48通信原理第四十八讲.pdf

通信原理 通信原理 第四十八讲第四十八讲 一 二进制确知信号最佳接收机误码性能 相关器形式的最佳接收机与匹配滤波器形式的最佳接收机是等价的 下面从 相关器形式的最佳接收机角度来分析这个问题 a 输出误码率 总的误码率为 8 3 15 1 122 ess PP s P sP s Ps 2 1 分析与的方法相同 我们以分析为例 2 1 sPs 1 2 sPs 2 1 sPs 设发送信号为 接收机输入端合成波为 1 ts 1 y ts tn t 8 3 16 其中是高斯白噪声 其均值为零 方差为 若 tn 2 n 1122 00 TT Uy t s t dtUy t s t dt dt 8 3 17 判为出现 则是正确判决 若 1 ts 1122 00 TT Uy t s t dtUy t s t 8 3 18 判为出现 则是错误判决 2 ts 将 1 tntsty 代入式 8 3 18 可得 111212 00 TT Us tn ts t dtUs tn ts t dt 8 3 19 代入 ln 2 1 0 1 sP n U 和 ln 2 2 0 2 sP n U 可得 00 111212 00 ln ln 22 TT nn P ss tn ts t dtP ss tn ts t dt 8 3 20 利用和能量相等的条件 式 8 3 20 可简化为 1 s t 2 s t 2 02 1212 00 1 1 ln 2 2 T nP s n ts ts tdts ts tdt P s T 8 3 21 8 1 式 8 3 21 左边是随机变量 令为 12 0 T n ts ts tdt 8 3 22 式 8 3 21 右边是常数 令为a 2 02 12 0 1 1 ln 2 2 T nP s as t P s s tdt 8 3 23 式 8 3 21 可简化为 a 8 3 24 判为出现 产生错误判决 相应的错误概率为 2 ts 1 2 s P sPa 8 3 25 只要求出随机变量 的概率密度函数 即可计算出式 8 3 25 的数值 高斯型随机过程的积分是一个高斯型随机变量 所以 是一个高斯随机变量 的数学期望为 12 0 T EEn ts ts td t 12 0 T E n ts ts tdt 8 3 26 由于 0E n t 所以有 0E 的方差为 22 1212 00 TT DEEn ts ts tnssdtd 1212 00 TT E n t ns ts tssdtd 8 3 27 式中 ntnE为高斯白噪声的自相关函数 tn 0 0 0 2 2 0 n tn E n t nt t 8 3 28 8 2 将上式代入式 8 3 27 可得 2 0 12 0 2 T n s ts tdt 2 8 3 29 于是可以写出 的概率密度函数为 2 2 1 exp 22 f 8 3 30 至此可得发送将其错误判决为的概率为 1 ts 2 ts 1 2 2 1 exp 22 s b x P sPadx 8 3 31 利用相同的分析方法可以得到发送将其错误判决为的概率为 2 ts 1 ts 2 2 1 1 exp 22 s b x Psdx 8 3 32 系统总的误码率为 12 122 ess PP s P sP s Ps 1 22 12 11 exp exp 2222 bb xx P sdxP sdx 8 3 33 式中b和b分别为 1 2 2 12 0 20 12 0 0 ln 1 21 2 2 T T P s P s bs ts tdt n s ts tdt n 8 3 34 2 2 1 12 0 20 12 0 0 ln 1 21 2 2 T T P s P s bs ts tdt n s ts tdt n 8 3 35 由式 8 3 33 式 8 3 34 和式 8 3 35 可以看出 最佳接收机的误码性能与先 验概率 1 P s 2 P s 0 n 1 s t 2 s t 1 s t和 噪声功率谱密度及之差的能量有关 而与 2 s t本身的具体结构无关 和 8 3 b 最佳信号形式 一般情况下先验概率不容易确定 通常选择先验等概的假设设计最佳接收 机 比较式 8 3 34 和式 8 3 35 可以看出 当发送信号先验概率相等时 bb 此时误码率可表示为 2 11 exp 2222 e A xA Pdx erfc 8 3 36 式中 2 12 0 0 1 2 T As ts t n dt 8 3 37 为了分析方便 我们定义和之间的互相关系数为 1 ts 2 ts 12 0 T s t s t dt E 8 3 38 式中E是信号和在 1 ts 2 tsTt 0期间的平均能量 当和具有相等 的能量时 1 ts 2 ts 8 3 39 12b EEEE 将和 b E 代入式 8 3 37 可得 0 1 b E A n 8 3 40 此时 式 8 3 36 可表示为 0 1 1 22 b e E Perfc n 8 3 41 上式即为二进制确知信号最佳接收机误码率一般表示式 它与信噪比 0 n Eb 及发送 信号之间的互相关系数 有关 由互补误差函数的性质 为了得到最小的误码率 xerfc e P 就要使 0 2 1 n Eb 最大化 当信号能量和噪声功率谱密度一定时 误码率就是互相关系数 b E 0 n e P 8 4 的函数 互相关系数 愈小 误码率也愈小 要获得最小的误码率 就要 求出最小的互相关系数 e P e P 根据互相关系数 的性质 的取值范围为 11 1 e P时 误码率将达到最小 此时误码率为 当取最小值 0 1 2 b e E Perfc n 8 3 42 上式即为发送信号先验概率相等时二进制确知信号最佳接收机所能达到的最小发送信号先验概率相等时二进制确知信号最佳接收机所能达到的最小 误码率误码率 此时相应的发送信号和之间的互相关系数 1 ts 2 ts1 也就是说 当发送二进制信号和之间的互相关系数 1 ts 2 ts1 时的波形就称为是最佳 波形 最佳 波形 当互相关系数0 时 误码率为 0 1 22 b e E Perfc n 8 3 43 若互相关系数1 则误码率为 1 2 e P 若发送信号和是不等能量信号 如 1 ts 2 ts0 1 E b EE 2 0 发送 信号和的平均能量为 1 ts 2 ts 2 b E E 在这种情况下误码率表示式 8 3 43 变为 0 1 24 b e E Perfc n 8 3 44 在第五章数字基带传输系统误码率性能分析中我们知道 双极性信号的误码 率低于单极性信号 其原因之一就是双极性信号之间的互相关系数1 而单 极性信号之间的互相关系数0 在第七章数字频带传输系统误