含30度角的直角三角形性质的教学.doc

课题： 13.3.2等边三角形（含30角的直角三角形性质）教学设计教材选择： 人教版八年级（上） 13.3等腰三角形 一、教学内容和内容解析1.教学内容：含30度角的直角三角形性质2.内容解析：本节是在学习了等边三角形的性质和判定之后，在学生已经学习了轴对称、全等三角形的基础上进行研究的。特殊的等腰三角形即等边三角形也具有三线合一的性质，可让学生动手操作.方法一：将两个含30度角的三角尺摆放在一起，借助这个图形发现这一性质(课本第80页探究) .方法二：利用等边三角形，沿对称轴剪开，得到两个直角三角形，也就是同学们常用的手中的三角板中的一块，让学生亲自发现这一性质.方法三：还可以直接对这个直角三角形纸片展开探究（如通过折叠或延长短直角边形成等边三角形或在斜边上截取线段等于短直角边，见教参第143页）发现这一性质.基于以上分析，确定本节课的学习目标：二、学习目标1.掌握含30度角的直角三角形性质与应用.2.通过探究30度角的直角三角形性质，增强对特殊直角三角形的认识，培养自己发现问题、分析问题、解决问题的能力.3.通过学习30度角的直角三角形性质，了解等边三角形与含30度角的直角三角形互相转化的事实，培养自己用发展、变化、联系的观点看问题的哲学思想。4.障碍点：含30度角的直角三角形性质的探索与证明.三、教学问题诊断分析学生通过对含30度角的直角三角形三条边的观察和度量不难发现这一性质，可能遇到的问题有：1. 方法三中，直接对含30度角的直角三角形纸片展开探究，需要折叠、做辅助线学生可能会有困难.2.关于命题的证明，学生练习的比较少，由此对猜想的证明，学生会在准确写出已知求证和证明步骤上遇到困难.四、教具、学具两个全等的含30度角的直角三角形纸板.五、教学支持条件分析根据本节课内容特点，为了通过直观形象的方式分散难点，给学生的探究铺设台阶，利用“动手拼一拼”制作等边三角形，通过“折叠重合”的演示，利用轴对称性找到相等的线段和相等的角，为后面的探究打下基础.同时课上借助投影展示学生探索发现的小成果，让学生分享自己的收获，感受互相学习的快乐，同时也由学生自己发现彼此存在的问题，通过交流解决问题.六、教学过程分析（一）创设情境 请学生观察含30度角的直角三角形，角与角、边与边之间有什么数量关系，引导学生进入“含30度角的直角三角形性质”的学习.（二）动手操作请利用含30度角的直角三角形纸板拼一拼、折一折。你有几种方法来说明你的猜想？设计意图：让学生经历拼摆三角形的活动，发现结论，同时引导学生意识到，通过实际操作探究出来的结论，还要给予证明.（三）观察发现含30角的直角三角形中，30角所对直角边等于斜边的一半.（四）推理验证方法一：如图，将两个含有30角的三角板放在一起，你能借助这个图形，找到RtABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？ 方法二：利用等边三角形，沿对称轴剪开，得到两个直角三角形，也就是同学们常用的手中的三角板中的一块，让学生亲自发现这一性质：方法三：1.已知：在ABC中，ACB=90BAC=30求证：BC= AB证明:把ABC折叠使点A与点C重合，折痕DE分别交AB于点D,交AC点E(如图二，证明略)2.已知：在ABC中，ACB=90BAC=30求证：BC= AB证明:延长BC至D，使CD=BC，连接AD(如图)在ABC中，ACB=90BAC=30，则B=60， ACD=90 又AC=AC， ABCADC(SAS) AB=AD ABD是等边三角形(有一个角是60的等腰三角形是等边三角形) BC= BD= AB 3.已知：在ABC中，ACB=90BAC=30求证：BC= AB证明: 在ABC的斜边上截取BE,使BE=BC,通过证明BEC是等边三角形，AEC是等腰三明这个结论.(略)（五）归纳总结含30角的直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么30角所对的直角边等于斜边的一半.