2年中考1年模拟中考数学 专题39 变式猜想问题试题（含解析）.doc

专题39 变式猜想问题解读考点知识点名师点晴变式猜想问题特殊的四边形的变式题理解并掌握特殊的四边形的性质，并能解决四边形的有关变式问题三角形有关的变式题利用三角形的性质、全等、相似解决相关是变式问题图形的旋转与对称变式利用图形的旋转和有关变换解决相关的变式问题2年中考【2015年题组】1（2015甘南州）如图1，在abc和edc中，ac=ce=cb=cd；acb=dce=90，ab与ce交于f，ed与ab，bc，分别交于m，h（1）求证：cf=ch；（2）如图2，abc不动，将edc绕点c旋转到bce=45时，试判断四边形acdm是什么四边形？并证明你的结论【答案】（1）证明见试题解析；（2）四边形acdm是菱形【解析】试题分析：（1）由abc=dce=90，ac=ce=cb=cd，可得b=e=45，故有bcfech，得出cf=ch；（2）由edc绕点c旋转到bce=45，推出四边形acdm是平行四边形，由ac=cd判断出四边形acdm是菱形试题解析：（1）ac=ce=cb=cd，acb=ecd=90，a=b=d=e=45在bcf和ech中，b=e，bc=ec，bce=ech，bcfech（asa），cf=ch（全等三角形的对应边相等）；考点：1菱形的判定；2全等三角形的判定与性质；3探究型；4综合题2（2015齐齐哈尔）如图1所示，在正方形abcd和正方形cgef中，点b、c、g在同一条直线上，m是线段ae的中点，dm的延长线交ef于点n，连接fm，易证：dm=fm，dmfm（无需写证明过程）（1）如图2，当点b、c、f在同一条直线上，dm的延长线交eg于点n，其余条件不变，试探究线段dm与fm有怎样的关系？请写出猜想，并给予证明；（2）如图3，当点e、b、c在同一条直线上，dm的延长线交ce的延长线于点n，其余条件不变，探究线段dm与fm有怎样的关系？请直接写出猜想【答案】（1）dm=fm，dmfm，证明见试题解析；（2）dm=fm，dmfm【解析】试题分析：（1）连接df，nf，由正方形的性质，得到adbc，bcge，于是有adge，得到dam=nem，即可证得madmen，得出dm=mn，ad=en，推出madmen，dfn是等腰直角三角形，即可得到结论；（2）连接df，nf，由正方形的性质，得到adbc，adcn，进而得到dam=nem，可证madmen，有dm=mn，ad=en，推出madmen，dfn是等腰直角三角形，于是可得到结论试题解析：（1）如图2，dm=fm，dmfm证明如下：连接df，nf，四边形abcd和cgef是正方形，adbc，bcge，adge，dam=nem，m是ae的中点，am=em，在mad与men中，amd=emn，am=em，dam=nem，madmen，dm=mn，ad=en，ad=cd，cd=ne，cf=ef，dcf=dcb=90，在dcf与nef中，cd=en，dcf=nef=90，cf=ef，madmen，df=nf，cfd=efn，efn+nfc=90，dfc+cfn=90，dfn=90，dmfm，dm=fm；考点：1四边形综合题；2全等三角形的判定与性质；3探究型；4压轴题3（2015牡丹江）已知四边形abcd是正方形，等腰直角aef的直角顶点e在直线bc上（不与点b，c重合），fmad，交射线ad于点m（1）当点e在边bc上，点m在边ad的延长线上时，如图，求证：ab+be=am；（提示：延长mf，交边bc的延长线于点h）（2）当点e在边cb的延长线上，点m在边ad上时，如图；当点e在边bc的延长线上，点m在边ad上时，如图请分别写出线段ab，be，am之间的数量关系，不需要证明；（3）在（1），（2）的条件下，若be=，afm=15，则am= 【答案】（1）证明见试题解析；（2）be= am+ab；（3）或（2）be= am+ab理由如下：如图，aeb+feh=90，aeb+eab=90，feh=eab，在abe与ehf中，abe=ehf，eab=feh，ae=fe，abeehf（aas），ab=eh=eb+am；如图bae+aeb=90，aeb+hef=90，bae=hef，在abe与ehf中，abe=ehf，bae=hef，ae=fe，abeehf（aas），ab=eh，be=bh+eh=am+ab；（3）如图，afm=15，afe=45，efm=60，efh=120，在efh中，fhe=90，efh=120，此情况不存在；考点：1全等三角形的判定与性质；2四边形综合题；3正方形的性质；4探究型；5和差倍分；6分类讨论；7综合题；8压轴题4（2015临沂）如图1，在正方形abcd的外侧，作两个等边三角形ade和dcf，连接af，be（1）请判断：af与be的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）如图2，若将条件“两个等边三角形ade和dcf”变为“两个等腰三角形ade和dcf，且ea=ed=fd=fc”，第（1）问中的结论是否仍然成立？