【步步高】（浙江专用）高考数学 考前三个月 专题六 第二讲圆锥曲线的方程与性质.doc

第二讲圆锥曲线的方程与性质圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质名称椭圆双曲线抛物线定义|pf1|pf2|2a(2a|f1f2|)|pf1|pf2|2a(2a|f1f2|)|pf|pm|，点f不在直线l上，pml于m标准方程1(ab0)1(a0，b0)y22px(p0)图形几何性质范围|x|a，|y|b|x|ax0顶点(a,0)(0，b)(a,0)(0,0)对称性关于x轴，y轴和原点对称关于x轴对称焦点(c,0)(，0)轴长轴长2a，短轴长2b实轴长2a，虚轴长2b离心率e (0e1)e (e1)e1准线x渐近线yx1 (2013课标全国)设抛物线c：y22px(p0)的焦点为f，点m在c上，|mf|5，若以mf为直径的圆过点(0,2)，则c的方程为()ay24x或y28x by22x或y28xcy24x或y216x dy22x或y216x答案c解析由题意知：f，抛物线的准线方程为x，则由抛物线的定义知，xm5，设以mf为直径的圆的圆心为，所以圆的方程为22，又因为圆过点(0,2)，所以ym4，又因为点m在c上，所以162p，解得p2或p8，所以抛物线c的方程为y24x或y216x，故选c.2 (2013课标全国)已知双曲线c：1(a0，b0)的离心率为，则c的渐近线方程为()ayx byxcyx dyx答案c解析由e知，a2k，ck(kr)，由b2c2a2k2知bk.所以.即渐近线方程为yx.故选c.3 (2013山东)抛物线c1：yx2(p0)的焦点与双曲线c2：y21的右焦点的连线交c1于第一象限的点m.若c1在点m处的切线平行于c2的一条渐近线，则p等于()a. b. c. d.答案d解析抛物线c1的标准方程为：x22py，其焦点f为，双曲线c2的右焦点f为(2,0)，渐近线方程为：yx.由yx得xp，故m.由f、f、m三点共线得p.4 (2013福建)椭圆：1(ab0)的左，右焦点分别为f1，f2，焦距为2c.若直线y(xc)与椭圆的一个交点m满足mf1f22mf2f1，则该椭圆的离心率等于_答案1解析由直线方程为y(xc)，知mf1f260，又mf1f22mf2f1，所以mf2f130，mf1mf2，所以|mf1|c，|mf2|c，所以|mf1|mf2|cc2a.即e1.5 (2013浙江)设f为抛物线c：y24x的焦点，过点p(1,0)的直线l交抛物线c于a、b两点，点q为线段ab的中点，若|fq|2，则直线l的斜率等于_答案1解析设直线l的方程为yk(x1)，a(x1，y1)、b(x2，y2)、q(x0，y0)解方程组.化简得：k2x2(2k24)xk20，x1x2，y1y2k(x1x22).x0，y0.由2得：224.k1.题型一圆锥曲线的定义与标准方程例1(1)在平面直角坐标系xoy中，椭圆c的中心为原点，焦点f1，f2在x轴上，离心率为.过f1的直线l交c于a，b两点，且abf2的周长为16，那么椭圆c的方程为_(2)已知p为椭圆y21和双曲线x21的一个交点，f1，f2为椭圆的两个焦点，那么f1pf2的余弦值为_审题破题(1)根据椭圆定义，abf2的周长4a，又e可求方程；(2)在焦点f1pf2中使用余弦定理答案(1)1(2)解析(1)设椭圆方程为1，由e知，故.由于abf2的周长为|ab|bf2|af2|af1|af2|bf1|bf2|4a16，故a4.b28.椭圆c的方程为1.(2)由椭圆和双曲线的方程可知，f1，f2为它们的公共焦点，不妨设|pf1|pf2|，则，所以.又|f1f2|2，由余弦定理可知cosf1pf2.反思归纳圆锥曲线的定义反映了它们的基本特征，理解定义是掌握其性质的基础因此，对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|pf1|pf2|f1f2|，双曲线的定义中要求|pf1|pf2|0，b0)的两个焦点f1，f2，m为双曲线上一点，且满足f1mf290，点m到x轴的距离为.若f1mf2的面积为14，则双曲线的渐近线方程为_答案yx解析由题意得2c14，所以c4.又所以a，b.所以渐近线方程为yx.