【备战】高考数学专题讲座 第20讲 高频考点分析之三角函数探讨.doc

【备战2013高考数学专题讲座】第20讲：高频考点分析之三角函数探讨12讲，我们对客观性试题解法进行了探讨，38讲，对数学思想方法进行了探讨，912讲对数学解题方法进行了探讨，从第13讲开始我们对高频考点进行探讨。三角函数是高考数学的必考内容，从题型的角度，高考中三角函数问题主要有以下几种：1.同角、和差倍三角函数的应用；2. 正弦定理和余弦定理的应用；3. 三角函数的图象和性质；4. 三角函数的综合问题；5. 三角函数与其它知识的综合问题。结合2012年全国各地高考的实例，我们从以上五方面探讨三角函数问题的求解。一、同角、和差倍三角函数的应用：典型例题：例1. （2012年全国大纲卷理5分）已知为第二象限角，则【 】a b c d【答案】a。【考点】两角和差的公式以及二倍角公式的运用。【解析】首先利用平方法得到二倍角的正弦值，然后然后利用二倍角的余弦公式，将所求的转化为单角的正弦值和余弦值的问题：，两边平方，得，即。为第二象限角，因此。故选a。例2. （2012年全国大纲卷文5分）已知为第二象限角，sin=，则sin2=【 】a. b. c. d.【答案】a。【考点】同角三角函数和倍角三角函数的应用。【解析】为第二象限角，。又sin=，。 。故选a。例3. （2012年山东省理5分）若，则【 】a b c d 【答案】d。【考点】倍角三角函数公式的应用。【解析】由可得，。，故选d。例4. （2012年江西省理5分）若，则【 】a. b. c. d. 【答案】d。【考点】三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想。【解析】，。故选d。例5. （2012年江西省文5分）若，则=【 】a. b. c. d. 【答案】b。【考点】二倍角的正切，同角三角函数间的基本关系。【解析】将等式左边分子分母同时除以得，解得。故选b。例6. （2012年辽宁省理5分）已知，(0，)，则=【 】(a) 1 (b) (c) (d) 1【答案】a。【考点】三角函数中的和差公式、倍角公式、三角函数的性质。【解析】，。 又，。，即。 。故选a。 另析：，。例7. （2012年辽宁省文5分）已知，(0，)，则=【 】(a) 1 (b) (c) (d) 1【答案】a。【考点】三角函数中的倍角公式。【解析】，。故选a。例8. （2012年重庆市文5分）=【 】（a）（b）（c） （d）【答案】c。【考点】两角和的正弦函数，特殊角的三角函数值。【分析】将原式分子第一项中的度数47=17+30，然后利用两角和与差的正弦函数公式化简后，合并约分后，再利用特殊角的三角函数值即可求出值：。故选c。例9. （2012年江苏省5分）设为锐角，若，则的值为 【答案】。【考点】同角三角函数，倍角三角函数，和角三角函数。【解析】为锐角，即，。 ，。 。 。例10. （2012年广东省文12分）已知函数,且（1）求的值；（2）设，求的值【答案】解：（1），解得。（2），即，即 ，。 。【考点】特殊角三角函数值，诱导公式，同角三角函数关系式，两角和的余弦公式。【解析】（1）将代入函数解析式，利用特殊角三角函数值即可解得a的值。（2）先将，代入函数解析式，利用诱导公式即可得、的值，再利用同角三角函数基本关系式，即可求得、的值，最后利用两角和的余弦公式计算所求值即可。例11. （2012年福建省理13分）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：(1)sin213cos217sin13cos17；(2)sin215cos215sin15cos15；(3)sin218cos212sin18cos12；(4)sin2(18)cos248sin(18)cos48；(5)sin2(25)cos255sin(25)cos55.（i）请从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（ii）根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论【答案】解：（i）选择(2)式，计算如下：sin215cos215sin15cos151sin301。