请作出判断并给予说明；（3）若三角形ade和dcf为一般三角形，且ae=df，ed=fc，第（1）问中的结论都能成立吗？请直接写出你的判断【答案】（1）相等，互相垂直；（2）成立；（3）成立（3）第（1）问中的结论都能成立理由是：正方形abcd中，ab=ad=cd，在ade和dcf中，ae=df，ad=cd，de=cf，adedcf，dae=cdf，又正方形abcd中，bad=adc=90，bae=adf，在abe和adf中，ab=da，bae=adf，ae=df，abeadf，be=af，abm=daf，又daf+bam=90，abm+bam=90，在abm中，amb=180（abm+bam）=90，beaf考点：1四边形综合题；2正方形的性质；3全等三角形的判定与性质；4探究型；5综合题；6压轴题5（2015威海）如图1，直线与反比例函数（）的图象交于点a，b，直线与反比例函数的图象交于点c，d，且，顺次连接a，d，b，c，ad，bc分别交x轴于点f，h，交y轴于点e，g，连接fg，eh（1）四边形adbc的形状是 ；（2）如图2，若点a的坐标为（2，4），四边形aehc是正方形，则= ；（3）如图3，若四边形efgh为正方形，点a的坐标为（2，6），求点c的坐标；（4）判断：随着、取值的变化，四边形adbc能否为正方形？若能，求点a的坐标；若不能，请简要说明理由【答案】（1）平行四边形；（2）；（3）c（6，2）；（4）不能（4）根据反比例函数（）的图象不能与坐标轴相交可知aoc90，故四边形adbc的对角线不能互相垂直，由此可得出结论试题解析：（1）正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，oa=ob，oc=od，四边形adbc是平行四边形故答案为：平行四边形；（2）如图1，过点a作amy轴，垂足为m，过点c作cnx轴，垂足为n，四边形aehc是正方形，daac，四边形adbc是矩形，oa=ocam=cn，c（4，2），解得=故答案为：；考点：1反比例函数综合题；2探究型；3综合题；4压轴题6（2015德州）（1）问题如图1，在四边形abcd中，点p为ab上一点，dpc=a=b=90，求证：adbc=apbp（2）探究如图2，在四边形abcd中，点p为ab上一点，当dpc=a=b=时，上述结论是否依然成立？说明理由（3）应用请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在abd中，ab=6，ad=bd=5，点p以每秒1个单位长度的速度，由点a出了，沿边ab向点b运动，且满足dpc=a，设点p的运动时间为t（秒），当以d为圆心，以dc为半径的圆与ab相切时，求t的值【答案】（1）证明见试题解析；（2）成立，理由见试题解析；（3）1或5（2）结论adbc=apbp仍然成立理由：如图2，bpd=dpc+bpc，bpd=a+adp，dpc+bpc=a+adp，dpc=a=b=，bpc=adp，adpbpc，adbc=apbp；（3）如图3，过点d作deab于点ead=bd=5，ab=6，ae=be=3，由勾股定理可得de=4，以点d为圆心，dc为半径的圆与ab相切，dc=de=4，bc=54=1，又ad=bd，a=b，dpc=a=b，由（1）、（2）的经验可知adbc=apbp，51=t（6t），解得：，t的值为1秒或5秒考点：1相似形综合题；2切线的性质；3探究型；4阅读型；5压轴题7（2015济南）如图1，在abc中，acb=90，ac=bc，eac=90，点m为射线ae上任意一点（不与a重合），连接cm，将线段cm绕点c按顺时针方向旋转90得到线段cn，直线nb分别交直线cm、射线ae于点f、d（1）直接写出nde的度数；（2）如图2、图3，当eac为锐角或钝角时，其他条件不变，（1）中的结论是否发生变化？