2006年全国中考数学压轴题全解全析（完整版第二辑）.doc

2006年全国中考数学压轴题集锦（完整版第二辑）27、（山东青岛课改卷 ）如图，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起（点A与点E重合），已知AC8cm，BC6cm，C90，EG4cm，EGF90，O 是EFG斜边上的中点如图，若整个EFG从图的位置出发，以1cm/s 的速度沿射线AB方向平移，在EFG 平移的同时，点P从EFG的顶点G出发，以1cm/s 的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，EFG也随之停止平移设运动时间为x（s），FG的延长线交 AC于H，四边形OAHP的面积为y（cm2)（不考虑点P与G、F重合的情况）（1）当x为何值时，OPAC ?（2）求y与x 之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围（3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP面积与ABC面积的比为1324？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由（参考数据：1142 12996，1152 13225，1162 13456或4.42 19.36，4.52 20.25，4.62 21.16）解 （1）RtEFGRtABC ，FG3cm 当P为FG的中点时，OPEG ，EGAC ，OPAC x 31.5（s）当x为1.5s时，OPAC （2）在RtEFG 中，由勾股定理得：EF 5cmEGAH ，EFGAFH AH（ x 5），FH（x5）过点O作ODFP ，垂足为 D 点O为EF中点，ODEG2cmFP3x ，S四边形OAHP SAFH SOFPAHFHODFP（x5）（x5）2（3x ）x2x3 （0x3 （3）假设存在某一时刻x，使得四边形OAHP面积与ABC面积的比为1324则S四边形OAHPSABCx2x3686x285x2500解得 x1， x2 （舍去）0x3，当x（s）时，四边形OAHP面积与ABC面积的比为1324 点评本题是比较常规的动态几何压轴题，第1小题运用相似形的知识容易解决，第2小题同样是用相似三角形建立起函数解析式，要说的是本题中说明了要写出自变量x的取值范围，而很多试题往往不写，要记住自变量x的取值范围是函数解析式不可分离的一部分，无论命题者是否交待了都必须写，第3小题只要根据函数解析式列个方程就能解决。29、（江西课改卷）问题背景 某课外学习小组在一次学习研讨中，得到如下两个命题： 如图1，在正三角形ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若BON = 60，则BM = CN. 如图2，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，若BON = 90,则BM = CN.然后运用类比的思想提出了如下的命题： 如图3，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，若BON = 108，则BM = CN.任务要求 （1）请你从、三个命题中选择一个进行证明； （2）请你继续完成下面的探索： 如图4，在正n（n3）边形ABCDEF中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，问当BON等于多少度时，结论BM = CN成立？（不要求证明） 如图5，在五边形ABCDE中，M、N分别是DE、AE上的点，BM与CN相交于点O，当BON = 108时，请问结论BM = CN是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.（1）我选 .证明：解 （1）选命题证明：在图1中， BON = 60， CBM +BCN = 60. BCN +ACN = 60， CBM =ACN. 又 BC = CA， BCM =CAN = 60， BCM CAN. BM = CN. 选命题证明：在图2中， BON = 90， CBM +BCN = 90. BCN +DCN = 90， CBM =DCN. 又 BC = CD， BCM =CDN = 90， BCM CDN. BM = CN. 选命题证明：在图3中， BON = 108， CBM +BCN = 108 BCN +DCN = 108， CBM =DCN. 又 BC = CD， BCM =CDN = 108， BCM CDN. BM = CN. （2） 当BON = 时，结论BM = CN成立. BM = CN成立.证明：如图5，连结BD、CE.在BCD和CDE中， BC = CD，BCD =CDE = 108，CD = DE， BCD CDE. BD = CE，BDC =CED，DBC =ECD. OBC +OCB = 108，OCB +OCD = 108， MBC =NCD.又 DBC =ECD = 36， DBM =ECN. BDM ECN. 点评本题是一道非常典型的几何探究题，很好地体现了从一般到特殊的数学思想方法，引导学生渐渐地从易走到难，是新课标形势下的成熟压轴题。35、（四川课改卷）如图，在平面直角坐标系中，已知点，以为边在轴下方作正方形，点是线段与正方形的外接圆除点以外的另一个交点，连结与相交于点（1）求证：；（2）设直线是的边的垂直平分线，且与相交于点若是的外心，试求经过三点的抛物线的解析表达式；（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点，使该点关于直线的对称点在轴上？