（ii）三角恒等式为sin2cos2(30)sincos(30)。证明如下：sin2cos2(30)sincos(30)sin2(cos30cossin30sin)2sin(cos30cossin30sin)sin2cos2sincossin2sincossin2sin2cos2。【考点】同角函数关系式、倍角公式和差的余弦公式的应用。【解析】（i）选择(2)式，应用同角函数关系式和倍角公式即可得出结果。 （ii）三角恒等式为sin2cos2(30)sincos(30)。应用差的余弦公式和同角函数关系式即可证明。二、正弦定理和余弦定理的应用：典型例题：例1. （2012年上海市理5分）在中，若，则的形状是 a锐角三角形 b直角三角形 c钝角三角形 d不能确定【答案】c。【考点】正弦定理和余弦定理的运用。【解析】由正弦定理，得代入得到。由余弦定理的推理得。c为钝角，即该三角形为钝角三角形。故选c。例2. （2012年广东省文5分）在中，若，则【 】 a b c d 【答案】b。【考点】正弦定理的应用。【解析】由正弦定理得，即，解得。故选b。例3. （2012年湖北省文5分）设的内角所对的边分别为，若三边的长为连续的三个正整数，且，则为【】a.432 b.567 c.543 d.654【答案】d。【考点】正弦定理和余弦定理的应用。【解析】为连续的三个正整数，且，。又已知，。由余弦定理可得。则由可得。联立，得，解得或（舍去），则，。由正弦定理可得，。故选d。例4. （2012年湖南省文5分） 在abc中，则bc边上的高等于【】a b. c. d. 【答案】b。【考点】余弦定理、三角形面积公式。【解析】设，在abc中，由余弦定理知，即，。又，。设bc边上的高等于，由三角形面积公式，知，解得。故选b。例5. （2012年北京市理5分）在abc中，若=2，b+c=7, ，则b= 【答案】4。【考点】余弦定理的应用。【解析】由余弦定理和=2，得。 由b+c=7得c=7b，代入，得。 解得，b=4。例6. （2012年北京市文5分）在abc中，若a=3，b=，则的大小为 。【答案】。【考点】正弦定理的应用。【解析】由已知abc中， a=3，b=，根据正弦定理得， （舍去）。例7. （2012年湖北省理5分）设abc的内角a，b，c，所对的边分别是a，b，c.若，则角c= 。【答案】。【考点】余弦定理的运用【解析】由 得，根据余弦定理得。例8. （2012年福建省文4分）在abc中，已知bac60，abc45，bc，则ac .【答案】。【考点】正弦定理【解析】在abc中，由正弦定理得：ac。三、三角函数的图象和性质：典型例题：例1. （2012年全国课标卷理5分）已知，函数在上单调递减。则的取值范围是【 】 【答案】。【考点】三角函数的性质。【解析】根据三角函数的性质利用排它法逐项判断： 时，不合题意，排除。 时，合题意，排除。故选。例2. （2012年全国课标卷文5分）已知0，0，直线x=和x=是函数f(x)=sin(x+)图像的两条相邻的对称轴，则=【 】（a） （b） （c） （d）【答案】a。【考点】正弦函数的性质。【解析】函数f(x)=sin(x+)图像的对称轴是函数取得最大（小）值时垂直于x轴的直线， 不妨设x=时，f(x)=1；x=时，f(x)=1。 则由得，解得。 00）的图像向右平移个单位长度，所得图像经过点（，0），则的最小值是【 】（a） （b）1 （c） （d）2【答案】d。【考点】函数的图象变换。【分析】将函数的图像向右平移得到函数。此时函数过点，即。又0，的最小值为2。故选d。例6. （2012年安徽省文5分）要得到函数的图象，只要将函数的图象【 】 向左平移1个单位 向右平移1个单位 向左平移个单位 向右平移个单位【答案】。【考点】函数图象平移的性质。【解析】，只要将函数的图象向左平移个单位即可得到函数的图象。故选。例7. （2012年山东省文5分）函数的最大值与最小值之和为【 】 a b 0c 1d 【答案】a。【考点】三角函数的值域。【解析】，当时，最小，为 当时，最大，为。函数的最大值与最小值之和为。故选a。例8. （2012年浙江省理5分）把函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是【 】【答案】a。