高考数学 解题方法攻略 离心率 理.doc

1 离心率专题离心率专题 离心率历年来是圆锥曲线客观题的考查重点 对于求圆锥曲线离心率的问题 通常有两圆锥曲线离心率的问题 通常有两 类 一是求椭圆和双曲线的离心率 二是求椭圆和双曲线离心率的取值范围 类 一是求椭圆和双曲线的离心率 二是求椭圆和双曲线离心率的取值范围 属于中低档次 的题型 对大多数学生来说是没什么难度的 一般来说 求椭圆 或双曲线 的离心率 只一般来说 求椭圆 或双曲线 的离心率 只 需要由条件得到一个关于基本量需要由条件得到一个关于基本量 a b c e 的一个方程 就可以从中求出离心率 的一个方程 就可以从中求出离心率 但如果选 择方法不恰当 则极可能 小题 大作 误入歧途 许多学生认为用一些所谓的 高级 结 论可以使结果马上水落石出 一针见血 其实不然 对于这类题 用最淳朴的定义来解题是 最好的 此时无招胜有招 例 1 122 12 05 22 1 a b c 22 d 2 1 22 fffp fpf 全国 设椭圆的两个焦点分别为 过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 若为等腰直角三角形 则椭圆的离心率是 解法一解法一 大多数学生的解法 解 由于为等腰直角三角形 故有 12 fpf 而 122 ffpf 12 2ffc 2 2 b pf a 所以 整理得 2 2 b c a 222 2acbac 等式两边同时除以 得 即 2 a 2 21ee 2 210ee 解得 舍去 28 12 2 e 12e 因此 选 d12e 解法二解法二 采用离心率的定义定义以及椭圆的定义定义求解 解 如右图所示 有 12 22 2 21 21 2 2221 ccc e aapfpf c cc 离心率的定义椭圆的定义 故选 d 评评 2 以上两种方法都是很好的方法 解法一是高手的解法 灵活运用了 通径 这个二级结 论 使题目迎刃而解 但计算量偏大 耗时较长 而解法二则是老手 整个过程没有任何高 级结论 只运用了最最最简单的 人人皆知的 定义 通过几个简单的步骤即可 正所谓 此时无法胜有法 一 用定义求离心率问题 1 设椭圆的两个焦点分别为 f1 f2 过 f2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 p 若 f1pf2为等 腰直角三角形 则椭圆的离心率是 d a b c d 2 2 21 2 22 21 2 已知 f1 f2是椭圆的两个焦点 过 f1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 a b 两点 若 abf2是正三角形 则这个椭圆的离心率是 a a 3 3 b 3 2 c 2 2 d 2 3 3 在中 若以为焦点的椭圆经过点 则abc abbc 7 cos 18 b ab c 该椭圆的离心率 e 3 8 4 已知正方形 abcd 则以 a b 为焦点 且过 c d 两点的椭圆的离心率为 解析 设 c 1 则12 12 1 2122 22 2 a c eaaca a b 5 已知长方形 abcd ab 4 bc 3 则以 a b 为焦点 且过 c d 两点的椭圆的离心率为 解析 由已知 c 2 2 1 4 2 43433 22 2 a c eaaaab a b 6 过椭圆 22 22 1 xy ab 0ab 的左焦点 1 f作x轴的垂线交椭圆于点p 2 f为右焦点 若 12 60fpf 则椭圆的离心率为 b a 2 2 b 3 3 c 1 2 d 1 3 7 已知 f1 f2是双曲线的两焦点 以线段 f1f2为边作正三角形 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x mf1f2 若边 mf1的中点在双曲线上 则双曲线的离心率是 d 3 a b c d 324 13 2 13 13 8 双曲线 的左 右焦点分别是 过作倾斜角 22 22 1 xy ab 0a 0b 12 ff 1 f 为的直线交双曲线右支于点 若垂直于轴 则双曲线的离心率为 30 m 2 mfx b a b c d 632 3 3 9 设 f1 f2分别是双曲线的左 右焦点 若双曲线上存在点 a 使 22 22 1 xy ab f1af2 90 且 af1 3 af2 则双曲线离心率为 a b c d 5 