(2)设斜率为2的直线l过抛物线y2ax(a0)的焦点f，且和y轴交于点a，若oaf(o为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为_答案y28x解析抛物线y2ax(a0)的焦点坐标为，过焦点且斜率为2的直线方程为y2，令x0得y.oaf的面积为4，a264，a8.抛物线方程为y28x.题型二圆锥曲线的性质例2(1)等轴双曲线c的中心在原点，焦点在x轴上，c与抛物线y216x的准线交于a，b两点，|ab|4，则c的实轴长为()a. b2 c4 d8(2)设圆锥曲线c的两个焦点分别为f1，f2，若曲线c上存在点p满足|pf1|f1f2|pf2|432，则曲线c的离心率等于()a.或 b.或2c.或2 d.或审题破题(1)利用抛物线的几何性质结合方程组求解；(2)由于已知圆锥曲线的两个焦点，所以该圆锥曲线为椭圆或双曲线，再由离心率的定义即可求解答案(1)c(2)a解析(1)设c：1.抛物线y216x的准线为x4，联立1和x4得a(4，)，b(4，)，|ab|24，a2，2a4.c的实轴长为4.(2)当曲线c为椭圆时，e；当曲线c为双曲线时，e.反思归纳(1)求椭圆或双曲线的离心率的方法：直接求出a和c，代入e；建立关于a，b，c的方程或不等式，然后把b用a，c代换通过解关于的方程或不等式求得离心率的值或范围(2)研究圆锥曲线的几何性质，实质是求参数a、b、c或者建立a、b、c的关系式(等式或不等式)，然后根据概念讨论相应的几何性质变式训练2(1)已知o为坐标原点，双曲线1(a0，b0)的右焦点为f，以of为直径作圆与双曲线的渐近线交于异于原点的两点a，b，若()0，则双曲线的离心率e为()a2 b3 c. d.答案c解析如图，设of的中点为t，由()0可知atof，又a在以of为直径的圆上，a，又a在直线yx上，ab，e.(2)已知双曲线1 (a0，b0)的左顶点与抛物线y22px (p0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2，1)，则双曲线的焦距为()a2 b2 c4 d4答案b解析由，解得，由题意得，得，又知a4，故a2，b1，c，焦距2c2.题型三直线与圆锥曲线的位置关系例3已知椭圆c：1(ab0)的离心率为，过右焦点f的直线l与c相交于a，b两点当l的斜率为1时，坐标原点o到l的距离为.(1)求a、b的值；(2)c上是否存在点p，使得当l绕f转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的p的坐标与l的方程；若不存在，说明理由审题破题(1)由直线l的斜率为1过焦点f，原点o到l的距离为可求解；(2)需分直线l的斜率存在或不存在两种情况讨论设a(x1，y1)，b(x2，y2)，由条件可得p点坐标，结合a、b、p在椭圆上列等式消元求解解(1)设f(c,0)，当l的斜率为1时，其方程为xyc0，o到l的距离为，故，c1.由e，得a，b.(2)c上存在点p，使得当l绕f转到某一位置时，有成立由(1)知c的方程为2x23y26.设a(x1，y1)，b(x2，y2)()当l不垂直于x轴时，设l的方程为yk(x1)c上的点p使成立的充要条件是p点坐标为(x1x2，y1y2)，且2(x1x2)23(y1y2)26，整理得2x3y2x3y4x1x26y1y26，又a、b在椭圆c上，即2x3y6,2x3y6，故2x1x23y1y230.将yk(x1)代入2x23y26，并化简得(23k2)x26k2x3k260，于是x1x2，x1x2，y1y2k2(x11)(x21).代入解得k22，此时x1x2.于是y1y2k(x1x22)，即p.因此，当k时，p，l的方程为xy0；当k时，p，l的方程为xy0.()当l垂直于x轴时，由(2,0)知，c上不存在点p使成立综上，c上存在点p使成立，此时l的方程为xy0.反思归纳解决直线与圆锥曲线位置关系问题的步骤：(1)设方程及点的坐标；(2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程(注意二次项系数是否为零)；(3)应用根与系数的关系及判别式；(4)结合已知条件、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解变式训练3(2013浙江)如图，点p(0，1)是椭圆c1：1(ab0)的一个顶点，c1的长轴是圆c2：x2y24的直径l1，l2是过点p且互相垂直的两条直线，其中l1交圆c2于a，b两点，l2交椭圆c1于另一点d.