【导与练】高考数学 试题汇编 第四节双曲线 文（含解析）.doc

第四节双曲线 双曲线的定义及应用考向聚焦高考常考内容,主要考查根据双曲线定义:(1)判断曲线的类型;(2)求双曲线的方程;(3)解决有关焦点三角形的问题,一般以选择题、填空题形式出现,难度不大,所占分值45分1.(2012年全国大纲卷,文10,5分)已知f1、f2为双曲线c:x2-y2=2的左、右焦点,点p在c上,|pf1|=2|pf2|,则cos f1pf2等于()(a)14(b)35(c)34(d)45解析:由题意可得双曲线中c=2,由双曲线的定义可得|pf1|-|pf2|=|pf2|=2a=22,|pf1|=42,在三角形pf1f2中由余弦定理得cos f1pf2=(22)2+(42)2-1622242=34,故选c.答案:c. 本题主要考查双曲线的定义,余弦定理等基础知识.解题的关键是根据双曲线的定义求得三角形f1pf2的边长,由余弦定理求得f1pf2的余弦值.2.(2010年全国卷,文8)已知f1、f2为双曲线c:x2-y2=1的左、右焦点,点p在c上,f1pf2=60,则|pf1|pf2|等于()(a)2(b)4(c)6(d)8解析:由双曲线定义得|pf1|-|pf2|=2a.即|pf1|2+|pf2|2-2|pf1|pf2|=4a2在f1pf2中,由余弦定理得|pf1|2+|pf2|2-2|pf1|pf2|cos 60=4c2-得,|pf1|pf2|=4(c2-a2)=4b2=4.故选b.答案:b.3.(2012年天津卷,文11,5分)已知双曲线c1:x2a2-y2b2=1(a0,b0)与双曲线c2:x24-y216=1有相同的渐近线,且c1的右焦点为f(5,0),则a=,b=.解析:c1与c2有相同的渐近线,ba=2,又c=5,a=1,b=2.答案:12双曲线的标准方程与几何性质考向聚焦高考热点内容主要考查:(1)双曲线标准方程的求法;(2)求双曲线离心率;(3)求双曲线渐近线.多以选择题、填空题形式出现,难度中低档,所占分值45分4.(2012年福建卷,文5,5分)已知双曲线x2a2-y25=1的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于()(a)31414(b)324(c)32(d)43解析:双曲线的右焦点为(3,0),即c=3,a2+5=9,a2=4,a=2,e=ca=32,故选c.答案:c. 本题考查双曲线的离心率的计算方法,属容易题.5.(2012年湖南卷,文6,5分)已知双曲线c:x2a2-y2b2=1的焦距为10,点p(2,1)在c的渐近线上,则c的方程为()(a)x220-y25=1(b)x25-y220=1(c)x280-y220=1(d)x220-y280=1解析:由题意2c=10,故c=5,a2+b2=c2=25.又点p(2,1)在渐近线y=bax上,故ba=12,a2=4b2,所以a2=20,b2=5,双曲线c方程为x220-y25=1答案:a.6.(2012年新课标全国卷,文10,5分)等轴双曲线c的中心在原点,焦点在x轴上,c与抛物线y2=16x的准线交于a,b两点,|ab|=43,则c的实轴长为()(a)2(b)22(c)4(d)8解析:设双曲线方程为x2-y2=a2(a0),由抛物线的准线方程为x=-4,代入上式得y=16-a2.16-a2=12,a2=4,a=2,故双曲线的实轴长为2a=4.答案:c.7.(2011年安徽卷,文3)双曲线2x2-y2=8的实轴长是()(a)2(b)22(c)4(d)42解析:将双曲线方程化为x24-y28=1,则a=2,实轴长2a=4.故选c.答案:c.8.(2011年湖南卷,文6)设双曲线x2a2-y29=1(a0)的渐近线方程为3x2y=0,则a的值为()(a)4(b)3(c)2(d)1解析:双曲线x2a2-y29=1(a0)的渐近线方程为y=3ax,又渐近线方程为3x2y=0即y=32x,3a=32,a=2.选c.答案:c.9.(2010年新课标全国卷,文5)中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,-2),则它的离心率为()(a)6(b)5(c)62(d)52解析:由题意设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),则渐近线方程为y=bax.又因为(4,-2)在渐近线y=-bax上,则有-2=-4ba,a=2b,又c2=a2+b2=5b2.c=5b,e=ca=5b2b=52,故选d.答案:d.10.(2010年辽宁卷,文9)设双曲线的一个焦点为f,虚轴的一个端点为b,如果直线fb与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为()(a)2(b)3(c)3+12(d)5+12解析:设双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),f(c,0),b(0,b),由题意知-bcba=-1,即b2=ac,c2-a2=ac.e2-e-1=0,解得e=152,又e1,所以e=1+52,故选d.