【考点】函数y=asin（x+）的图象变换。【解析】把函数ycos2x1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得：y1cosx1，向左平移1个单位长度得：y2cos(x1)1，再向下平移1个单位长度得：y3cos(x1)。取特殊值进行判断：令x0，得：y30；x，得：y30。比对所给选项即得答案。 故选a。例9. （2012年湖北省理5分）函数在区间0,4上的零点个数为【 】a.4 b.5 c.6 d.7【答案】c。【考点】函数的零点与方程，三角函数的周期性。【解析】由得或。当时，是函数在区间0,4上的一个零点。当时，。使余弦为零的角的弧度数为，令。则时对应角分别为均满足条件，当时，不满足条件。综上所述，函数在区间0,4上的零点个数为6个。故选c。例10. （2012年湖北省文5分） 函数在区间上的零点个数为【】a 2 b 3 c 4 d 5【答案】d。【考点】函数的零点与方程，三角函数的周期性。【解析】由得或。当时，是函数在区间上的一个零点。由，得，即。又，。综上所述，函数在区间上的零点个数为个。故选d。例11. （2012年福建省文5分）函数f(x)sin的图象的一条对称轴是【 】ax bx cx dx【答案】c。【考点】三角函数的图象和性质。【解析】因为三角函数图象的对称轴经过最高点或最低点，所以可以把四个选项代入验证，知只有当x时，函数fsin1取得最值。故选c。例12. （2012年湖南省文12分）已知函数的部分图像如图所示.（）求函数的解析式；（）求函数的单调递增区间.【答案】解：（）由题设图像知，周期，。点在函数图像上，。又，。，即。又点在函数图像上，。函数的解析式为。（）。由得的单调递增区间是。【考点】三角函数的图像和性质。【解析】（）结合图形求得周期从而求得.再利用特殊点在图像上求出，从而求出的解析式。 （）用（）的结论和三角恒等变换及的单调性求得。例13.（2012年天津市理5分）设，则“”是“为偶函数”的【 】（a）充分而不必要条件 （）必要而不充分条件（）充分必要条件 （）既不充分也不必要条件【答案】a。【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，函数奇偶性的判断。【分析】为偶函数，成立； 为偶函数，推不出。 “”是“为偶函数”的充分而不必要条件。故选a。例14. （2012年山东省文5分）设命题p：函数的最小正周期为；命题q：函数的图象关于直线对称.则下列判断正确的是【 】 a p为真b 为假c 为假d 为真【答案】c。【考点】真假命题的判定，三角函数的周期和对称性。【解析】函数的最小正周期为，命题p为假。 函数的图象的对称轴为，命题q为假。 为假。故选c。四、三角函数的综合问题：典型例题：例1. （2012年全国大纲卷文5分）若函数是偶函数，则=【 】a. b. c. d. 【答案】c。【考点】偶函数的性质，和的三角函数公式。【解析】函数是偶函数，即。 展开，得， 即，即。 ，解得。 又，。故选c。例2. （2012年四川省理5分）如图，正方形的边长为，延长至，使，连接、则【 】a、 b、 c、 d、【答案】b。【考点】余弦定理，同角函数关系式。【解析】，正方形的边长为，。为钝角，为锐角。故选b。例3. （2012年天津市理5分）在中，内角，所对的边分别是，已知，则 =【 】（a） （）（）（）【答案】a 。【考点】正弦定理，二倍角的三角函数公式。【分析】，由正弦定理得。又，。，=。故选a 。例4. （2012年湖南省理5分）函数的值域为【 】 a b. c. d. 【答案】b。【考点】三角恒等变换。【解析】利用三角恒等变换把化成的形式，利用，求得的值域： ，。 函数的值域为。故选b。例5. （2012年全国大纲卷理5分）当函数取得最大值时， 。【答案】。【考点】三角函数性质的运用。【解析】求解值域的问题，首先化为单一三角函数，然后利用定义域求解角的范围，从而结合三角函数图像得到最值点。，。，当且仅当即时，函数取得最大值。例6. （2012年重庆市理5分）设的内角的对边分别为，且则 【答案】。【考点】同角三角函数的基本关系式，两角和的三角公式，正弦定理的应用。【分析】，。，。 。 由正弦定理得，。