(1)求椭圆c1的方程；(2)求abd面积取最大值时直线l1的方程解(1)由题意得所以椭圆c1的方程为y21.(2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，d(x0，y0)由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，则直线l1的方程为ykx1.又圆c2：x2y24，故点o到直线l1的距离d，所以|ab|22 .又l2l1，故直线l2的方程为xkyk0.由消去y，整理得(4k2)x28kx0，故x0.所以|pd|.设abd的面积为s，则s|ab|pd|，所以s，当且仅当k时取等号所以所求直线l1的方程为yx1.典例(14分)在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆c1：1(ab0)的左焦点为f1(1,0)，且点p(0,1)在c1上(1)求椭圆c1的方程；(2)设直线l同时与椭圆c1和抛物线c2：y24x相切，求直线l的方程规范解答解(1)因为椭圆c1的左焦点为f1(1,0)，所以c1.将点p(0,1)代入椭圆方程1，得1，即b1，所以a2b2c22.所以椭圆c1的方程为y21.4分(2)由题意可知，直线l的斜率显然存在且不等于0，设直线l的方程为ykxm，由消去y并整理得(12k2)x24kmx2m220.因为直线l与椭圆c1相切，所以116k2m24(12k2)(2m22)0.整理得2k2m210.7分由消去y并整理得k2x2(2km4)xm20.因为直线l与抛物线c2相切，所以2(2km4)24k2m20，整理得km1.10分综合，解得或所以直线l的方程为yx或yx.14分评分细则(1)得到b1给2分；(2)两个判别式应用中，得到化简后的方程均给1分，判别式等于0没化简不扣分；(3)k、m的值不全扣2分阅卷老师提醒(1)对于直线和圆锥曲线相切的问题，除曲线为y2ax形式的，一般都利用判别式(2)直线和圆锥曲线是高考热点，判别式、弦长公式、设而不求思想是常用工具1 (2013四川)抛物线y24x的焦点到双曲线x21的渐近线的距离是()a. b. c1 d.答案b解析抛物线y24x的焦点f(1,0)，双曲线x21的渐近线是yx，即xy0，所求距离为.选b.2 (2013湖北)已知02k0，即解得1k0)的焦点为f，其准线与双曲线1相交于a、b两点，若abf为等边三角形，则p_.答案6解析因为abf为等边三角形，所以由题意知b，代入方程1得p6.5 (2013湖南)设f1，f2是双曲线c：1(a0，b0)的两个焦点，p是c上一点，若|pf1|pf2|6a且pf1f2的最小内角为30，则双曲线c的离心率为_答案解析不妨设|pf1|pf2|，则|pf1|pf2|2a，又|pf1|pf2|6a，|pf1|4a，|pf2|2a.又在pf1f2中，pf1f230，由正弦定理得，pf2f190，|f1f2|2a，双曲线c的离心率e.6 (2013辽宁)已知椭圆c：1(ab0)的左焦点为f，椭圆c与过原点的直线相交于a，b两点，连接af，bf.若|ab|10，|af|6，cosabf，则c的离心率e_.答案解析如图，在abf中，|ab|10，|af|6，且cosabf，设|bf|m，由余弦定理，得62102m220m，m216m640，m8.因此|bf|8，afbf，c|of|ab|5.设椭圆右焦点为f，连接bf，af，由对称性，|bf|af|6，2a|bf|bf|14.a7，因此离心率e.