高考数学总复习 47解三角形应用举例 新人教B版.doc

4-7解三角形应用举例基础巩固强化1.(文)已知两座灯塔a、b与c的距离都是a，灯塔a在c的北偏东20，灯塔b在c的南偏东40，则灯塔a与灯塔b的距离为()aab.ac.a d2a答案b解析由余弦定理可知，ab2a2a22aacos1203a2，得aba，故选b.(理)(2011舟山期末)某人向正东方向走x km后，向右转150，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好 km，那么x的值为()a. b2c2或 d3答案c解析如图，abc中，ac，bc3，abc30，由余弦定理得，ac2ab2bc22abbccosabc，3x296xcos30，x或2.2一艘海轮从a处出发，以每小时40n mile的速度沿东偏南50方向直线航行，30min后到达b处，在c处有一座灯塔，海轮在a处观察灯塔，其方向是东偏南20，在b处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么b、c两点间的距离是()a10n mile b10n milec20n mile d20n mile答案a解析如图，由条件可知abc中，bac30，abc105，ab20，acb45，由正弦定理得，bc10，故选a.3(2012东北三校模拟)一船向正北航行，看见正西方向有相距10n mile的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南60西，另一灯塔在船的南75西，则这艘船的速度是每小时()a5n mile b5n milec10n mile d10n mile答案c解析如图，依题意有bac60，bad75，所以cadcda15，从而cdca10，在rtabc中，求得ab5，这艘船的速度是10(n mile/h)4(2011沧州模拟)有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20，现高不变，将倾斜角改为10，则斜坡长为()a1 b2sin10c2cos10 dcos20答案c解析如图，bd1，dbc20，dac10，在abd中，由正弦定理得，ad2cos10.5.(2012厦门质检)如图所示，在坡度一定的山坡a处测得山顶上一建筑物cd的顶端c对于山坡的斜度为15，向山顶前进100m到达b处，又测得c对于山坡的斜度为45，若cd50m，山坡对于地平面的坡度为，则cos()a. b2c.1 d.答案c解析在abc中，由正弦定理可知，bc50()，在bcd中，sinbdc1.由题图知，cossinadesinbdc1.6.如图，海岸线上有相距5n mile的两座灯塔a、b，灯塔b位于灯塔a的正南方向海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔a的北偏西75方向，与a相距3n mile的d处；乙船位于灯塔b的北偏西60方向，与b相距5n mile的c处，则两艘轮船之间的距离为()a5n mile b2n milec.n mile d3n mile答案c解析连接ac，abc60，bcab5，则ac5.在acd中，ad3，ac5，dac45，由余弦定理得cd.7在地面上一点d测得一电视塔尖的仰角为45，再向塔底方向前进100m，又测得塔尖的仰角为60，则此电视塔高约为_m()a237 b227c247 d257答案a解析解法1：如图，d45，acb60，dc100，dac15，ac，abacsin60237.选a.解法2：在rtabd中，adb45，abbd，bcab100.在rtabc中，acb60，ab15050237.8一船以每小时15km的速度向东航行，船在a处看到一个灯塔m在北偏东60方向，行驶4h后，船到达b处，看到这个灯塔在北偏东15方向，这时船与灯塔的距离为_km.答案30解析如图，依题意有ab15460，mab30，amb45，在三角形amb中，由正弦定理得，解得bm30(km)9(2011洛阳部分重点中学教学检测)在o点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时刻物体位于p点，一分钟后，其位置在q点，且poq90，再过一分钟，该物体位于r点，且qor30，则tanopq的值为_答案解析由于物体做匀速直线运动，根据题意，pqqr，不妨设其长度为1.在rtpoq中，oqsinopq，opcosopq，在opr中，由正弦定理得，在orq中，两式两边同时相除得tanopq.10(2011东北三校二模)港口a北偏东30方向的c处有一检查站，港口正东方向的b处有一轮船，距离检查站为31n mile，该轮船从b处沿正西方向航行20n mile后到达d处观测站，已知观测站与检查站距离21n mile，问此时轮船离港口a还有多远？解析在bdc中，由余弦定理知，coscdb，sincdb.sinacdsin(cdb)sincdbcoscoscdbsin.在acd中，由正弦定理知ad2115(n mile)此时轮船距港口还有15n mile.能力拓展提升11.