例7. （2012年重庆市文5分）设的内角 的对边分别为，且，则 源:21世纪教育网【答案】。【考点】同角三角函数间的基本关系，余弦定理应用，等腰三角形的性质。【分析】由为三角形的内角，及cos的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin的值，再由与的值，利用余弦定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，再由sin，及的值，利用正弦定理即可求出的值：为三角形的内角， ，。又，由余弦定理得：，解得：。又，由等腰三角形等边对等角的性质得：。（或用正弦定理求解）例8. （2012年全国大纲卷理10分）的内角的对边分别为，已知，求。【答案】解：，。由正弦定理及可得，。由得。将代入，得，。为三角形的内角且，。【考点】解三角形的运用，三角形的内角和定理，正弦定理，和与差的三角函数。【解析】给出两个公式，一个是边的关系，一个角的关系，而求解的为角，因此要找到角的关系式为好。先将三角函数关系式化简后，得到角关系，然后结合，得到两角的二元一次方程组，自然很容易得到角的值。例9. （2012年全国课标卷理12分）已知分别为三个内角的对边，（1）求 （2）若，的面积为；求。【答案】解：（1）由，根据正弦定理得： ，。或（不合题意，舍去）。 （2）由得， 由得， 解得：。【考点】正弦定理和余弦定理的应用，和与差的三角函数。【解析】（1）根据正弦定理可将已知等式化为，应用和与差的三角函数变形后可得，从而求出。 （2）根据已知和余弦定理，可得关于 的方程组，求解即可。例10. （2012年全国课标卷文12分）已知a，b，c分别为abc三个内角a，b，c的对边，c = asincccosa(1) 求a(2) 若a=2，abc的面积为，求b,c【答案】解：（1）由c = asincccosa得，根据正弦定理，得 ，即，。或（不合题意，舍去）。（2）由得， 由得， 解得：。【考点】正弦定理和余弦定理的应用，和与差的三角函数。【解析】（1）根据正弦定理可将已知等式化为，应用和与差的三角函数变形后可得，从而求出。 （2）根据已知和余弦定理，可得关于 的方程组，求解即可。例11. （2012年北京市理13分）已知函数。（1）求的定义域及最小正周期；（2）求的单调递增区间。【答案】解：（1）由解得， 的定义域为。 又 的最小正周期为。（2）， 根据正弦函数的增减性，得或，。 解得或，。的单调递增区间为。【考点】三角函数的定义域、最小正周期和单调增减性。【解析】（1）根据分式分母不为0的条件，结合正弦函数的零点得出的定义域。将变形，即可由求最小正周期的公式求得。 （2）根据正弦函数的增减性，结合的定义域，求出的单调递增区间。例12. （2012年四川省理12分）函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，、为图象与轴的交点，且为正三角形。（）求的值及函数的值域；（）若，且，求的值。【答案】解：（）由已知可得：又正的高为2，bc=4。函数的同期，即，解得。函数的值域为。（），由（）有，即。 由得x0。 。【考点】三角函数的图像与性质，同角三角函数的关系、两角和的正（余）弦公式、二倍角公式。【解析】（）将）化简为，利用正弦函数的周期公式与性质可求的值及函数的值域。（）由，知 ，由，可求得即，利用两角和的正弦公式即可求得。例13. （2012年四川省文12分）已知函数。（）求函数的最小正周期和值域；（）若，求的值。【答案】解：（），的最小正周期为2，值域为。（）由（）知，=， cos。 。【考点】三角函数的性质、两角和的正（余）弦公式、二倍角公式。【解析】（）将化为 即可求得的最小正周期和值域。（）由=可求得cos，由余弦函数的二倍角公式与诱导公式可求得的值。例14. （2012年天津市理13分）已知函数，.()求函数的最小正周期；（）求函数在区间上的最大值和最小值.【答案】解：() ，函数的最小正周期。（）函数在区间上是增函数，在区间上是减函数， 又， 函数在的最大值为 2 ，最小值为1。【考点】三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值。【分析】()利用正弦函数的两角和与差的公式与辅助角公式将化为，即可求得函数的最小正周期。