2 10 2 15 2 5 解 设 f1 f2分别是双曲线的左 右焦点 若双曲线上存在点 a 使 22 22 1 xy ab f1af2 90 且 af1 3 af2 设 af2 1 af1 3 双曲线中 12 2 2aafaf 离心率 选 b 22 12 2 10cafaf 10 2 e 10 如图 和分别是双曲线的两个 1 f 2 f 22 22 1 0 0 xy ab ab 焦点 和是以为圆心 以为半径的圆与该双曲线abo 1 fo 左支的两个交点 且 是等边三角形 则双曲线的离心abf2 率为 a b c d 35 2 5 31 解析 如图 和分别是双曲线的两个焦点 和是以为 1 f 2 f 22 22 1 0 0 xy ab ab abo 圆心 以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点 且 1 fo 是等边三角形 连接 af1 af2f1 30 abf2 4 af1 c af2 c 双曲线的离心率为 选 d 32 31 ac 31 11 设圆锥曲线 r 的两个焦点分别为 f1 f2 若曲线 r 上存在点 p 满 1122 pfffpf 4 3 2 则曲线 r 的离心率等于 a a 13 22 或 b 2 3 或 2 c 1 2 或2 d 23 32 或 二 列方程求离心率问题 1 方程的两个根可分别作为 2 2520 xx 一椭圆和一双曲线的离心率 两抛物线的离心率 一椭圆和一抛物线的离心率 两椭圆的离心率 解 解 方程的两个根分别为 2 故选 a 2 2520 xx 1 2 2 已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍 则椭圆的离心率等于 a b c d 1 3 3 3 1 2 3 2 解 已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍 椭圆的离心率 选 d 2ab 3 2 c e a 3 设直线l过双曲线 c 的一个焦点 且与c的一条对称轴垂直 l与 c 交于a b两点 ab为c的实轴长的 2 倍 则c的离心率为 b a 2 b 3 c 2 d 3 4 在平面直角坐标系中 椭圆在平面直角坐标系中 椭圆 1 a b 0 的焦距为的焦距为 2c 以 以 o 为圆心 为圆心 a 为半为半 x2 a2 y2 b2 径的圆 过点径的圆 过点 0 作圆的两切线互相垂直 则离心率作圆的两切线互相垂直 则离心率 e a2 c 2 2 e 5 已知双曲线的一条渐近线方程为 y x 则双曲线的离心率为 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 4 3 a b c d 5 3 4 3 5 4 3 2 解析解析 双曲线焦点在 x 轴 由渐近线方程可得 故选 a 22 4345 333 bc e aa 可得 6 在平面直角坐标系中 双曲线中心在原点 焦点在轴上 一条渐近线方程为xoyy 则它的离心率为 20 xy 5 a b c d 5 5 2 32 解析 由 选 aab b a 2 2 1 得abac5 22 5 a c e 7 已知双曲线 a 的两条渐近线的夹角为 则双曲线的离心率为 22 2 1 2 xy a 2 3 a 2 b c d 3 2 6 3 2 3 3 解 解 双曲线 a 的两条渐近线的夹角为 则 a2 6 双曲 22 2 1 2 xy a 2 3 23 tan 63a 线的离心率为 选 d 2 3 3 8 已知双曲线 a 0 b 0 的一条渐近线为y kx k 0 离心率e 22 22 1 xy ab 则双曲线方程为 c5k a 1 b c d 2 2 x a 2 2 4 y a 22 22 1 5 xy aa 22 22 1 4 xy bb 22 22 1 5 xy bb 9 设双曲线 a 0 b 0 的渐近线与抛物线 y x2 1 相切 则该双曲线的离心率 22 22 1 xy ab 等于 a b 2 c d 356 解 设切点 则切线的斜率为 由题意有又 00 p xy 0 0 2 x x yx 0 0 0 2 y x x 2 00 1yx 解得 命题立意 本题考查了双曲线的渐近线的方 22 0 1 2 1 5 bb xe aa 程和离心率的概念 以及直线与抛物线的位置关系 只有一个公共点 则解方程组有唯一解 