【志鸿优化设计】高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形4．6正、余弦定理及其应用举例教学案 理 新人教A版 .doc

4.6正、余弦定理及其应用举例1掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题1正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容_2r.(r为abc外接圆半径)a2_；b2_；c2_变形形式a_，b_，c_；sin a_，sin b_，sin c_；abc_；.cos a_；cos b_；cos c_.解决的问题已知两角和任一边，求另一角和其他两条边已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两个角.已知三边，求各角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.2.仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线_的角叫仰角，在水平线_的角叫俯角(如图)3方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如b点的方位角为(如图)4方向角相对于某一方向的水平角(如图)图(1)北偏东：指北方向向东旋转到达目标方向(2)东北方向：指北偏东45或东偏北45.(3)其他方向角类似5坡角和坡比坡角：坡面与水平面的夹角(如图，角为坡角)图坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图，i为坡比)1(2012广东高考)在abc中，若a60，b45，bc3，则ac()a4 b2 c. d.2在abc中，cos2(a，b，c分别为角a，b，c的对边)，则abc的形状为()a等边三角形b直角三角形c等腰三角形或直角三角形d等腰直角三角形3一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60，另一灯塔在船的南偏西75，则这艘船的速度是()a5海里/时 b5 海里/时c10海里/时 d10 海里/时4如图，为了测量隧道ab的长度，给定下列四组数据，无法求出ab长度的是()a，a，bb，aca，b，d，5abc中，若a3，cos c，sabc4，则b_.一、利用正弦、余弦定理解三角形【例11】 (2012辽宁高考)在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c.角a，b，c成等差数列(1)求cos b的值；(2)边a，b，c成等比数列，求sin asin c的值【例12】 abc中，a，b，c所对的边分别为a，b，c，tan c，sin(ba)cos c.(1)求a，c；(2)若sabc3，求a，c.方法提炼应熟练掌握正、余弦定理及其变形解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷就用哪一个定理同时，已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况如已知a，b，a，则a为锐角a为钝角或直角图形关系式absin aabsin absin aabababab解的个数无解一解两解一解一解无解请做演练巩固提升1二、三角形形状的判定【例21】 abc满足sin bcos asin c，则abc的形状是()a直角三角形b等腰三角形c等腰直角三角形d等腰三角形或直角三角形【例22】 在abc中，a，b，c分别为内角a，b，c的对边，且2asin a(2bc)sin b(2cb)sin c.(1)求a的大小；(2)若sin bsin c1，试判断abc的形状方法提炼判断三角形的形状的基本思想是：利用正、余弦定理进行边角的统一即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系结论一般为特殊的三角形如等边三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形等另外，在变形过程中要注意a，b，c的范围对三角函数值的影响提醒：1.在abc中有如下结论sin asin bab.2当b2c2a20时，角a为锐角，若可判定其他两角也为锐角，则三角形为锐角三角形；当b2c2a20时，角a为直角，三角形为直角三角形；3当b2c2a20时，角a为钝角，三角形为钝角三角形请做演练巩固提升2三、与三角形面积有关的问题【例3】 在abc中，内角a，b，c对边的边长分别是a，b，c，已知c2，c.(1)若abc的面积等于，求a，b；(2)若sin csin(ba)2sin 2a，求abc的面积方法提炼1正弦定理和余弦定理并不是孤立的，解题时要根据具体题目合理选用，有时还需要交替使用；在解决三角形问题中，面积公式sabsin cbcsin aacsin b最常用，因为公式中既有边也有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来2解三角形过程中，要注意三角恒等变换公式的应用请做演练巩固提升5四、应用举例、生活中的解三角形问题【例41】 某人在塔的正东沿着南偏西60 的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30，求塔高【例42】 如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的a，b，c三点进行测量已知ab50 m，bc120 m，于a处测得水深ad80 m，于b处测得水深be200 m，于c处测得水深cf110 m，求def的余弦值方法提炼1测量距离问题，需注意以下几点：(1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型；(2)利用正、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解；(3)应用题要注意作答2测量高度时，需注意：(1) 要准确理解仰、俯角的概念；(2)分清已知和待求，分析(画出)示意图，明确在哪个三角形内应用正、余弦定理；(3)注意铅垂线垂直于地面构成的直角三角形3测量角度时，要准确理解方位角、方向角的概念，准确画出示意图是关键请做演练巩固提升6忽视三角形中的边角条件而致误【典例】 在abc中，a，b，c分别为内角a，b，c所对的边长，a，b，12cos(bc)0，求边bc上的高错解：由12cos(bc)0，知cos a，a.