（）分析得到函数在区间上的增减性，即可是求得在区间的最大值和最小值。例15. （2012年天津市文13分） 在中，内角所对的分别是。已知，.（i）求和b的值；（ii）求的值。【答案】解：（i）在中，。 ，。，解得。（ii）、 ，。【考点】解三角形，三角函数中的恒等变换应用。【分析】（i）中，利用同角三角函数的基本关系求出，再由正弦定理求出，再由余弦定理求得。（ii）利用二倍角公式求得和的值，再由两角和的余弦公式求出的值。例16. （2012年安徽省理12分） 设函数 （i）求函数的最小正周期； （ii）设函数对任意，有，且当时， ； 求函数在上的解析式。【答案】解：（i）， 函数的最小正周期。（ii）当时， 当时， ，当时， ，。函数在上的解析式为。【考点】三角函数公式和性质。，【解析】（i）将化为，即可求出函数的最小正周期。 （ii）由得出关于的函数关系式。由分区间讨论即可。例17. （2012年安徽省文12分）设的内角所对的边为，且有（）求角的大小；（ii） 若，为的中点，求的长。【答案】解：（），。 。 。 （ii）， ，解得。 。 在中，。【考点】三角函数的应用，余弦定理，勾股定理和逆定理。【解析】（）化简即可求出角的大小。（ii）应用余弦定理，求出，从而根据勾股定理逆定理得到，在在中应用勾股定理即可求出的长。例18. （2012年广东省理12分）已知函数的最小正周期为（1）求的值；（2）设，求的值。【答案】解：（1）由得。（2）由（1）知， 且，。 ，。【考点】两角和与差的余弦函数，诱导公式，三角函数的函数的周期。【解析】（1）由题意，由于已经知道函数的周期，可直接利用公式解出参数的值。 （2）由题设条件，可先对，与进行化简，求出与两角的函数值，再由余弦的和角公式求出的值。例19. （2012年江西省理12分）在中，角的对边分别为。已知，。（1）求证：（2）若，求的面积。【答案】解：（1）证明：由bsincsina，应用正弦定理，得sinbsinsincsinsina，sinbsinc。整理得sinbcosccosbsinc1，即sin(bc)1。0b，c，bc。（2）由（1）知bc，又bca，b，c。由a，a，得b2sin，c2sin。abc的面积sbcsinasinsincossin。【考点】解三角形，三角形的面积，三角恒等变换、三角和差公式以及正弦定理的应用。【解析】（1）通过正弦定理以及三角和差公式化简已知表达式，推出bc的正弦函数值，由得出0b，c，从而求得bc。（2）利用，通过正弦定理求出b，c，然后利用三角形的面积公式求abc的面积。例20. （2012年江西省文12分）在中，角的对边分别为。已知。（1）求；（2）若， 的面积为，求。【答案】解：（1）由化简得：， 变形得：，即，。（2）为三角形的内角，。又，即，解得：。又，由余弦定理得，即=13。联立解得：或。【考点】余弦定理、正弦定理、诱导公式的应用，两角和与差的余弦函数。【解析】（1）利用两角和与差的余弦函数公式化简已知等式左边的第一项，移项合并后再利用两角和与差的余弦函数公式得出的值，将用三角形的内角和定理及诱导公式变形后，将的值代入即可求出的值。（2）由的值及为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出的值，利用三角形的面积公式表示出的面积，将已知的面积及的值代入，得出，记作，再由及的值，利用余弦定理列出关于与的关系式，记作，联立即可求出与的值。例21. （2012年浙江省理14分）在中，内角，的对边分别为，已知，（）求的值；（）若，求的面积【答案】解：()cosa0，sina。又coscsinbsin(ac)sinacoscsinccosacoscsinc整理得：tanc。（）由图辅助三角形知：sinc，。又由正弦定理知：，解得。abc的面积为：s。【考点】三角恒等变换，正弦定理，三角形面积求法。【解析】()由a为三角形的内角，及cosa的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sina的值，再将已知等式的左边sinb中的角b利用三角形的内角和定理变形为（a+c），利用诱导公式得到sinb=sin（a+c），再利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用同角三角函数间的基本关系即可求出tanc的值。