【最高考系列】（14年3月新版）高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第六章不等式第3课时基本不等式教学案（含最新模拟、试题改编）(1).doc

第六章 不 等 式第3课时基本不等式第七章 (对应学生用书(文)、(理)8990页)考情分析考点新知掌握基本不等式，能利用基本不等式推导不等式，能利用基本不等式求最大(小)值 了解基本不等式的证明过程. 会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.1. (必修5p91习题7改编)若x0，则x的最小值为_答案：2解析： x0， x22，当且仅当x时等号成立2. (必修5p94复习题8改编)设x0，则y33x的最小值为_答案：34解析： x3，则x的最小值为_答案：23解析： x30， x(x3)32323.4. (必修5p91练习题2改编)设x，yr，且xy5，则3x3y的最小值是_答案：18解析：3x3y22218，当且仅当xy时等号成立5. (必修5p88例2改编)已知函数f(x)x(x2)的图象过点a(3，7)，则此函数的最小值是_答案：6解析： 函数f(x)x(x2)的图象过点a(3，7)，即73a， a4. x20， f(x)(x2)2226，当且仅当x4时等号成立，故此函数的最小值是6.1. 算术平均数与几何平均数对于正数a，b，我们把称为a、b的算术平均数，称为a、b的几何平均数2. 基本不等式(1) 基本不等式成立的条件：a0，b0；(2) 等号成立的条件：当且仅当ab时取等号；(3) 结论：两个非负数a，b的算术平均数不小于其几何平均数3. 拓展：若a0，b0，当且仅当ab时等号成立备课札记题型1利用基本不等式证明不等式例1已知x0，y0，求证：.证明：原不等式等价于(xy)24xy，即(xy)20，显然成立故原不等式得证(1) 若abc，求证：；(2) 若abc，求使得恒成立的k的最大值证明：(1) 令abx，bcy，则acxy.原不等式等价于，由作差法可证该不等式成立，故原不等式成立(2) 由(1)可知，恒成立，而，k的最大值为4.题型2利用基本不等式求最值例2(1) 已知x0，y0且1，求xy的最小值解：(1) x， 4x50，y0且1， xy(xy)1010216，即xy的最小值为16.已知函数f(x)，x1，)(1) 当a4时，求函数f(x)的最小值； (2) 若对任意x1，)，f(x)0恒成立，试求实数a的取值范围解：(1) 由a4，f(x)x26，当x2时，取得等号即当x2时，f(x)min6.(2) x1，)，0恒成立，即x1，)，x22xa0恒成立等价于ax22x，当x1，)时恒成立，令g(x)x22x，x1，)，ag(x)max1213，即a3.a的取值范围是.题型3利用基本不等式解应用题例3如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成(1) 现有可围成36m长的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼的面积最大？(2) 若使每间虎笼的面积为24m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成的四间虎笼的钢筋网总长最小？解：(1) 设每间虎笼长为xm，宽为ym，则面积sxy.由于2x3y22，所以218，得xy，即s，当且仅当2x3y时取等号则所以每间虎笼长、宽分别为4.5m、3m时，可使面积最大(2) 设围成四间虎笼的钢筋网总长为lm，则l4x6y，且xy24，所以l4x6y2(2x3y)224448(m)，当且仅当2x3y时取等号故每间虎笼长、宽分别为6m、4m时，可使钢筋网的总长最小为48m.某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162 m2的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/m2，中间两道隔墙建造单价为248元/m2，池底建造单价为80元/m2，水池所有墙的厚度忽略不计(1) 试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2) 若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16 m，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价解：(1) 设污水处理池的宽为x m，则长为 m.总造价为f(x)4002482x801621 296x12 9601 2961 29601 296212 96038 880元当且仅当x(x0)，即x10时取等号 当长为16.2 m，宽为10 m时总造价最低，最低总造价为38 880元(2) 由限制条件知 10x16.设g(x)x，由函数性质易知g(x)在上是增函数， 当x10时(此时16)，g(x)有最小值，即f(x)有最小值1 29612 96038 882(元) 当长为16 m，宽为10 m时，总造价最低，为38 882元1. (2013上海)设常数a0，若9xa1对一切正实数x成立，则a的取值范围为_答案：解析：9x26a，所以6aa1，即a.2. 已知正实数x、y、z满足2x(x)yz，则的最小值为_答案：解析： 2xyz， x， x2x.3. 已知p是abc的边bc上的任一点，且满足xy，x、yr，则的最小值是_答案：9解析：因为b、c、p三点共线且xy，故x0，y0且xy1，所以(xy)59.4. 若不等式4x29y22kxy对一切正数x、y恒成立，则整数k的最大值为_答案：3解析：原不等式可化为2k而12， 2k12，则整数k的最大值为3.5. 设正项等差数列an的前2 011项和等于2 011，则的最小值为_答案：2解析：由题意得s2 0112 011， a1a2 0112.又a2a2 010a1a2 0112， (a2a2 010)()12.1. a2b22ab成立的条件是a，br，而成立的条件是a0，b0，使用时要注意公式成立的前提条件2. 在运用基本不等式时，要特别注意“拆、拼、凑“等技巧，使其满足基本不等式中的”一正“(即条件中字母为正数)，”二定“(不等式的另一边必须为定值)，”三相等“(