根据正弦定理得：sin b，b或.以下解答过程略错因：忽视三角形中“大边对大角”的定理，产生了增根正解：在abc中，cos(bc)cos a，又12cos(bc)0，12cos a0，a.在abc中，根据正弦定理，得sin b.b或.ab，b.c(ab).sin csin(ba)sin bcos acos bsin a.bc边上的高为bsin c.答题指导：1考查解三角形的题在高考中一般难度不大，但稍不注意，会出现“会而不对，对而不全”的情况，其主要原因就是忽视三角形中的边角条件2解三角函数的求值问题时，估算是一个重要步骤，估算时应考虑三角形中的边角条件1在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c.若acos absin b，则sin acos acos2b()a b c1 d12在abc中，(abc)(abc)3ab，且acos bbcos a，则abc的形状为_3(2012福建高考)在abc中，已知bac60，abc45，bc，则ac_.4(2012陕西高考)在abc中，角a，b，c所对边的长分别为a，b，c.若a2，b，c2，则b_.5(2012山东高考)在abc中，内角a，b，c所对的边分别为a，b，c.已知sin b(tan atan c)tan atan c.(1)求证：a，b，c成等比数列；(2)若a1，c2，求abc的面积s.6某港口o要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口o北偏西30且与该港口相距20海里的a处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值参考答案基础梳理自测知识梳理1.b2c22bccos ac2a22cacos ba2b22abcos c2rsin a2rsin b2rsin c sin asin bsin c 2上方下方基础自测1b解析：由正弦定理得，即，解得ac2.2b解析：cos2，2cos211，cos b，c2a2b2.3c解析：如图，a，b为灯塔，船从o航行到o，tan 30，tan 15，booo，ao(2)oo.aoboab10，oo(2)10，oo5，船的速度为10海里/时4d解析：利用余弦定理，可由a，b，或，a，b求出ab；利用正弦定理，可由a，求出ab，当只知，时，无法计算ab.52解析：由cos c，得sin c，sabcabsin c3b4.b2.考点探究突破【例11】 解：(1)由已知2bac，abc180，解得b60，所以cos b.(2)方法一：由已知b2ac，及cos b，根据正弦定理得sin2bsin asin c，所以sin asin c1cos2b.方法二：由已知b2ac，及cos b，根据余弦定理得cos b，解得ac，所以bac60，故sin asin c.【例12】 解：(1)因为tan c，即，所以sin ccos asin ccos bcos csin acos csin b，即sin ccos acos csin acos csin bsin ccos b，得sin(ca)sin(bc)所以cabc，或ca(bc)(不成立)，即2cab，得c，所以ba.又因为sin(ba)cos c，则ba或ba(舍去)，得a，b.(2)sabcacsin bac3，又，即，得a2，c2.【例21】 a解析：sin bcos asin c，bc.b2a2c2.abc为直角三角形，选a.【例22】 解：(1)由已知，根据正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc.由余弦定理得a2b2c22bccos a，故cos a，a120.(2)由得，sin2asin2bsin2csin bsin c.又sin bsin c1，故sin bsin c.因为0b90，0c90，故bc.所以abc是等腰钝角三角形【例3】 解：(1)由余弦定理及已知条件，得a2b2ab4，又因为abc的面积等于，所以absin c，得ab4.联立方程组解得(2)由题意得sin(ba)sin(ba)4sin acos a，即sin bcos a2sin acos a.当cos a0时，a，b，a，b.所以abc的面积sabsin c；当cos a0时，得sin b2sin a，由正弦定理得b2a，联立方程组解得所以abc的面积sabsin c.综上知，abc的面积为.【例41】 解：依题意画出图，某人在c处，ab为塔高，他沿cd前进，cd40米，此时dbf45，从c到d沿途测塔的仰角，只有b到测试点的距离最短，即becd时，仰角才最大，这是因为tanaeb，ab为定值，be最小时，仰角最大在bcd中，cd40，bcd30，dbc135.由正弦定理，得，bd20.在rtbed中，bde1801353015，bebdsin 152010(1)在rtabe中，aeb30，abbetan 30(3)(米)所求的塔高为(3)米【例42】 解：作dmac交be于n，交cf于m.df10，de130，ef150.在def中，由余弦定理，cosdef.演练巩固提升1d解析：根据正弦定理2r得，a2rsin a，b2rsin b，acos absin b可化为sin acos asin2b.sin acos acos2bsin2bcos2b1.2等边三角形解析：(abc)(abc)3ab，(ab)2c23ab.a2b2c2ab.cos c.c.acos bbcos a，sin acos bsin bcos a.sin(ab)0.ab.故abc为等边三角形3.解析：如图：由正弦定理得，即，即，故ac.42解析：b2a2c22accos b4122224，b2.5(1)证明：在abc中，由于sin b(tan atan c)tan atan c，所以sin b，因此sin b(sin acos ccos asin c)sin asin c，所以sin bsin(ac)sin asin c，又abc，所以sin(ac)sin b，因此sin2bsin asin c.由正弦定理得b2ac，即a，b，c成等比数列(2)解：因为a1，c2，所以b，由余弦定理得cos b，因为0b，所以sin b，故abc的面积sacsin b12.6解：(1)解法一：设相遇时小艇的航行距离为s海里，则s.故当t时，smin10，v30.即小艇以30海里/时的速度航行，相遇