（）由tanc的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinc 和cosc的值，将cosc的值代入中，即可求出的值，由求出c的值，最后由s即可求出三角形abc的面积。例22. （2012年浙江省文14分）在abc中，内角a，b，c的对边分别为a，b，c，且bsina=acosb。（1）求角b的大小；（2）若b=3，sinc=2sina，求a，c的值.【答案】解：（1）bsina=acosb，由正弦定理得，即。 b是abc的内角，。（2）sinc=2sina，由正弦定理得。 由余弦定理得， 解得。 。【考点】正弦定理，余弦定理，三角形内角和定理。【解析】（1）将已知的等式利用正弦定理化简，根据sina不为0，等式两边同时除以sina，再利用同角三角函数间的基本关系求出tanb的值，由b为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出b的度数。（2）由正弦定理化简sinc=2sina，得到关于a与c的关系，再由b及cosb的值，利用余弦定理列出关于a的一个方程，解出即可求出a与c的值。例23. （2012年湖北省文12分）设函数f(x)sin2x2sinxcosxcos2x(xr)的图象关于直线x对称，其中，为常数，且.（）求函数f(x)的最小正周期；（）若yf(x)的图象经过点，求函数f(x)的值域【答案】解：（）f(x)sin2xcos2x2sinxcosxcos2xsin2x2sin.，且直线x是yf(x)图象的一条对称轴，sin1。2k(kr)，即(kr)。又，kr，k1。f(x)的最小正周期是。（）由yf(x)的图象过点，得f0，即2sin2sin。f(x)2sin，函数f(x)的值域为2，2【考点】三角函数的恒等变化，正弦函数的定义域和值域。【解析】（）先利用二倍角公式和两角差的余弦公式将函数f(x)化为y=asin（x+）+k型函数，再利用函数的对称性和的范围，计算的值，最后利用周期计算公式得函数的最小正周期。（）先将已知点的坐标代入函数解析式，求得的值，再利用正弦函数的图象和性质即可求得函数f(x)的值域。例24. （2012年重庆市理13分）设，其中（）求函数 的值域；（8分）（）若在区间上为增函数，求的最大值.（5分）【答案】解：（） ，。即函数的值域为。（）由得。 在上为增函数。时，为增函数，对某个整数成立，易知必有=0。，解得。的最大值为。【考点】二倍角的余弦和正弦，两角和与差的正弦函数，正弦函数的定义域和值域，正弦函数的单调性。【分析】（i）由题意，可由三角函数的恒等变换公式对函数的解析式进行化简得到，由此易求得函数的值域。（ii）在区间上为增函数，此区间必为函数某一个单调区间的子集，由此可根据复合三角函数的单调性求出用参数表示的三角函数的单调递增区间，由集合的包含关系比较两个区间的端点即可得到参数所满足的不等式，由此不等式解出它的取值范围，即可得到它的最大值。例25. （2012年重庆市文12分）设函数（其中 ）在处取得最大值2，其图象与轴的相邻两个交点的距离为。（i）求的解析式（5分）；（ii）求函数的值域（7分）。【答案】解：（）函数图象与轴的相邻两个交点的距离为，的周期为，即，解得。在处取得最大值2，=2。，即。又，。的解析式为。（）函数， 又，且， 的值域为。【考点】三角函数中的恒等变换应用，由的部分图象确定其解析式。【分析】（）通过函数的周期求出，求出，利用函数经过的特殊点求出，推出的解析式。（）利用（）推出函数的表达式，应用同角函数关系式、倍角函数关系式得到。通过，且，求出的值域。例26. （2012年陕西省理12分）函数（）的最大值为3， 其图像相邻两条对称轴之间的距离为，（1）求函数的解析式；（2）设，则，求的值.【答案】解：（1）函数的最大值为3，即。函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，最小正周期为。函数的解析式为。（2），即。，。，即。【考点】三角函数的图像性质，三角函数的求值。【解析】（1）通过函数的最大值求出a，通过对称轴求出周期，求出，得到函数的解析式。