即 在RtABC 中，A 30 BC= 1/2AB.（ 或2BC=AB）设计意图：教学中让学生亲身经历观察操作、通过应用和反思，加深对所用知识和方法的理解，了解所学知识之间的联系，通过定理的形成过程认清定理揭示的图形的本质特征. （六）典题解析1.如图：在RtABC中A=300,若BC=4,则AB= 8 ， BD= 2 . 2如图在ABC中,AB=AC=2a,B=150,求腰AB上的高的长度.解：过点C作CDBA交BA的长线于D AB=ACB=ACB=150 DAC=ABC+ACB=30 在RtABC中，DAC=30CD=AC=a 腰AB上的高为a.3.在ABC中,C=900,B=150，DE是AB的中垂线，BE=5,则求AC的长.解:连接AE DE是AB的中垂线 BE=AE B= EAB=150AEC=30C=900AC=AE=BE=2.5(七)课堂小结完成知识结构图，梳理本节课的收获.（略）（八）布置作业，第82页第4题，第83页第15题 （九）达标检 测（根据课堂实际情况选作，也可作为作业） (请同学们大展身手，相信你一定有能力完成下面的问题)1.三角形三个内角的度数比是123，它的最大边长为4，那么它的最小边长为 2 .2.如图所示,AOP=BOP=15,PCOA,PD OA,若PC=4.求PD的长. 解：过点作PEOB于 E）PD OA PE=PDAOP=BOP=15 PCOA CPO=AOP=15PCE=BOP +CPO= 30 2PE=PC=4 PD=2 3.将下面的空补充完整.如图所示，已知ABC中，ACB=90，CDAB于点D，A=30.求证：AB=4BD证：ABC中，ACB=90，A=30 BC=1/2ABB= 60 又BCD中,CDABBCD= 30 BD= 1/2 BCBD= 1/4 AB即 AB=4BD 4.如图所示，已知ABC中，ACB=90，A=30，BD平分ABC.求证：AD=2DC证明：ABC中，ACB=90，A=30ABC=60BD平分ABC CBD=ABD=30 B D=2CD ,BD=AD AD=2CD5.如图，AC是正方形ABCD的对角线，E、F分别为AB、AD边上的点，且 AE=AF，连接CE、CF（1）求证：CE=CF；（2）BCE=30，求的值针对学生第5题解题过程，有如下反思1.错误分析：不能利用平面几何的直观性，缺乏模型的思想 课程标准上说：“借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。”每个学生对三角板都应该很熟悉，其中含30度角的那块三角板就是这个定理的直观模型。另外从图形上直接可以看出AEBE,因此可以排除 2. 搞不清谁是谁的一半,分不清定理的题设及结论。谁是谁的一半？3.自创“定理”4.分析原因： 在教学中，不仅要使学生“知其然”而且要使学生“知其所以然”，决不能只靠记忆公式定理等去做题，要使数学教学成为一种过程教学，让学生在数学活动中发现并获得知识、形成技能和能力；把知识的形成过程转化为学生亲自观察、实验、发现、探索、运用的过程。使学生在获得知识的同时提高兴趣、增强信心、提高能力。针对这道的错误，可以看出学生对定理的本质不理解，对定理内容的掌握模糊不清，学习敷衍了事，定理产生的背景及根源不清楚，只凭想像记忆等。对于这道題出现的这几种典型错误本质上都可以归为是对等腰三角形的轴对称性即三线合一的性质认识不清，直接导致学生的错误，因此对三线合一定理的认识的不清晰是导致学生犯错误的根本原因。学生经常会有下面两个典型的错误认识：(1)等腰三角形顶角平分线就是底边中线-学生盲目拓展成(2)直角三角形中，如果有一个角是30度，则另一锐角是60度，60度是30度的两倍，则30度角所对的边就是60度角所对边的一半5解决方法（建议用两课时完成）给学生时间，让学生充分思考，深入探究，进行定理的再发现（一）如何理解等腰三角形的三线合一的性质老师们可设计一些活动：（1）、给学生一些不同形状的三角形纸片，如锐角、直角（或含30度角的直角三角形）、等腰等，让学生折出三角形的高线、角分线、中线，从而发现规律（如钝角三角形两条高线在形外、直角三角形斜边中线等于斜边一半、等腰三角形三线合一等）（2）、给学生一张长方形纸，让学生折出一个（或两个全等的）等腰（边）三角形纸片。