高中数学 1.3.1第1课时函数的单调性学案 新人教A版必修1.doc

13函数的基本性质13.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性学习目标1.了解函数单调性的概念，掌握判断简单函数单调性的方法.2.能用文字语言和数学符号语言描述增函数、减函数、单调性等概念，能准确理解这些定义的本质特点知识链接1x22x2(x1)210；2当x2时，x23x2(x1) (x2)0；3函数y x23x2的对称轴为x.预习导引1定义域为i的函数f(x)的增减性 2函数的单调性与单调区间如果函数yf(x)在区间d上是增函数或减函数，就说函数yf(x)在区间d上具有(严格)的单调性，区间d叫做yf(x)的单调区间解决学生疑难点要点一函数单调性的判定与证明例1求证：函数f(x)在(0，)上是减函数，在(，0)上是增函数证明对于任意的x1，x2(，0)，且x1x2，有f(x1)f(x2).x1x20，x1x20.f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)函数f(x)在(，0)上是增函数对于任意的x1，x2(0，)，且x1x2，有f(x1)f(x2).0x10，x2x10，xx0.f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)函数f(x)在(0，)上是减函数规律方法利用定义证明函数单调性的步骤如下：(1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1x2；(2)作差变形：作差f(x1)f(x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子；(3)定号：确定f(x1)f(x2)的符号；(4)结论：根据f(x1)f(x2)的符号及定义判断单调性跟踪演练1已知函数f(x)，证明：函数f(x)在(1，)上为减函数证明任取x1，x2(1，)，且x1x2.则f(x1)f(x2).x2x11，x2x10，(x11)(x21)0，因此f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以f(x)在(1，)上为减函数要点二求函数的单调区间例2画出函数yx22|x|1的图象并写出函数的单调区间解y即y函数的大致图象如图所示，单调增区间为(，1，0,1，单调减区间为(1,0)，(1，)规律方法1.作出函数的图象，利用图形的直观性能快速判断函数的单调区间，但要注意图象一定要画准确2函数的单调区间是函数定义域的子集，在求解的过程中不要忽略了函数的定义域3一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接跟踪演练2作出函数f(x)的图象，并指出函数的单调区间解f(x)的图象如图所示由图象可知：函数的单调减区间为(，1和(1,2；单调递增区间为(2，)要点三函数单调性的简单应用例3已知函数f(x)x22(a1)x2在区间(，4上是减函数，求实数a的取值范围解f(x)x22(1a)x2x(1a)22(1a)2，f(x)的减区间是(，1af(x)在(，4上是减函数，对称轴x1a必须在直线x4的右侧或与其重合1a4，解得a3.规律方法1.二次函数是常见函数，遇到二次函数后就配方找对称轴，画出图象，会给研究问题带来很大的方便2已知函数单调性求参数的取值范围，要注意数形结合，采用逆向思维方法跟踪演练3(1)例3中，若将“函数在区间(，4上是减函数”改为“函数的单调递减区间为(，4”，则a为何值？解由例3知函数f(x)的单调递减区间为(，1a，1a4，a3.(2)已知yf(x)在定义域(1,1)上是减函数，且f(1a)f(2a1)，则实数a的取值范围为_答案0a解析由题意可知解得0a1.又f(x)在(1,1)上是减函数，且f(1a)2a1，即a.由可知，0a，即所求a的取值范围是0a0，则必有()a函数f(x)先增后减bf(x)是r上的增函数c函数f(x)先减后增d函数f(x)是r上的减函数答案b解析由0知，当ab时，f(a)f(b)；当ab时，f(a)f(2a) bf(a2)f(a2) df(6)f(a)答案c解析因为函数f(x)是增函数，且a3a2，所以f(a3)f(a2)4函数yf(x)在r上为增函数，且f(2m)f(m9)，则实数m的取值范围是()a(，3)b(0，)c(3，)d(，3)(3，)答案c解析因为函数yf(x)在r上为增函数，且f(2m)f(m9)，所以2mm9，即m3.5如图所示为函数yf(x)，x4,7的图象，则函数f(x)的单调递增区间是_答案1.5,3和5,6解析由图象知单调递增区间为1.5,3和5,61对函数单调性的理解(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的x1、x2有以下几个特征：一是任意性，即任意取x1，x2，“任意”二字绝不