（2）通过，求出，通过的范围，求出的值。五、三角函数与其它知识的综合问题：典型例题：例1. （2012年重庆市理5分）设是方程的两个根，则的值为【 】（a）-3 （b）-1 （c）1 （d）3【答案】a。【考点】两角和与差的三角公式，一元二次方程根与系数的关系。【分析】是方程的两个根， 根据一元二次方程根与系数的关系，得。 。故选a。例2. （2012年陕西省理5分）在中，角所对边长分别为，若，则的最小值为【 】a. b. c. d. 【答案】c。【考点】余弦定理，基本不等式的应用。【解析】通过余弦定理求出cosc的表达式，利用基本不等式求出cosc的最小值：，。由余弦定理得，当且仅当时取“=”。的最小值为。故选c。例3. （2012年上海市文4分）函数的最小正周期是 【答案】。【考点】行列式的基本运算，三角函数的值域，二倍角公式。【解析】,函数的最小正周期是。例4. （2012年安徽省理5分）设的内角所对的边为；则下列命题正确的是 若；则 若；则 若；则 若；则 若；则【答案】。【考点】余弦定理的应用，余弦函数的性质，不等式变形。【解析】根据余弦定理逐项分析：，。命题正确。，。命题正确。，。，。命题正确。，。命题错误。以例反证，取满足， 则。 又，。命题错误。例5. （2012年福建省理4分）已知abc的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为 【答案】。【考点】等比数列的性质，余弦定理的应用。【解析】abc的三边长成公比为的等比数列，设三角形的三边分别是：a、a、a。 最大角所对的边是a， 根据三角形中大边对大角的性质，结合余弦定理得：。 最大角的余弦值为。例6. （2012年全国大纲卷文10分）中，内角、成等差数列，其对边、满足，求a【答案】解：中，内角、成等差数列，。，。又，根据正弦定理，得。由“”进行均值换元，设 ，。则，化简，得。或。【考点】解三角形的运用，等差数列的性质，三角形的内角和定理，正弦定理，两角和的三角函数。【解析】根据角、成等差数列和三角形内角和定理可得，。运用均值换元法，由应用正弦定理和两角和的三角函数，化简等式，求出答案。例7. （2012年山东省理12分）已知向量m=（sinx，1），函数的最大值为6。（）求a；（）将函数y=f（x）的图象像左平移个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象。求g（x）在上的值域。【答案】解：（）。 函数的最大值为6。而 。（）函数y=f（x）的图象像左平移个单位得到函数的图象，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数。当时，.。函数g（x）在上的值域为。【考点】向量的运算，三角函数的值域，函数图象平移的性质。【解析】（）求出函数关于的表达式，化简后根据三角函数的值域确定a。（）由平移的性质，求出g（x），由得出的范围，从而求得函数g（x）在上的值域。例8. （2012年山东省文12分）在abc中，内角a，b，c所对的边分别为，已知.()求证：成等比数列；()若，求abc的面积s.【答案】解：()由已知得：，即。 ， 。 由正弦定理，得，成等比数列。()若，则， 由余弦定理，得， 。 abc的面积。【考点】正弦定理和余弦定理的应用，和的三角函数公式，同角三角函数公式，等比数列的判定。【解析】()根据和的三角函数公式化简，求得三角正弦之间的关系，由正弦定理推出结论。 ()由余弦定理求出的余弦，从而根据同角三角函数公式得到正弦，应用面积公式求解。例9. （2012年湖北省理12分）已知向量，设函数的图像关于直线=对称，其中为常数，且（）求函数的最小正周期；（2）若的图像经过点，求函数在区间上的取值范围。【答案】解：。（）函数的图像关于直线=对称，。又，。的最小正周期为。（ii）若的图像经过点，则有，。，。函数在区间上的取值范围为。【考点】数量积的坐标表达式，三角函数的恒等变化，正弦函数的定义域和值域。【解析】（）先利用向量数量积运算性质，求函数的解析式，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式将函数化为，最后利用函数的对称性