活动一：一张长方形纸（如A4），如何剪出一等腰（边）三角形纸片？此题方法较多。可以先在纸上画一个等腰三角形然后再剪，也可以利用等腰三角形的轴对称性剪出，方法如下：把这张长方形的纸按图中虚线对折，并沿EG剪开，再把它展开，如图，得到的EGH就是等腰三角形。学生通过动手操作，很直观地发现等腰三角形的特征（1.是轴对称图形。折痕EF所在的直线就是这个等腰三角形的对称轴，EF是顶角的平分线、是底边的中线及高线，即三线合一。2.等腰三角形的两底角相等），激发了学生的求知欲望，提高了学生的学习兴趣。通过让学生亲自动手、实际操作，让他们画一画、剪一剪、拼一拼、折一折等，使一些抽象的数学知识转化为形象化、具体化，使学生在动手操作中、在浓厚的兴趣中获得新知识。托尔斯泰说过：“成功的教学所需要的不是强制，而是激发学生的兴趣。”“兴趣是最好的老师”。学生有了兴趣，他就乐于钻研，乐于探究，主动学习。兴趣对学生的学习起着巨大的推动和内驱作用。初中生好奇好动、乐于模仿，老师要充分利用学生的这些特点，精心设计一些数学活动，激发学生对数学的兴趣。特别地，如何剪出一等边三角形纸片呢？如果学生折不出，可设计下列问题：第一步：对折矩形纸片ABCD与BC合，得到折痕EF把纸片展开(如图6-5-1)；6-5-16-5-2第二步：再一次折叠纸片，使点A在EF并使折痕经过点B得到折痕BM时得到线段BN图6-5-2)请解答以下问题：(1)如图6-5-2，若延长MN交BC于P,BMP是什么三角形？请证明你的结论(2)在图6-5-2中，若，,满足什么关系，才能在矩形纸片上剪出符合(1)中结论的三角形纸片BMP ？【分析】利用中垂线的特征和翻折后图形全等得到ANBNAB,由等边三角形可知相关的角的度数,从而得出结论【解】(1)是等边三角形证明：连结AN 垂直平分，由折叠知，为等边三角形，ABN60，PBN30又ABMNBM30，BNMA90BPN60，60，MBP60，60，BMP为等边三角形(2)要在矩形纸片ABCD上剪出等边BMP，则BCBP在RtBNP中，PBN30BP b ab当ab时，在矩形上能剪出这样的等边BMPxyBOACD【说明】在动手操作的过程中，会产生很多的已知条件如：垂直平分，全等并利用这些已知条件解决问题在学习的过程中我们要注意培养学生从“形”到“数”，从“动手操作”到“建模解题”的能力活动二：认识三角形的三条主要线段。1.可让学生自己看书学习三角形中线、高线、角平分线的定义，有助于培养学生的阅读习惯及自学能力。让学生对这三个概念的异同点进行分析对比。2.将全班同学分成几个小组，发给每个小组一些三角形纸片：如锐角三角形纸片组、直角三角形纸片组、钝角三角形纸片组、等腰三角形纸片组等），让学生折出某条边的中线和高线及一角的平分线。折完后请每组选个组长说说他们组的发现并展示他们的作品，最后还要求学生们把不同情况的示意图画出来。设计这个活动可以加深学生对角平分线所在直线是角的对称轴的认识、加深对三角形高线的理解（可在形内、可在边上也可在形外）等请学生说说他们的发现。（学生的语言也许很不准确，老师要引导启发，不要急躁）学生可能会说：（1）. 三角形的中线把三角形分成了面积相等的两个三角形。三角形的高线（如果高线在形内）把三角形分成两个直角三角形。沿三角形的角平分线折叠可以使这个角的两边重合。（2）.三角形的中线和角平分线都在形内，高线可能在形外，也可能在三角形的边上。（3）.等腰三角形的三条线重合在一起。（引导学生指出是哪三条线，准确说出等腰三角形三线合一的性质定理并给出证明）活动三：加深对三角形高线及等腰三角形三线合一定理的理解设计一些练习题例. 