专题限时规范训练一、选择题1 (2013广东)已知中心在原点的双曲线c的右焦点为f(3,0)，离心率等于，则c的方程是()a.1 b.1c.1 d.1答案b解析由题意知：c3，e，a2；b2c2a2945，故所求双曲线方程为1.2 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点o，并且经过点m(2，y0)若点m到该抛物线焦点的距离为3，则|om|等于()a2 b2 c4 d2答案b解析由题意设抛物线方程为y22px(p0)，则m到焦点的距离为xm23，p2，y24x.y428，|om|2.3 已知双曲线c：1 (a0，b0)的左，右焦点分别为f1，f2，过f2作双曲线c的一条渐近线的垂线，垂足为h，若f2h的中点m在双曲线c上，则双曲线c的离心率为()a. b. c2 d3答案a解析取双曲线的渐近线yx，则过f2与渐近线垂直的直线方程为y(xc)，可解得点h的坐标为，则f2h的中点m的坐标为，代入双曲线方程1可得1，整理得c22a2，即可得e，故应选a.4 设f1、f2分别是双曲线x21的左、右焦点，若点p在双曲线上，且0，则|等于()a. b2c. d2答案b解析如图，由0，可得，又由向量加法的平行四边形法则可知pf1qf2为矩形，因为矩形的对角线相等，故有|2c2，所以选b.5 已知抛物线y22px(p0)的焦点为f，p、q是抛物线上的两个点，若pqf是边长为2的正三角形，则p的值是()a2 b2c.1 d.1答案a解析依题意得f，设p，q(y1y2)由抛物线定义及|pf|qf|，得，yy，y1y2.又|pq|2，因此|y1|y2|1，点p.又点p位于该抛物线上，于是由抛物线的定义得|pf|2，由此解得p2，故选a.6 (2013浙江)如图，f1，f2是椭圆c1：y21与双曲线c2的公共焦点，a，b分别是c1，c2在第二、四象限的公共点若四边形af1bf2为矩形，则c2的离心率是()a. b. c. d.答案d解析|f1f2|2.设双曲线的方程为1.|af2|af1|4，|af2|af1|2a，|af2|2a，|af1|2a.在rtf1af2中，f1af290，|af1|2|af2|2|f1f2|2，即(2a)2(2a)2(2)2，a，e.故选d.7 已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线均和圆c：x2y26x50相切，且双曲线的右焦点为圆c的圆心，则该双曲线的方程为()a.1 b.1c.1 d.1答案a解析双曲线1的渐近线方程为yx，圆c的标准方程为(x3)2y24，圆心为c(3,0)又渐近线方程与圆c相切，即直线bxay0与圆c相切，2，5b24a2.又1的右焦点f2(，0)为圆心c(3,0)，a2b29.由得a25，b24.双曲线的标准方程为1.8 (2012安徽)过抛物线y24x的焦点f的直线交该抛物线于a，b两点，o为坐标原点若|af|3，则aob的面积为()a. b. c. d2答案c解析如图所示，由题意知，抛物线的焦点f的坐标为(1,0)，又|af|3，由抛物线定义知：点a到准线x1的距离为3，点a的横坐标为2.将x2代入y24x得y28，由图知点a的纵坐标y2，a(2,2)，直线af的方程为y2(x1)联立直线与抛物线的方程解之得或由图知b，saob|of|yayb|1|2|.故选c.二、填空题9 已知f1、f2为椭圆1的两个焦点，过f1的直线交椭圆于a、b两点若|f2a|f2b|12，则|ab|_.答案8解析如图所示，由椭圆定义得|af1|af2|bf1|bf2|4a20，又|af2|bf2|12，所以|af1|bf1|8，即|ab|8.10已知双曲线c1：1(a0，b0)与双曲线c2：1有相同的渐近线，且c1的右焦点为f(，0)，则a_，b_.答案12解析与双曲线1有共同渐近线的双曲线的方程可设为，即1(0)由题意知c，则4165，则a21，b24.又a0，b0，故a1，b2.11设f1、f2分别是椭圆1的左、右焦点，p为椭圆上任一点，点m的坐标为(6,4)，则|pm|pf1|的最大值为_答案15解析|pf1|pf2|10，|pf1|10|pf2|，|pm|pf1|10|pm|pf2|，易知m点在椭圆外，连接mf2并延长交椭圆于p点，此时|pm|pf2|取最大值|mf2|，故|pm|pf1|的最大值为10|mf2|1015.12过双曲线1 (a0，b0)的左焦点f作圆x2y2的切线，切点为e，延长fe交双曲线的右支于点p，若e为pf的中点，则双曲线的离心率为_答案解析设双曲线的右焦点为f，由于e为pf的中点，坐标原点o为ff的中点，所以eopf，又eopf，所以pfpf，且|pf|2a，故|pf|3a，根据勾股定理得|ff|a.所以双曲线的离心率为.三、解答题13(2012安徽)如