手段：动手操作、计算、演绎推理教学过程：一、回顾特殊直角三角形，提出本节课的教学目标特殊直角三角形后两个不是很常见，但是这两组勾股数却常用到。本节课我们利用正方形纸片折出上面的四个直角三角形。（教学生剪出正方形纸片）二、学生动手操作、尝试探索首先介绍折纸的一些要求:(1)只能对折而不能三等分;(2)能把一点折到一条线上.1折出等腰直角三角形问:你们能折出等腰直角三角形吗?图1这个是很好解决的，学生折出来以后，老师再次说明折叠的方法。要求学生说明一下为什么是等腰直角三角形的理由。（如图1如下：）归纳:折出45的角.同步练习：你们能折出一个22.5的角吗?还能得到什么度数的角?这系列的角能用一个代数式表示吗?归纳：利用这种方法可以得到一些特殊值的角，即n（m,n都为正整数）的角.2折出含30的直角三角形问题：(1)哪些图形中含有30的角或60或15的角?(2）怎么解决这个问题?折叠方法如图2所示：图2最后一个图中的ABE=30，请同学们说一下理由。学生讨论，总结发言。可能的说明方法有如下两种：第一种：在RtABG中，AGB=90，BG=AB=AB，所以BAG=30.ABA=60，ABE=ABE=ABA =30.第二种：连接AA,由轴对称可知AA=AB，又AB=AB，所以ABA是等边三角形，所以ABA=60,ABE=ABE=30.归纳：折叠线有特殊用处，特殊点有特殊的数学问题存在.综合练习:(1)你们能折出18.75的角吗? 3.75的角呢?(2)你有什么启发?3折叠出3:4:5的直角三角形。学生可能很快的用以下的方法折出(如下图所示):图3RtBCE的三边之比就是3:4:5.现在我们一起再来看一下另外一种折法,它没有刚才这样的明显(如下)分析思考过程:(1) 首先,直角是现成的,正方形的四个角都是.(2) 假设如图3所示，RtADE的三边DE:DA:AE=3:4:5，那么DA:（DE+EA)=4:8=1:2，而DE+EA=DA=DC，所以DA:DC=1:2.即A是DC的中点.(3) 学生讨论折叠的方法.（如图4所示）图4验证：设正方形的边长为8.在RtADE中，DA=4，设DE=x，那么AE=AE=8-x.由勾股定理得：AE2=AD2+DE2，得（8-x）2=42+x2，解得x=3，8-x=5 ，即DE=3，DA=4，AE=5.DE:DA:AE=3:4:5 .想一想：(1)若设正方形边长为a，那么DE=_，DA=_，AE=_，DE:DA:AE=_. (2)E可能会是AD的中点吗?(这第(1)个问题很重要的,是从特殊到一般的过程,一定要学生经历这一过程)图7变式练习:(1)你们能折出三边长之比是5:12:13三角形吗?有哪些方法?参照折叠出3:4:5的方法折叠出5:12:13直角三角形.思考过程:（1） 首先,直角是现成的,正方形的四个角都是.（2） 假设如图7所示，RtADE的三角形的三边DE:DA:AE=5:12:13，那么DA:（DE+EA)=12:18=2:3，而DE+EA=DA=DC，所以DA:DC=2:3.即A是DC的一个三等分点.（3） 三等分如何得到？（参考后面计算结：H 是BC的一个三等分点，利用H点来折叠）（4） 讨论折叠方法（如图8所示）（5） 验证RtPCH的三边的比是5:12:13.归纳：同第3题问题：如图4中的最后一个图形，AB折叠后的像AB交BC于H，折痕为EF，设正方形的边长为8.（2） 求出折痕EF的长；（3） 求出BF的长；（4） 连接AA，找出图中与DAA相等角;（5） 求证:AH=AD+HB；（6） 求出CH的长；（7） 求出ACH的周长.解答过程如下（简略）（如图5）（1） 连接AA，过F作FGAD于G，由图对称性可知，对称轴直线EF垂直平分AA，DAA=EFG，D=EGF，GF=AB=DA，A ADFEG, EF=AA=4.（2） 由(1)两个三角形全等可知EG= AD=4,BF=AG=8-3-4=1.（3） DAA=AAB=HAA=GEF（4） 如图6,作AMAH于M,则RtA ADAAM，于是AM=AD=AB，连接AH，又得到A ADFEG，得到HM=HB，所以AH=AD+HB.（5） 设CH=y，则MH=HB=8-y,AH=AD+HB=12-y，AC=4，在 RtACH中，AH2=AC2+CH2，（12-y）2=42+y2，解得y=.（6） CACH=16.归纳：抓住全等，列出方程求解.本课小节：折叠问题是一个很有趣的问题，从小学一直到初中都有许多和我们数学相关的问题，只要同学们用心观察，用心思考，一定会