已知AD是等腰三角形ABC一腰上的高，DAB=600，求ABC的三个内角的度数。温馨提示：1.对于等腰三角形，同学们一定要问哪两条边相等，此题中没有指明哪两边是腰，因此需要分情况讨论。由AD是等腰三角形一腰上的高，可知A不是顶角，B和C都有可能是顶角,要分别进行讨论。2.对三角形的三条主要线段即中线、高线和角平分线，同学们要掌握。特别要注意三角形的高线不一定在三角形内。如直角三角形直角边上的高在三角形的边上，钝角三角形锐角所对边上的高在三角形外部。因此本题对AD是在三角形内还是在三角形外还需要进行分析。此题如不认真审题很容易丢掉一些情况，致使答案不完整。符合此题条件的有下列图形如图2-1，2-2，2-3图2-1针对上面的三种图形，可得到ABC的三个内角的度数为： A=B= 300 ,C= 1200 或者A=C=750 ,B=300 或者A=C=150 ,B= 1500 请同学们写出详细的解答过程。例：如图在RtABC中，AB=AC，A=900，点D是BC边上任一点，DFAB于F，DEAC于E，M为BC的中点，试判断MEF是什么形状的三角形，并证明你的结论。分析：直观上猜测MEF是等腰直角三角形。如何证明ME=MF及MEMF呢？由M为BC的中点，则AM就是等腰三角形ABC的对称轴，即由三线合一性质可知AMBC，且AM平分A,下面易证AEMBFM,得到ME=MF，EMA=FMB,于是EMF=AMB=900其实直观上看，BFM绕M点顺时针旋转90度就得到了AEM因此ME=MF、MEMF拓展：如果点D在CB（或BC）的延长线上，其余条件不变，还有相应的结论吗？活动三：探索等腰三角形三线合一定理的逆命题的真假。等腰三角形的“三线合一”性质定理在初中几何证明和计算中占据了非常重要的地位，实际上这个性质的逆命题在证明中的直接或间接的应用也不亚于这个性质的直接应用，可以作为判定等腰三角形的一种重要思路。首先写出等腰三角形的“三线合一”性质定理的逆命题：“三线合一”性质定理：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合。由这个定理可写出三个逆命题：如果三角形中一条边的中线和这条边上的高线重合，那么这个三角形是等腰三角形。（简言之： 如果三角形中有一条线段既是高线又是中线，则它是等腰三角形） 如果三角形中一角的角平分线和它所对边的高线重合，那么这个三角形是等腰三角形。（简言之： 如果三角形中有一条线段既是角分线又是高线，则它是等腰三角形）如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形。（简言之： 如果三角形中有一条线段既是角分线又是中线，则它是等腰三角形）综上所述，简言之： 三角形中任意两线合一，必能推导出它是一个等腰三角形，必然三线合一。下面一一判别这三个命题的真假。这三个命题都是真命题。证明命题：已知如图AD是ABC的中线， AD又是BC边上的高线，求证：ABC是等腰三角形。由已知可知AD是BC边的中垂线，由中垂线的性质可得AB=AC;或由SAS两个小三角形全等，得到AB=AC。证明过程略。证明命题：已知如图ABC中，AD是BAC的角平分线， AD是BC边上的高线，求证：ABC是等腰三角形。由ASA直接全等，得到AB=AC。证明过程略。证明命题：已知如图ABC中，AD是BAC的角平分线， AD是BC边上的中线，求证：ABC是等腰三角形。分析：此时想直接通过证明这两条线所在的三角形全等是不行的，那就换种思路，在有中点的几何证明题中常用的添辅助线的方法是“倍长中线”，即延长AD到E点，使AD=ED，由此问题就解决了。其实“倍长中线”就是由于点D是线段BC的对称中心，直观上看就是将ADB绕D旋转1800，构造全等三角形。延长AD到E点，使AD=ED，连接CE,由ADBEDC(SAS),得到AB=CE,又易证AC=CE,于是AB=AC.证明略这三个命题都是真命题，但由于教材上没有直接地给出逆定理，所以很多学生在解题时很难想到利用这一性