江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45和30，而且两条船与炮台底部连线成30角，则两条船相距()a10m b100mc20m d30m答案a解析设炮塔顶a、底d，两船b、c，则bad45，cad30，bdc30，ad30，db30，dc10，bc2db2dc22dbdccos30300，bc10.12(2012湖南文，8)在abc中，ac，bc2，b60，则bc边上的高等于()a. b.c. d.答案b解析在abc中，ac2ab2bc22abbccosb，即7ab2422ab，ab22ab30，ab3或ab1(舍去)，则bc边上的高adabsinb3sin60.13(2013安徽省阜阳市第一中学二模)abc为锐角三角形，且msinasinb，ncosacosb，则m与n的大小关系为()amn bmncmn dm，ab0，ba0，sinacosb，sinbcosa，sinasinbcosacosb，mn，故选c.14(2012重庆理，13)设abc的内角a、b、c的对边分别为a、b、c，且cosa，cosb，b3，则c_.答案解析由已知sina，sinb.sincsin(ab)sin(ab)sinacosbcosasinb.由正弦定理，c.15(2012河北衡水中学调研)如图，在山脚a测得山顶p的仰角为30，沿倾斜角为15的斜坡向上走10m到b，在b处测得山顶p的仰角为60，求山高h(单位：m)解析在三角形abp中，abp180，bpa180()abp180()(180).在abp中，根据正弦定理得，ap.又60，30，15，山高为hapsin5(m)16(2011东北四校联考)在海岛a上有一座海拔1 km的山峰，山顶设有一个观察站p，有一艘轮船按一固定方向做匀速直线航行，上午1100时，测得此船在岛北偏东15、俯角为30的b处，到1110时，又测得该船在岛北偏西45、俯角为60的c处(1)求船的航行速度；(2)求船从b到c行驶过程中与观察站p的最短距离解析(1)设船速为xkm/h，则bckm.在rtpab中，pba与俯角相等为30，ab.同理，rtpca中，ac.在acb中，cab154560，由余弦定理得bc，x62km/h，船的航行速度为2km/h.(2)作adbc于点d，连接pd，当航行驶到点d时，ad最小，从而pd最小此时，ad.pd.船在行驶过程中与观察站p的最短距离为km.1(2012重庆理，5)设tan、tan是方程x23x20的两根，则tan()的值为()a3 b1c1 d3答案a解析本题考查了根与系数的关系与两角和的正切公式由已知tantan3，tantan2，所以tan()3.故选a.点评运用根与系数的关系，利用整体代换的思想使问题求解变得简单2(2012重庆文，5)()a bc. d.答案c解析sin47sin(3017)sin30cos17cos30sin17，原式sin30.3(2012上海文，17)在abc中，若sin2asin2bsin2c，则abc的形状是()a钝角三角形 b直角三角形c锐角三角形 d不能确定答案a解析由sin2asin2bsin2c.由正弦定理可得a2b2c2，则由余弦定理cosc0，则角c为钝角，故三角形为钝角三角形4(2012浙江理，18)在abc中，内角a、b、c的对边分别为a、b、c.已知cosa，sinbcosc.(1)求tanc的值；(2)若a，求abc的面积解析(1)0a，cosa，sina，又coscsinbsin(ac)sinacosccosasinccoscsinc.所以tanc.(2)由tanc，得sinc，cosc.于是sinbcosc.由a及正弦定理，得c，设abc的面积为s，则sacsinb.5.(2011郑州一测)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在c处进行该仪器的垂直弹射，观察点a、b两地相距100m，bac60，在a地听到弹射声音的时间比b地晚s.a地测得该仪器在c处时的俯角为15，a地测得最高点h的仰角为30，求该仪器的垂直弹射高度ch.(声音的传播速度为340m/s)解析由题意，设|ac|x，则|bc|x340x40，在abc内，由余弦定理：|bc|2|ba|2|ca|22|ba|ca|cosbac，即(x40)2x210000100x，解得x420.在ach中，|ac|420，cah301545，cha903060，由正弦定理：，可得|ch|ac|140.答：该仪器的垂直弹射高度ch为140m.6在abc中，tana，tanb.(1)求角c的大小；(2)若abc最大边的边长为，求最小边的边长解析(1)c(ab)，tanctan(ab)1.又0c，c.(2)c，ab边最大，即ab.又tanatanb，a、b，角a最小，bc边为最小边且a，sina.由得，bcab.所以，最小边bc.7.如图所示，甲船由a岛出发向北偏东45的方向作匀速直线航行，速度为15n mile/h，在甲船从a岛出发的同时，乙船从a岛正南40n mile处的b岛出发，朝北偏东(arctan)的方向作匀速直线航行，速度为10n mile/h.(1)求出发后3h两船相距多少海里？(2)求两船出发后多长时间相距最近？最近距离为多少海里？(3)两船在航行中能否相遇？试说明理由解析以a为原点，ba所在直线为y轴建立平面直角坐标系设在t时刻甲、乙两船分别在p(x1，y1)，q(x2，y2)，则x115tcos4515t