如果不变，选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由；（3）如图4，若eac=15，acm=60，直线cm与ab交于g，bd= ，其他条件不变，求线段am的长 【答案】（1）nde=90；（2）不变；（3）（2）不变，在macnbc中，ac=bc，acm=bcn，mc=nc，macnbc，n=amc，又mfd=nfc，mdf=fcn=90，即nde=90；（3）作gkbc于k，eac=15，bad=30，acm=60，gcb=30，agc=abc+gcb=75，amg=75，am=ag，macnbc，mac=nbc，bda=bca=90，bd=，ab=，ac=bc=，设bk=a，则gk=a，ck=，a=1，kb=kg=1，bg=，ag=，am=考点：1几何变换综合题；2旋转的性质；3探究型；4综合题；5压轴题8（2015济宁）阅读材料：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，利用上述结论可以求解如下题目：在abc中，a、b、c的对边分别为a，b，c若a=45，b=30，a=6，求b解：在abc中，理解应用：如图，甲船以每小时海里的速度向正北方向航行，当甲船位于a1处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的b1处，且乙船从b1处按北偏东15方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟到达a2时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的b2处，此时两船相距海里（1）判断a1a2b2的形状，并给出证明；（2）求乙船每小时航行多少海里？【答案】（1）等边三角形；（2）试题解析：解：（1）a1a2b2是等边三角形，理由如下：连结a1b2甲船以每小时海里的速度向正北方向航行，航行20分钟到达a2，a1a2=，又a2b2=，a1a2b2=60，a1a2b2是等边三角形；考点：1解直角三角形的应用-方向角问题；2阅读型；3探究型9（2015烟台）【问题提出】如图，已知abc是等腰三角形，点e在线段ab上，点d在直线bc上，且ed=ec，将bce绕点c顺时针旋转60至acf连接ef试证明：ab=db+af；【类比探究】（1）如图，如果点e在线段ab的延长线上，其他条件不变，线段ab，db，af之间又有怎样的数量关系？请说明理由；（2）如果点e在线段ba的延长线上，其他条件不变，请在图的基础上将图形补充完整，并写出ab，db，af之间的数量关系，不必说明理由【答案】【问题提出】证明见试题解析；【类比探究】（1）ab=bd+af；（2）af=ab+bd【解析】（2）首先根据点e在线段ba的延长线上，在图的基础上将图形补充完整，然后判断出cef是等边三角形，即可判断出ef=ec，再根据ed=ec，可得ed=ef，caf=bac=60，再判断出dbe=eaf，bde=aef；最后根据全等三角形判定的方法，判断出edbfea，即可判断出bd=ae，eb=af，进而判断出af=ab+bd即可试题解析：ed=ec=cf，bce绕点c顺时针旋转60至acf，ecf=60，bca=60，be=af，ec=cf，cef是等边三角形，ef=ec，cef=60，又ed=ec，ed=ef，abc是等腰三角形，bca=60，abc是等边三角形，caf=cba=60，eaf=bac+caf=120，dbe=120，eaf=dbe，caf=cef=60，a、e、c、f四点共圆，aef=acf，又ed=ec，d=bce，bce=acf，d=aef，在edb和fea中，dbe=eaf，d=aef，ed=ef（aas），edbfea，db=ae，be=af，ab=ae+be，ab=db+af（1）ab=bd+af；延长ef、ca交于点g，bce绕点c顺时针旋转60至acf，ecf=60，be=af，ec=cf，cef是等边三角形，ef=ec，又ed=ec，ed=ef，efc=bac=60，efc=fgc+fcg，bac=fgc+fea，fcg=fea，又fcg=ecd，d=ecd，d=fea，由旋转的性质，可得cbe=caf=120，dbe=fae=60，在edb和fea中，dbe=eaf，d=aef，ed=ef（aas），edbfea，bd=ae，eb=af，bd=fa+ab，即ab=bdaf；（2）如图，ed=ec=cf，bce绕点c顺时针旋转60至acf，ecf=60，be=af，ec=cf，bc=ac，cef是等边三角形，ef=ec，又ed=ec，ed=ef，ab=ac，bc=ac，abc是等边三角形，abc=60，又cbe=caf，caf=60，eaf=180cafbac=1806060=60dbe=eaf；ed=ec，ecd=edc，bde=ecd+dec=edc+dec，又edc=ebc+bed，bde=ebc+bed+dec=60+bec，aef=cef+bec=60+bec，bde=aef，在edb和fea中，dbe=eaf，bde=aef，ed=ef考点：1几何变换综合题；2旋转的性质；3和差倍分；4探究型；5综合题；6压轴题10（2015青岛）已知，如图，在abcd中，ab=3cm，bc=5cm，acab，acd沿ac的方向匀速平移得到pnm，速度为1cm/s；同时，点q从点c出发，沿cb方向匀速移动，速度为1cm/s，当pnm停止平移时，点q也停止移动，如图，设移动时间为t（s）（0t4），连接pq，mq，mc，解答下列问题：（1）当t为何值时，pqmn？