本题 较好地考查了基本概念基本方法和基本技能 10 设双曲线的一个焦点为 虚轴的一个端点为 如果直线与该双曲线的一条渐近fbfb 线垂直 那么此双曲线的离心率为 6 a b c d 23 31 2 51 2 解析 选 d 不妨设双曲线的焦点在轴上 设其方程为 x 22 22 1 0 0 xy ab ab 则一个焦点为一条渐近线斜率为 直线的斜率为 0 0 f cbb b a fb b c 1 bb ac 2 bac 222 10caaceee 51 2 11 如图 在平面直角坐标系xoy中 1212 a a b b为椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的四个顶 点 f为其右焦点 直线 12 ab与直线 1 b f相交于点 t 线段 ot与椭圆的交点m恰为线段ot的中点 则该椭圆的离心 率为 解析 考查椭圆的基本性质 如顶点 焦点坐标 离心率 的计算等 以及直线的方程 直线 12 ab的方程为 1 xy ab 直线 1 b f的方程为 1 xy cb 二者联立解得 2 acb ac t acac 则 2 acb ac m acac 在椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 上 22 222 22 1 1030 1030 4 cac cacaee acac 解得 2 75e 12 已知椭圆 c a b 0 的离心率为 过右焦点 f 且斜率为 k k 0 的直 22 22 1 xy ab 3 2 线于 c 相交于 a b 两点 若 则 k 3affb a 1 b c d 223 解析解析 b b 设 设 1122 a x yb xy 3affb 12 3yy 3 2 e 直线 直线 abab 方程为方程为 代入消去 代入消去 2 3at ct bt 222 440 xyt 3xsyt x 7 222 4 2 30systyt 2 1212 22 2 3 44 stt yyy y ss 解得 解得 2 2 22 22 2 3 2 3 44 stt yy ss 2 1 2 s 2k 13 已知是椭圆的一个焦点 是短轴的一个端点 线段的延长线交于点 且fcbbfcd 则的离心率为 bf2fd uu ruur c 答案 2 3 命题意图 本小题主要考查椭圆的方程与几何性质 第 二定义 平面向量知识 考查了数形结合思想 方程思想 本题凸显解析几何的特点 数研究形 形助数 利用几 何性质可寻求到简化问题的捷径 解析 如图 22 bfbca 作轴于点 d1 则由 得 1 ddy bf2fd uu ruur 所以 1 2 3 ofbf ddbd 1 33 22 ddofc 即 由椭圆的第二定义得 3 2 d c x 22 33 22 acc fdea ca 又由 得 整理得 2 bffd 2 3 2 c ca a 22 320caac 两边都除以 得 解得 2 a 2 320ee 1 e 舍去 或 2 3 e 14 过双曲线 m 的左顶点 a 作斜率为 1 的直线 若 与双曲线 m 的两条渐近线分 2 2 2 1 y x b ll 别相交于 b c 且 ab bc 则双曲线 m 的离心率是 a b c d 105 10 3 5 2 解析 解析 过双曲线的左顶点 1 0 作斜率为 1 的直线 y x 1 若 与双曲1 2 2 2 b y xmall 线的两条渐近线分别相交于点 联立方程组代入消元得m 2 2 2 0 y x b 1122 b x yc xy xo y b f 1 d d 8 x1 x2 2x1x2 又 则 b 为 ac 中点 22 1 210bxx 12 2 12 2 2 1 1 1 xx b x x b bcab 2x1 1 x2 代入解得 b2 9 双曲线的离心率 e 选 a 1 2 1 4 1 2 x x m10 c a 15 过双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的右顶点a作斜率为1 的直线 该直线与双曲线的 两条渐近线的交点分别为 b c 若 1 2 abbc 则双曲线的离心率是 a 2 b 3 c 5 d 10 答案 c 解析 对于 0a a 则直线方程为0 xya 直线与两渐近线的交点为 b c 22 aabaab bc ab ababab 则有 22 2222 