【志鸿优化设计】（湖南专用）高考数学一轮复习 第十二章算法初步、推理与证明、复数12.6数系的扩充与复数的引入教学案 理.doc

12.6数系的扩充与复数的引入1理解复数的基本概念和复数相等的充要条件2了解复数的代数表示法及其几何意义3会进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义1数系扩充的脉络是：_，用集合符号表示为_ _，实际上前者是后者的真子集2复数的有关概念(1)复数的概念形如abi(a，br)的数叫做复数，其中a，b分别是它的_和_若_，则abi为实数；若_，则abi为虚数；若_，则abi为纯虚数(2)复数相等：abicdi_(a，b，c，dr)(3)共轭复数：abi与cdi共轭_(a，b，c，dr)(4)复平面建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，_叫做实轴，_叫做虚轴实轴上的点表示_；除原点外，虚轴上的点都表示_；各象限内的点都表示非纯虚数复数集c和复平面内_组成的集合是一一对应的，复数集c与复平面内所有以_为起点的向量组成的集合也是一一对应的(5)复数的模向量的模r叫做复数zabi的模，记作_或_，其中|z|abi|_.3复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dr)，则加法：z1z2(abi)(cdi)_；减法：z1z2(abi)(cdi)_；乘法：z1z2(abi)(cdi)_；除法：_(cdi0)(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3c，有z1z2_，(z1z2)z3_.1下列命题中，正确命题的个数是()若x，yc，则xyi1i的充要条件是xy1；若a，br且ab，则aibi；若x2y20，则xy0.a0 b1 c2 d32(2012安徽高考)复数z满足(zi)i2i，则z()a1i b1ic13i d12i3(2012课标全国高考)复数z的共轭复数是()a2i b2ic1i d1i4(2012上海高考)若1i是关于x的实系数方程x2bxc0的一个复数根，则()ab2，c3 bb2，c1cb2，c1 db2，c35i为虚数单位，()a0 b2i c2i d4i一、复数的分类【例1】已知mr，复数z(m22m3)i，当m为何值时，(1)zr；(2)z是纯虚数；(3)z对应的点位于复平面的第二象限；(4)z对应的点在直线xy30上方法提炼1判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数、虚数、纯虚数，首先要保证含参数的式子有意义，忽略这一要求会酿成根本性的错误；其次对参数值的取舍，是取“并”还是“交”，非常关键因此，解答后进行验算是很有必要的2对于复数zabi(a，br)，既要从整体的角度去认识它，把复数z看成一个整体，又要从实部与虚部的角度将其分解成两部分去认识它，这是解复数问题的重要思路之一请做演练巩固提升1二、复数的代数运算【例21】 (2012浙江高考)已知i是虚数单位，则()a12i b2ic2i d12i【例22】 (2012山东高考)若复数z满足z(2i)117i(i为虚数单位)，则z为()a35i b35ic35i d35i方法提炼1复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式2记住以下结论，可提高运算速度(1)(1i)22i；(2)i；(3)i；(4)bai；(5)i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i(nn)请做演练巩固提升2,3三、复数的几何意义【例3】 (2012北京高考)在复平面内，复数对应的点的坐标为()a(1,3) b(3,1)c(1,3) d(3，1)方法提炼复数实部、虚部的符号与其对应点所在象限密切相关，实数、纯虚数的对应点分别在实轴和虚轴上若实部为正且虚部为正，则复数对应点在第一象限；若实部为负且虚部为正，则复数对应点在第二象限；若实部为负且虚部为负，则复数对应点在第三象限；若实部为正且虚部为负，则复数对应点在第四象限此外，若复数的对应点在某些曲线上，还可写出代数形式的一般表达式如：若复数z的对应点在直线x1上，则z1bi(br)；若复数z的对应点在直线yx上，则zaai(ar)，这在利用复数的代数形式解题中能起到简化作用请做演练巩固提升4易因复数概念不清而致误【典例】 (2012陕西高考)设a，br，i是虚数单位，则“ab0”是“复数a为纯虚数”的()a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件解析：由a为纯虚数可知a0，b0，所以ab0.而ab0a0，且b0.故选b.答案：b答题指导：1.掌握好复数的有关概念、复数运算的有关规则是解答复数题目的关键2对于复数与其他部分知识的综合题，只要明确复数在其中的作用即可1设复数z11i，z22bi，若为实数，则实数b()a2 b1 c1 d22(2012济南调研)设a是实数，且是实数，则a()a b1 c1 d23(2012天津高考)i是虚数单位，复数()a1i b1ic1i d1i4复数z(i是虚数单位)在复平面内对应的点所在的象限为()a第一象限 b第二象限c第三象限 d第四象限5(2012上海高考)计算：_(i为虚数单位)参考答案基础梳理自测知识梳理1自然数集有理数集实数集nqr2(1)实部虚部b0b0a0且b0(2)ac，bd(3)ac，bd(4)x轴y轴实数纯虚数所有的点原点o(5)|z|abi|3(1)(ac)(bd)i(ac)(bd)i(acbd)(adbc)ii(2)z2z1z1(z2z3)基础自测1a解析：由于x，yc，所以xyi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，是假命题由于两个虚数不能比较大小，是假命题当x1，yi时，x2y20成立，是假命题2b解析：由题意可得，zi12i，所以z1i.3d解析：z1i，故z的共轭复数为1i.4d解析：由x11i，知x21i.则x1x22b，即b2；x1x2(1i)(1i)12i23c.5a解析：0.考点探究突破【例1】 解：(1)当z为实数时，则有m22m30且m10，得m3，故当m3时，zr.(2)当z为纯虚数时，则有解得m0或m2.当m0或m2时，z为纯虚数(3)当z对应的点位于复平面的第二象限时，则有解得m3或1m2.故当m3或1m2时，z对应的点位于复平面的第二象限(4)当z对应的点在直线xy30上时，则有(m22m3)30，得0，解得m0或m1.当m0或m1时，z对应的点在直线xy30上【例21】 d解析：12i，选d.【例22】 a解析：设zabi，a，br，则z(2i)(a