用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程.doc

第二章 一元二次方程配方法（一） 西安市第十九中学 赵蕊一、学情分析本节课是在学习了一元二次方程的概念，并经历了用估算法求一元二次方程的根的过程，初步理解了一元二次方程解的意义之后的内容，经过初一，初二的学习，学生已具备了平方根的知识，学习了完全平方式的知识，并能够灵活的运用这些知识来解决问题的基础之上，进一步探索一元二次方程的解的求法。在学习了估算法求解一元二次方程的基础上，学生自然会产生用简单方法求其解的欲望；学生在理解一元二次方程的解的三种情况上有一定的难度，特别是没有解。因为初一学习的一元一次方程都有解，在学生的认知中只要是方程都有解，而现在出现没有解的情况，不容易接受。理解降次的过程有障碍，需要老师适时引导。在学生理解了整个解法的基础上，老师要对新知识进行练习巩固，这样才能有好的效果。二、教学目标(一)知识目标 1会用开平方法解形如(x+m)2=n(n0)的方程 2理解一元二次方程的解法配方法(二)能力训练要求 1会用开平方法解形如(x+m)2=n(n0)的方程；理解配方法 2体会转化的数学思想方法 3能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性(三)情感与价值观要求 通过师生的共同活动，学生的进一步操作来增强其数学应用意识和能力三、教学过程分析本节课设计了五个教学环节：第一环节：创设情景，引入新课；第二环节：探究新知；第三环节：练习提高；第四环节：课堂小结；第五环节：布置作业创设情景，引入新课 上节课，我们学习了用估算法求一元二次方程的根，大家有什么体会？（很麻烦，而且不能求出准确值）。这节课我们就来探究一种解一元二次方程的简单方法前面我们学过平方根的意义及其性质，现在来回忆一下：什么叫做平方根?平方根有哪些性质? 如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根。 用式子表示：若x2=a，则x叫做a的平方根 那你能求出适合等式x2=4的x的值吗?由x24可知，x就是4的平方根因此x的值为2和-2谁能写出完全平方式？a22ab+b2(ab)2（以问题串的形式引导学生逐步深入地思考，通过问题，引导学生复习开平方和完全平方公式。） 探究新知 我们已经学习了一元二次方程的定义及有关概念，现在同学们来讨论一下： 你会解下列一元二次方程吗?你是怎么做的?(1)x25； (2)3x20； (3)x2-40； (4)2x2-500；等式x2=4就是一元二次方程， 像这样类型的方程我们就能解.那么，下列一元二次方程，你会解吗？试一下(5)(x+2)216； (6) 2(x-3)26； (7) 3(x+3)2-90 （8） 2x2+500同学们思考分析，小组讨论，老师请同学回答。 方程(x+2)216呢？我们也可以解，即是要求(x+2)，使它的平方等于16，而16的平方根是4和-4，所以(x+2)就等于4或-4，因此x2或x-6老师总结：大家利用平方根的定义求解了一类一元二次方程，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法其中适合方程(8)的实数x不存在，所以原方程无实数解 从刚才的解题过程中，我们知道了一元二次方程如果有解，则它有两个根，这两个根可以是相等的，如方程(2)；也可以是不相等的，如方程(1)、(3)、(4)、(5)、(6)，所以我们在书写时，通常用x1、x2表示未知数为x的一元二次方程的两个根 注意： (1)方程3x20有两个相等的实数根，即x1=0，x2=0这与一元一次方程3x=0有一个根x0是有区别的 (2)刚才我们解的一元二次方程，可用形式ax2+c=0来表示当a、c异号时，方程ax2+c0有两个不相等的实数根；当a、c同号时，ax2+c=0没有实数根 好，接下来我们们来判断下列方程能否用开平方法来求解?如何解?（1） x2-4x+42； (2) x2+12x+365同学们思考分析，小组讨论，老师请同学回答，说明思路。 方程(1)能用开平方法求解因为方程(1)的左边正好是一个完全平方式，右边是一个正数，所以它可以化为(x-2)22 方程(2)也能用平方法来解，方法同解方程(1)。 很好，同学们基本了解了解一元二次方程的基本思路，谁来给大家叙述一下呢? 解一元二次方程的基本思路是：把原方程变为(x+m)2n，然后两边同时开平方，这样原方程就转化为两个一元一次方程即：实际上解一元二次方程的关键是要设法将其转化为一元一次方程，即将原方程“降次”，“降次”也是一种数学方法下面我们来看能否求出方程x2+12x-15=0的解？解方程x2+12x-15=0的困难在哪里?你能将方程x2+12x-150转化成(x+m)2=n的形式吗?同学们思考分析，小组讨论，老师总结：怎么样能把x2+12x-15=0的左边变成一个完全平方形式，右边变成一个非负数那想一想完全平方公式是:a22ab+b2(ab)2） 下面大家来做一做： 填上适当的数，使下列等式成立(1)x2+12x+ (x+6)2； (2)x2-4x+ =(x- )2； (3)x2+8x+ (x+ )2这三个等式的左边填的常数是：一次项系数一半的平方；然后，根据完全平方公式填右边。 下面同学们来看一例题： 例题解方程x2+8x-90 解：可以把常数项移到方程的右边，得 x2+8x9 两边都加上16，得 x2+8x+169+16， 即(x+4)2=25 开平方，得 x+45， 即x+4=5或x+4-5 所以x11，x2-9 我们通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。由此我们可以知道：由配方法解一元二次方程的基本思路是将方程转化为(x+m)2n的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当n0时，两边开平方便可求出它的根用这种方法解一元二次方程的思路是什么？其关键又是什么？（小组合作交流） 注；因为在实数范围内任何非负数都有平方根，所以当n0时，方程有解；当n0时，左边是一个完全平方式，右边是一个负数，因此方程在实数范围内无解 课堂练习 课本55页随堂练习 1 课时小结 1 师生互相交流、总结配方法解一元二次方程的基本思路和关键，以及在应用配方法时应注意的问题。2 鼓励学生结合本节课的学习，谈自己的收获与感想（学生畅所欲言，教师给予鼓励）。3 学生畅所欲言谈自己的切身感受与实际收获，掌握了配方法的基本思路和过程。V 布置作业 四、教学反思;相信学生并为学生提供充分展示自己的机会,课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度。本节课多次组织学生合作交流，通过小组合作，为学生提供展示自己聪明才智的机会，并且在此过程中教师发现了学生在分析问题和解决问题时出现的独到见解，以及思维的误区，这样使得老师