高考数学一轮复习 第七章 解析几何 第4讲 直线与圆的位置关系配套课件 理.ppt

第4讲直线与圆的位置关系 1 直线与圆的位置关系 2 两圆的位置关系 3 计算直线被圆截得的弦长的常用方法 1 几何方法 运用弦心距 即圆心到直线的距离 弦长的 一半及半径构成的直角三角形计算 2 代数方法 运用韦达定理及弦长公式 ab的斜率 说明 圆的弦长 弦心距的计算常用几何方法 4 圆的切线方程常用结论 1 过圆x2 y2 r2上一点p x0 y0 的圆的切线方程为x0 x y0y r2 2 过圆 x a 2 y b 2 r2上一点p x0 y0 的圆的切线方程为 x0 a x a y0 b y b r2 3 过圆x2 y2 r2外一点m x0 y0 作圆的两条切线 则两切点所在直线方程为x0 x y0y r2 1 圆 x 2 2 y2 4与圆 x 2 2 y 1 2 9的位置关系为 b a 内切 b 相交 c 外切 d 相离 解析 两圆心之间的距离为d 两圆的半径分别为r1 2 r2 3 则r2 r1 1 d r1 r2 5 故两圆相交 故选b 2 已知圆x2 y2 2x 2y a 0截直线x y 2 0所得弦 的长度为4 则实数a的值为 b a 2 b 4 c 6 d 8 3 已知直线x y a 0与圆心为c的圆x2 y2 2x 4y 4 0相交于a b两点 且ac bc 则实数a的值为 解析 圆c的标准方程为 x 1 2 y 2 2 9 所以圆c的圆心为 1 2 半径r 3 又直线x y a 0与圆c交于a b两点 且ac bc 所以圆心c到直线x y a 0的距离d a 6 0或6 4 2015年重庆 若点p 1 2 在以坐标原点为圆心的圆上 则 该圆在点p处的切线方程为 x 2y 5 0 解析 由点p 1 2 在以坐标原点为圆心的圆上知此圆的方程为x2 y2 5 所以该圆在点p处的切线方程为1 x 2 y 5 即x 2y 5 0 考点1 直线与圆的位置关系 考向1 直线与圆位置关系的判断 例1 若直线4x 3y a 0与圆x2 y2 100有如下关系 相交 相切 相离 试分别求实数a的取值范围 解 方法一 代数法 25x2 8ax a2 900 0 8a 2 4 25 a2 900 36a2 90000 当直线和圆相交时 0 即 36a2 90000 0 5050 方法二 几何法 圆x2 y2 100的圆心为 0 0 半径r 10 规律方法 判断直线与圆位置关系的三种方法 几何法 由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断 代数法 根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断 直线系法 若直线恒过定点 可通过判断点与圆的位置关系判断 但有一定的局限性 必须是过定点的直线系 互动探究 c 1 直线x ky 1 0与圆x2 y2 1的位置关系是 a 相交c 相交或相切 b 相离d 相切 解析 直线x ky 1 0恒过定点 1 0 而 1 0 在圆上 故直线与圆相交或相切 考向2 切线问题 例2 过点a 1 4 作圆 x 2 2 y 3 2 1的切线l 求切线l的方程 解 1 2 2 4 3 2 10 1 点a在圆外 方法一 当直线l的斜率不存在时 直线l的方程是x 1 不满足题意 设切线l的斜率为k 则方程为y 4 k x 1 即kx y 4 k 0 因此 所求切线l的方程为y 4或3x 4y 13 0 方法二 由于直线l是圆的切线 消去y 得到关于x的一元二次方程 1 k2 x2 2k2 2k 4 x k2 2k 4 0 则 2k2 2k 4 2 4 1 k2 k2 2k 4 0 化简 得4k2 3k 0 因此 所求切线l的方程为y 4或3x 4y 13 0 规律方法 1 