答案:d.11.(2010年浙江卷,文10)设o为坐标原点,f1、f2是双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的焦点,若在双曲线上存在点p,满足f1pf2=60,|op|=7a,则该双曲线的渐近线方程为()(a)x3y=0(b)3xy=0(c)x2y=0(d)2xy=0解析:如图,不妨设p在右支上,延长po交双曲线于p,则p与p关于(0,0)对称,从而四边形f1pf2p为平行四边形,|pp|=27a,f1pf2=60,pf1p=120,设|pf2|=|pf1|=x,则|pf1|=2a+x.在pf1p中,由余弦定理可得|pp|2=|pf1|2+|pf1|2-2|pf1|pf1|cos pf1p.28a2=(2a+x)2+x2-2x(2a+x)cos 120,解得x=2a,|pf1|=4a,|pf2|=2a,在f1pf2中,由余弦定理可得|pf1|2+|pf2|2-2|pf1|pf2|cos 60=|f1f2|2,16a2+4a2-24a2a12=4c2,c2=3a2,a2+b2=3a2,b=2a,双曲线的渐近线方程为y=bax=2x,即2xy=0.故选d.答案:d. 解决本题的关键是找到对称点p,构造平行四边形,运用余弦定理求a与b的关系.12.(2012年江苏数学,8,5分)在平面直角坐标系xoy中,若双曲线x2m-y2m2+4=1的离心率为5,则m的值为.解析:本题考查双曲线的标准方程、离心率.由题意,双曲线的焦点在x轴上,所以e=m2+m+4m=5,所以m=2.答案:213.(2012年重庆卷,文14,5分)设p为直线y=b3ax与双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)左支的交点,f1是左焦点,pf1垂直于x轴,则双曲线的离心率e=.解析:pf1x轴,p点的横坐标是-c,又p是y=b3ax与x2a2-y2b2=1的交点,p(-c,-bc3a),代入x2a2-y2b2=1得c2a2=98,e=324.答案:324 本题主要考查了如何求p点的坐标,以及如何求离心率.14.(2012年辽宁卷,文15,5分)已知双曲线x2-y2=1,点f1,f2为其两个焦点,点p为双曲线上一点,若pf1pf2,则|pf1|+|pf2|的值为.解析:由双曲线方程x2-y2=1得a2=1,b2=1,c2=a2+b2=2,p在双曲线上,|pf1|-|pf2|=2a=2,|pf1|2+|pf2|2-2|pf1|pf2|=4,pf1pf2,|pf1|2+|pf2|2=|f1f2|2=4c2=8,把代入得2|pf1|pf2|=4,(|pf1|+|pf2|)2=|pf1|2+|pf2|2+2|pf1|pf2|=8+4=12,|pf1|+|pf2|=23.答案:2315.(2011年江西卷,文12)若双曲线y216-x2m=1的离心率e=2,则m=.解析:16+m4=2,m=48.答案:4816.(2011年北京卷,文10)已知双曲线x2-y2b2=1(b0)的一条渐近线的方程为y=2x,则b=.解析:双曲线x2-y2b2=1的渐近线方程为y=bx.又b0,渐近线方程为y=2x,b=2.答案:2直线与双曲线的位置关系考向聚焦高考中考查较少,主要涉及双曲线的标准方程、几何性质、最值、弦长、交点等问题,主要考查学生灵活运用知识分析问题、解决问题的能力及计算能力,一般为解答题,所占分值410分17.(2010年全国卷,文22)已知斜率为1的直线l与双曲线c:x2a2-y2b2=1(a0,b0)相交于b、d两点,且bd的中点为m(1,3).(1)求c的离心率;(2)设c的右顶点为a,右焦点为f,|df|bf|=17,证明:过a、b、d三点的圆与x轴相切.(1)解:由题设知,l的方程为:y=x+2.代入c的方程,并化简,得(b2-a2)x2-4a2x-4a2-a2b2=0.设b(x1,y1),d(x2,y2),则x1+x2=4a2b2-a2,x1x2=-4a2+a2b2b2-a2,由m(1,3)为bd的中点知x1+x22=1,故124a2b2-a2=1.即b2=3a2,故c=a2+b2=2a,c的离心率e=ca=2.(2)证明:由(1)知,c的方程为:3x2-y2=3a2.a(a,0),f(2a,0),x1+x2=2,x1x2=-4+3a220.故不妨设x1-a,x2a.|bf|=(x1-2a)2+y12=(x1-2a)2+3x12-3a2=a-2x1.|df|=(x2-2a)2+y22=(x2-2a)2+3x22-3a2=2x2-a.|bf|df|=(a-2x1)(2x2-a)=-4x1x2+2a(x1+x2)-a2=5a2+4a+8.又|bf|df|=17,故5a2+4a+8=17,解得a=1,或a=-95(