22 a ba babab bcab ababab ab 因 22 2 4 5abbcabe 16 已知双曲线 22 22 10 0 xy cab ab 的右焦点为f 过f且斜率为3的直线交c于 ab 两点 若4affb 则c的离心率为 m a 6 5 b 7 5 c 5 8 d 9 5 解解 设双曲线 22 22 1 xy c ab 的右准线为l 过ab 分 别作 aml 于m bnl 于n bdamd 于 由直线 ab 的斜率为3 知直线 ab 的倾斜角为 1 6060 2 badadab 由双曲线的第二定义有 9 1 ambnadaffb e 11 22 abaffb 又 156 43 25 affbfbfbe e 故选故选 a 一般来说 求椭圆 或双曲线 的离心率的取值范围 通常可以从两个方面来研究 一是考一般来说 求椭圆 或双曲线 的离心率的取值范围 通常可以从两个方面来研究 一是考 虑几何的大小 例如线段的长度 角的大小等 二是通过设椭圆 或双曲线 点的坐标 虑几何的大小 例如线段的长度 角的大小等 二是通过设椭圆 或双曲线 点的坐标 利用椭圆 或双曲线 本身的范围 列出不等式 离心率是描述圆锥曲线性质的一个关利用椭圆 或双曲线 本身的范围 列出不等式 离心率是描述圆锥曲线性质的一个关 键量 它是一个比值 它与圆锥曲线的大小无关 只与其形状有关 在椭圆中 离心率键量 它是一个比值 它与圆锥曲线的大小无关 只与其形状有关 在椭圆中 离心率 越大 椭圆越扁平 离心率越小 椭圆越圆 椭圆离心率的取值范围越大 椭圆越扁平 离心率越小 椭圆越圆 椭圆离心率的取值范围 e 0 1 在双曲 在双曲 线中 离心率越大 双曲线的形状从扁狭逐渐变得开阔 即双曲线的线中 离心率越大 双曲线的形状从扁狭逐渐变得开阔 即双曲线的 张口张口 逐渐增大 双逐渐增大 双 曲线离心率的取值范围曲线离心率的取值范围 e 1 在抛物线中 离心率 在抛物线中 离心率 e 1 已知椭圆已知椭圆 1 a b 0 的焦的焦 x2 a2 y2 b2 点分别为点分别为 f1 f2 若该椭圆上 若该椭圆上 存在一点存在一点 p 使得 使得 f1pf2 60 0 则椭圆离心率 则椭圆离心率 的取值范围是的取值范围是 分析 分析 如果我们考虑几何的大小 如果我们考虑几何的大小 我们发现当我们发现当 m 为椭圆的短轴的为椭圆的短轴的 顶点顶点 b1 或 或 b2 时 时 f1pf2最大 需要证明 最大 需要证明 从而有 从而有 0 0 f1pf2 f1 b1f2 根据条件可 根据条件可 得得 f1 b1f2 60 0 易得 易得 故 故 e 1 c c a a 1 1 2 2 1 1 2 2 证明 在证明 在 f1pf2中 由余弦定理得 中 由余弦定理得 222 1212 12 12 cos 2 pfpff f f pf pfpf 2 2 1212 2 12 1 2 1 2 pfpff f pfpf 22 2 2ac a 当且仅当当且仅当 pf1 pf2时 等号成立 即当时 等号成立 即当 m 与椭圆的短轴的顶点与椭圆的短轴的顶点 b1 或 或 b2 时 时 f1mf2最大 最大 如果通过设椭圆上的点如果通过设椭圆上的点 p x y 利用椭圆本身的范围 也可以求出离心率 利用椭圆本身的范围 也可以求出离心率 e 的范的范 b2 b1 f1 y x o f2 p 10 围 在本题中 运用此法可以做 但比较复杂 关键是点围 在本题中 运用此法可以做 但比较复杂 关键是点 p 的坐标不易表示 的坐标不易表示 因此 因此 在解题过程中要注意方法的选择 在解题过程中要注意方法的选择 三 离心率范围问题 离心率范围问题 1 已知椭圆已知椭圆 1 a b 0 的焦点分别为的焦点分别为 f1 f2 若该椭圆上存在一点 若该椭圆上存在一点 p 使得 使得 f1pf2 x2 a2 y2 b2 60 0 则椭圆离心率的取值范围是 则椭圆离心率的取值范围是 1 1 2 2 已知双曲线的左 右焦点分别为 若双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 12 0 0 fcf c 上存在一点使 则该双曲线的离心率的取值范围是 p 12 21 sin sin pffa pf fc 答案 1 21 3 已知 是椭圆的两个焦点 满足的点总在椭圆内部 则椭 1 f 2 f 12 0mf mf m 圆离心率的取