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x1x2；三是属于同一个单调区间(3)单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系正逆互推，即由f(x)是增(减)函数且f(x1)f(x2)x1x2)(4)并不是所有函数都具有单调性若一个函数在定义区间上既有增区间又有减区间，则此函数在这个区间上不存在单调性2单调性的证明方法证明f(x)在区间d上的单调性应按以下步骤：设元：设x1、x2d且x1x2；作差：将函数值f(x1)与f(x2)作差；变形：将上述差式(因式分解、配方等)变形；判号：对上述变形的结果的正、负加以判断；定论：对f(x)的单调性作出结论其中变形为难点，变形一定要到位，即变形到能简单明了的判断符号的形式为止，切忌变形不到位就定号3单调性的判断方法(1)定义法：利用定义严格判断(2)图象法：作出函数的图象，用数形结合的方法确定函数的单调区间(3)用两个函数和(差)的单调性的规律判断：“增增增”，“减减减”，“增减增”，“减增减”一、基础达标1下列说法中，正确的有()若任意x1，x2i，当x1x2时，0，则yf(x)在i上是增函数；函数yx2在r上是增函数；函数y在定义域上是增函数；函数y的单调区间是(，0)(0，)a0个 b1个 c2个 d3个答案b解析当x1x2时，x1x20，由0知f(x1)f(x2)0，所以f(x1)f(x2)，正确；均不正确2下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是()ay|x| by3xcy dyx24答案a解析 (排除法)函数y3x在r上为减函数，函数y在(0，)上是减函数，函数yx24在0，)上是减函数3若函数f(x)4x2kx8在5,8上是单调函数，则k的取值范围是()a(，40)b40,64c(，4064，)d64，)答案c解析对称轴为x，则5或8，解得k40或k64.4若f(x)为r上的增函数，kf(x)为r上的减函数，则实数k的取值范围是()ak为任意实数 bk0ck0 dk0答案c解析由函数单调性的定义，设x1，x2是任意实数，x1x2，则f(x1)f(x2)，且kf(x2)kf(x1)，得出f(x1)f(x2)0，kf(x1)f(x2)0，则k0.5函数yx|x1|的单调递增区间是_答案(，1，)解析画出函数yx|x1|的图象，如图，可得函数的增区间为(，1，)6. 函数f(x)2x2mx3，当x2，)时是增函数，当x(，2时是减函数，则f(1)_.答案3解析f(x)2(x)23，由题意2，m8.f(1)2128133.7求证：函数f(x)1在区间(，0)上是增函数证明设x1，x2为区间(，0)上的任意两个值，且x1x2，则f(x1)f(x2)(1)(1).因为x1x20，所以x1x20，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)故函数f(x)1在区间(，0)上是增函数二、能力提升8如果函数f(x)ax22x3在区间(，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是()aa baca0 da0答案d解析当a0时，f(x)2x3在区间(，4)上是单调递增的；当a0时，由函数f(x)ax22x3的图象知，不可能在区间(，4)上是单调递增；当a0时，只有4，即a满足函数f(x)在区间(，4)上是单调递增的，综上可知实数a的取值范围是a0.9已知函数f(x)x2bxc的图象的对称轴为直线x1，则()af(1)f(1)f(2)bf(1)f(2)f(1)cf(2)f(1)f(1)df(1)f(1)f(2)答案b解析因为二次函数f(x)的图象的对称轴为直线x1，所以f(1)f(3)又函数f(x)的图象为开口向上的抛物线，则f(x)在区间1，)上为增函数，故f(1)f(2)f(3)，即f(1)f(2)f(1)故选b.10已知f(x)是定义在r上的减函数，那么a的取值范围是_答案，)解析要使f(x)在(，)上为减函数，必须同时满足3个条件：g(x)(3a1)x4a在(，1)上为减函数；h(x)x1在1，)上为减函数；g(1)h(1)a.11讨论函数yx22(2a1)x3在2,2上的单调性解函数图象的对称轴x2a1，当2a12，即a时，函数在2,2上为增函数；当22a12，即a时，函数在2,2a1上是减函数，在2a1,2上是增函数；当2a12，即a时，函数在2,2上是减函数三、探究与创新12已知函数f(x)在实数集中满足f(xy)f(x)f(y)，且f(x)在定义域内是减函数(1)求f(1)的值；(2)若f(2a3)0，试确定a的取值范围解(1)f(xy)f(x)f(y)，令xy1，得f(1)f(1)f(1)，f(1)0.(2)f(2a3)0，即是f(2a3)f(1)f(x)在r上是减函数，2a31，得a2.即a的取值范围为(2，)13设f(x)是定义在(0，)上的函