若存在，求出所有这样的点的坐标；若不存在，请说明理由AEODCBGFxyl解 （1）在和中，四边形是正方形，又，（2）由（1），有，点是的外心，点在的垂直平分线上点也在的垂直平分线上为等腰三角形，而，设经过三点的抛物线的解析表达式为抛物线过点，把点，点的坐标代入中，得即解得抛物线的解析表达式为（3）假定在抛物线上存在一点，使点关于直线的对称点在轴上是的平分线，轴上的点关于直线的对称点必在直线上，即点是抛物线与直线的交点AEODCBGFxylQ设直线的解析表达式为，并设直线与轴交于点，则由是等腰直角三角形把点，点代入中，得直线的解析表达式为设点，则有把代入，得，即解得或当时，；当时，在抛物线上存在点，它们关于直线的对称点都在轴上点评本题有一定的难度，综合性也比较强，有一定的新意，第3小问有些难度，有一定的能力要求，解这种题时需冷静地分析题意，找到切入点不会很难。337、（广东课改卷）如图所示，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，BCOA，OA=7，AB=4， COA=60，点P为x轴上的个动点，点P不与点0、点A重合连结CP，过点P作PD交AB于点D（1）求点B的坐标；（2）当点P运动什么位置时，OCP为等腰三角形，求这时点P的坐标；（3）当点P运动什么位置时，使得CPD=OAB，且=，求这时点P的坐标。解 （1）作BQx轴于Q. 四边形ABCD是等腰梯形,BAQCOA60在RtBQA中,BA=4,BQ=ABsinBAO=4sin60=AQ=ABcosBAO=4cos60=2,OQ=OA-AQ=7-2=5点B在第一象限内,点B的的坐标为(5, )（2）若OCP为等腰三角形,COP=60,此时OCP为等边三角形或是顶角为120的等腰三角形若OCP为等边三角形,OP=OC=PC=4,且点P在x轴的正半轴上,点P的坐标为(4,0)若OCP是顶角为120的等腰三角形,则点P在x轴的负半轴上,且OP=OC=4点P的坐标为(-4,0)点P的坐标为(4,0)或(-4,0)（3）若CPD=OABCPA=OCP+COP而OAB=COP=60,OCP=DPA此时OCPADP,AD=AB-BD=4-=AP=OA-OP=7-OP得OP=1或6点P坐标为(1,0)或(6,0).点评本题是一道动态几何压轴题，对学生的分类思想作了重点的考查，是一道很不错区分度较好的压轴题。40、（广西玉林卷）在矩形中，以为坐标原点，所在的直线为轴，建立直角坐标系然后将矩形绕点逆时针旋转，使点落在轴的点上，则和点依次落在第二象限的点上和轴的点上（如图）（1）求经过三点的二次函数解析式；（2）设直线与（1）的二次函数图象相交于另一点，试求四边形的周长（3）设为（1）的二次函数图象上的一点，求点的坐标解 （1）解：由题意可知， ， 设经过三点的二次函数解析式是把代入之，求得 3分所求的二次函数解析式是： （2）解：由题意可知，四边形为矩形，且 直线与二次函数图象的交点的坐标为， 与与关于抛物线的对称轴对称， 四边形的周长 （3）解法1：设交轴于，即，于是 设直线的解析式为把，代入之，得解得 联合一次，二次函数解析式组成方程组解得或（此组数为点坐标）所求的点坐标为 解法2：过作轴于由，得设所求点的横坐标为，则纵坐标为 ， ，解之，得或 经检验可知，是原方程的根；是原方程的增根，故应舍去当时，所求的点坐标为 点评此题的综合性较强，考查的知识点较多，但是解法较多，使试题的切入点也较多，很容易入题。41、（山东济南课改卷）如图1，已知中，过点作，且，连接交于点（1）求的长；（2）以点为圆心，为半径作，试判断与是否相切，并说明理由；（3）如图2，过点作，垂足为以点为圆心，为半径作；以点为圆心，为半径作若和的大小是可变化的，并且在变化过程中保持和相切，且使点在的内部，点在的外部，求和的变化范围ABCPEEABCP图1图2解 （1）在中， ， （2）与相切 在中， 又，与相切 （3）因为，所以的变化范围为 当与外切时，所以的变化范围为；当与内切时，所以的变化范围为点评本题是一道比较传统的几何综合题，第1题运用相似三角形知识即可得解，第2小题也较基础，第3小题注意要分类，试题中只说明了“和相切”，很多同学漏解往往是由于没有仔细读题和审题。42、（江苏宿迁课改卷）设边长为2a的正方形的中心A在直线l上，它的一组对边垂直于直线l，半径为r的O的圆心O在直线l上运动，点A、O间距离为d（1）如图，当ra时，根据d与a、r之间关系，将O与正方形的公共点个数填入下表：d、a、r之间关系公共点的个数dar图darardardardar所以，当ra时，O与正方形的公共点的个数可能有个；（2）如图，当ra时，根据d与a、r之间关系，将O与正方形的公共点个数填入下表：d、a、r之间关系图公共点的个数dardaradarda所以，当ra时，O与正方形的公共点个数可能有个；图（3）如图，当O与正方形有5个公共点时，试说明ra；（4）就ra的情形，请你仿照“当时，O与正方形的公共点个数可能有 个”的形式，至少给出一个关于“O与正方形的公共点个数”的正确结论解 图（1）d、a、r之间关系公共点的个数dar0dar1ardar2dar1dar0 所以，当ra时，O与正方形的公共点的个数可能有0、1、2个； 图（2）d、a、r之间关系公共点的个数dar0dar1adar2da4所以，当ra时，O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、4个； （3）方法一：如图所示，连结OC则OEOCr ，OFEFOE2ar BCDFE 在RtOCF中，由勾股定理得： OF2FC2OC2即（2ar）2a2r2 4a24arr2a2r2 5a24ar5a4r r a BNE方法二：如图，连结BD、OE、BE、DE 四边形BCMN为正方形CMN90BD为O的直径，BED90MDBENDEM 90CBENEBN90DEMEBNBNEEMD DMa 由OE是梯形BDMN的中位线得OE（BNMD）a（4）当ar时，O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、4、6、7、8个；当ra时，O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、5、8个；当时，O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4、6、8个；当时，O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4个；当时，O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4个点评本题是一道较为新颖的几何压轴题，考查圆、相似、正方形等几何知识，综合性较强，有一定的难度，试题的区分度把握非常得当，是一道很不错的压轴题。43、（山东枣庄课改卷）半径为2.5的O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P已知BC ：CA4 : 3，点P在上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点O（1）当点P与点C关于AB对称时，求CQ的长；（2）当点P运动到的中点时，求CQ的长； （3）当点P运动到什么位置时，CQ取到最大值？求此时CQ的长解 （1）当点P与点C关于AB对称时，CPAB，设垂足为D. AB为O的直径， ACB=900. AB=5,AC:CA=4:3, BC=4, AC=3. 又ACBC=ABCD 在RtACB和RtPCQ中， ACBPCQ=900, CABCPQ， RtACBRtPCQ （2）当点P运动到弧AB的中点时，过点B作BEPC于点E（如图）. P是弧AB的中点， 又CPB=CAB CPB= tanCAB= 而从 由（l）得， （3）点P在弧AB上运动时，恒有 故PC最大时，CQ取到最大值 当PC过圆心O，即PC取最大值5时，CQ 最大值为 点评本题属于常规的几何综合题，解第3小问时要有动态的思想（在草稿上画画图）不难猜想出结论。45、（陕西课改卷）王师傅有两块板材边角料，其中一块是边长为60的正方形板子；另一块是上底为30，下底为120，高为60的直角梯形板子（如图），王师傅想将这两块板子裁成两块全等的矩形板材。他将两块板子叠放在一起，使梯形的两个直角顶点分别与正方形的两个顶点重合，两块板子的重叠部分为五边形ABCDE围成的区域（如图），由于受材料纹理的限制，要求裁出的矩形要以点B为一个顶点。（1）求FC的长；（2）利用图求出矩形顶点B所对的顶点到BC边的距离为多少时，矩形的面积最大？最大面积时多少？（3）若想使裁出的矩形为正方形，试求出面积最大的正方形的边长。解：（1）由题意，得DEFCGF， ， （2）如图，设矩形顶点B所对顶点为P，则 当顶点P在AE上时， 的最大值为当顶点P在EF上时，过点P分别作于点N，于点M。根据题意，得GFCGPN，当时，的最大值为2400（）当顶点P在FC上时，的最大值为综合，得时，矩形的面积最大，最大面积为2400 （3）根据题意，正方形的面积与边长满足的函数表达式为： 当时，正方形的面积最大，解之，得（舍），（）。面积最大得正方形得边长为48。点评本题是一道几何应用问题，在解第2题时不要忘了分类讨论求出每一种情况的最大值后再进行比较得出结论，第3小题只需根据题意列出方程就能解决。46、（四川攀枝花卷）已知抛物线与y轴的交点为C，顶点为M，直线CM的解析式并且线段CM的长为（1）求抛物线的解析式。（2）设抛物线与x轴有两个交点A（X1 ，0）、B（X2 ，0），且点A在B的左侧，求线段AB的长。（3）若以AB为直径作N，请你判断直线CM与N的位置关系，并说明理由。解 （1）解法一：由已知，直线CM：y=x2与y轴交于点C（0,2）抛物线过点C（0,2），所以c=2，抛物线的顶点M在直线CM上，所以若b0，点C、M重合，不合题意，舍去，所以b2。即M过M点作y轴的垂线，垂足为Q，在所以，解得，。所求抛物线为： 或以下同下。（1）解法二：由题意得C(0 , 2),设点M的坐标为M（x ，y）点M在直线上，由勾股定理得，=，即解方程组 得 M（-2，4） 或 M （2，0）当M（-2，4）时，设抛物线解析式为，抛物线过（0，2）点，当M（2，0）时，设抛物线解析式为抛物线过（0，2）点，所求抛物线为： 或（2）抛物线与x轴有两个交点，不合题意，舍去。抛物线应为：抛物线与x轴有两个交点且点A在B的左侧，得（3）AB是N的直径，r = ， N（2，0），又M（2，4），MN = 4设直线与x轴交于点D，则D（2，0），DN = 4，可得MN = DN，作NGCM于G，在= r 即圆心到直线CM的距离等于N的半径直线CM与N相切 点评本题综合性较强，综合了函数、方程、圆等知识，解第3小题时可以根据图形的直观对结论进行猜想再证明。47、（重庆课改卷）如图1所示，一张三角形纸片ABC，ACB=90,AC=8,BC=6.沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成和两个三角形（如图2所示）.将纸片沿直线（AB）