过圆上一点 x0 y0 的圆的切线方程的求法 先求切点与圆心连线的斜率k 再由垂直关系得切线的斜率为 图形可直接得切线方程为y y0或x x0 2 过圆外一点 x0 y0 的圆的切线方程的求法 设切线方程为y y0 k x x0 由圆心到直线的距离等于半径建立方程 可求得k 也就得切线方程 当用此法只求出一个方程时 另一个方程应为x x0 因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况 而过圆外一点的切线有两条 一般不用联立方程组的方法求解 互动探究 b 2 2017年山西忻州模拟 过点 3 1 作圆 x 1 2 y2 r2的切 线有且只有一条 则该切线的方程为 a 2x y 5 0c x 2y 5 0 b 2x y 7 0d x 2y 7 0 解析 依题意知 点 3 1 在圆 x 1 2 y2 r2上 且为切点 圆的切线方程为y 1 2 x 3 即2x y 7 0 考向3 弦长问题 例3 1 2015年新课标 过三点a 1 3 b 4 2 c 1 7 的圆交y轴于m n两点 则 mn 答案 c 答案 4 规律方法 关于圆的弦长问题 可用几何法从半径 弦心距 弦长的一半所组成的直角三角形求解 也可用代数法的弦长公式求解 考点2 圆与圆的位置关系 例4 1 2016年山东 已知圆m x2 y2 2ay 0 a 0 截直 线x y 0所得线段的长度是 则圆m与圆n x 1 2 y 1 2 1的位置关系是 a 内切c 外切 b 相交d 相离 答案 b 2 若圆x2 y2 2mx m2 4 0与圆x2 y2 2x 4my 4m2 8 0相切 则实数m的取值集合是 规律方法 1 判断圆与圆的位置关系利用圆心距与两圆半径之间的关系 2 两圆相切包括内切和外切 两圆相离包括外离和内含 互动探究 c 3 若圆c1 x2 y2 1与圆c2 x2 y2 6x 8y m 0外切 则m a 21c 9 b 19d 11 考点3 直线与圆的综合应用 例5 已知圆c x2 y2 x 6y m 0和直线x 2y 3 0相交于p q两点 若op oq 求m的值 思维点拨 本题主要考查直线的方程 直线与圆的位置关系 根与系数的关系等知识 方法二 由直线x 2y 3 0 得3 x 2y 代入圆的方程x2 y2 x 6y m 0 则以弦pq为直径的圆可设为 x 1 2 y 2 2 r2 op oq 坐标原点在该圆上 则 0 1 2 0 2 2 r2 5 在rt cmq中 cm2 mq2 cq2 方法四 设过p q的圆系方程为x2 y2 x 6y m x 2y 3 0 由op oq知 点o 0 0 在圆上 m 3 0 即m 3 圆的方程化为x2 y2 x 6y 3 x 2 y 3 0 2 3 3 0 即x2 1 x y2 2 3 y 0 又圆心m在pq上 1 2 1 m 3 据直线方程构造出一个关于的二次方程 虽然有规律可循 但 规律方法 求解本题时 应避免去求p q两点坐标的具体数值 除此之外 还应对求出的m值进行必要的检验 这是因为在求解过程中并没有确保有交点存在 这一点很容易被大家忽略 方法一显示了解这类题的通法 方法二的关键在于依 yx 需要一定的变形技巧 同时也可以看出 这种方法一气呵成 互动探究 4 2015年新课标 已知过点a 0 1 且斜率为k的直线l与圆c x 2 2 y 3 2 1交于m n两点 1 求k的取值范围 所以直线l的方程为y x 1 故圆心在直线l上 所以 mn 2 易错 易混 易漏 忽略斜率不存在的情形及转化不等价致误 则k的取值范围为 a k 0b k 0 或k 1c k 1 或k1 或k 1 正解 由题意 设y1 y2 kx 2 当k 0时 原方程只有1个解x 0 满足题意 当k 0时 根据题意画出图象 如图7 4 1 易知当k 1或k 1时 半圆y