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基础过关福建省长泰一中高考数学一轮复习空间直线学案1空间两条直线的位置关系为 、 、 2相交直线 一个公共点,平行直线 没有公共点,异面直线:不同在任 平面,没有公共点3公理4:平行于同一条直线的两条直线互相 4等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两角 5异面直线的判定定理过平面外一点与平面内一点的直线和平面内 的直线是异面直线(作用:判定两条直线是异面直线)6异面直线的距离:和两条异面直线 的直线称为异面直线的公垂线两条异面直线的公垂线在 的长度,叫两异面直线的距离典型例题ef变式训练1:在空间四边形abcd中,adbc2,e,f分别为ab、cd的中点,ef,求ad、bc所成角的大小解:设bd的中点g,连接fg,eg。在efg中 ef fgeg1bmancsegf120 ad与bc成60的角。例2. s是正三角形abc所在平面外的一点,如图sasbsc,且asbbsccsa,m、n分别是ab和sc的中点求异面直线sm与bn所成的角证明:连结cm,设q为cm的中点,连结qn 则qnsmqnb是sm与bn所成的角或其补角连结bq,设sca,在bqn中bn nqsma bqcosqnbqnbarc cosacbnma1c1b1解:连接mn,作ngbm交bc于g,连接ag,易证gna就是bm与an所成的角设:bccacc12,则agan,gnb1m,cdbefampcosgna。例4如图,四棱锥pabcd的底面是正方形,pa底面abcd,aepd,efcd,amef(1) 证明mf是异面直线ab与pc的公垂线;(2) 若pa3ab,求直线ac与平面eam所成角的正弦值(1)证明:efcd amcd amef,又amef amfe为平行四边形 abpa,abad ab面pad abae,又aemf, abmf又aepd cdae ae面pcd aepc mfpc mf为ab与pc的公垂线(2) 设ab1,则pa3,建立如图所示坐标系由已知得(0,),(1,0,0)面mfea的法向量为(0,1,3),(1,1,0),cos ac与面eam所成的角为arc cos,其正弦值为变式训练4:如图,在正方体中,e、f分别是、cd的中点()证明;()求与所成的角。(1)证明:因为ac1是正方体,所以ad面dc1 又df1dc1,所以add1f. (2)取ab中点g,连结a1g,fg, 因为f是cd的中点,所以gfad,又a1d1ad,所以gfa1d1,故四边形gfd1a1是平行四边形,a1gd1f。设a1g与ae相交于h,则a1ha是ae与d1f所成的角。因为e是bb1的中点,所以rta1agabe, ga1a=gah,从而a1ha=90,即直线ae与d1f所成的角为直角。小结归纳1求两条异面直线所成角的步骤:(1)找出或作出有关角的图形;(2)证明它符合定义;(3)求角2证明
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