（2）设qmc的面积为y（cm2），求y与x之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使sqmc：s四边形abqp=1：4？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由（4）是否存在某一时刻t，使pqmq？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）（0t4）；（3）t=2；（4）【解析】试题分析：（1）根据勾股定理求出ac，根据pqab，得出，求解即可；（2）过点p作pdbc于d，根据cpdcba，得出，求出pd=，再根据sqmc=sqpc，得出y=sqmc=qcpd，再代入计算即可；（2）过点p作pdbc于d，cpdcba，pd=，pdbc，sqmc=sqpc，即（0t4）；（3）sqmc：s四边形abqp=1：4，sqpc：s四边形abqp=1：4，sqpc：sabc=1：5，（）：6=1：5，整理得：，解得；（4）若pqmq，则pqm=pdq，mpq=pqd，pdqmqp，=mpdq，=mpdq，cd=，dq=cdcq=，整理得，解得（舍去），时，pqmq考点：1相似形综合题；2动点型；3存在型；4综合题；5压轴题11（2015台州）定义：如图1，点m，n把线段ab分割成am，mn和bn，若以am，mn，bn为边的三角形是一个直角三角形，则称点m，n是线段ab的勾股分割点（1）已知点m，n是线段ab的勾股分割点，若am=2，mn=3，求bn的长；（2）如图2，在abc中，fg是中位线，点d，e是线段bc的勾股分割点，且ecdebd，连接ad，ae分别交fg于点m，n，求证：点m，n是线段fg的勾股分割点；（3）已知点c是线段ab上的一定点，其位置如图3所示，请在bc上画一点d，使点c，d是线段ab的勾股分割点（要求尺规作图，保留作图痕迹，画一种情形即可）；（4）如图4，已知点m，n是线段ab的勾股分割点，mnambn，amc，mnd和nbe均为等边三角形，ae分别交cm，dm，dn于点f，g，h，若h是dn的中点，试探究，和的数量关系，并说明理由【答案】（1）bn=或；（2）；（3）；（4）（3）在ab上截取ce=ca；作ae点垂直平分线，截取cf=ca；作bf的垂直平分线，交ab于d即可；（4）先证明dghneh，得出dg=en=b，mg=cb，再证明agmaen，得出比例式，得出，证出，得出a=b，证出dghcaf，得出，证出，即可得出结论试题解析：（1）当mn为最大线段时，点 m、n是线段ab的勾股分割点，bn=；当bn为最大线段时，点m、n是线段ab的勾股分割点，bn=；综上所述：bn=或；点d即为所求；如图所示：（4）理由如下：设am=a，bn=b，mn=c，h是dn的中点，dh=hn=，mnd、bne均为等边三角形，d=dne=60，在dgh和neh中，d=dne，dh=hn，dhg=nhe，dghneh（asa），dg=en=b，mg=cb，gmen，agmaen，点 m、n是线段ab的勾股分割点，又，a=b，在dgh和caf中，d=c，dg=ca，dgh=caf，dghcaf（asa），考点：1相似形综合题；2分类讨论；3新定义；4探究型；5综合题；6压轴题12（2015丹东）在正方形abcd中，对角线ac与bd交于点o；在rtpmn中，mpn=90（1）如图1，若点p与点o重合且pmad、pnab，分别交ad、ab于点e、f，请直接写出pe与pf的数量关系；（2）将图1中的rtpmn绕点o顺时针旋转角度（045）如图2，在旋转过程中（1）中的结论依然成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；如图2，在旋转过程中，当dom=15时，连接ef，若正方形的边长为2，请直接写出线段ef的长；如图3，旋转后，若rtpmn的顶点p在线段ob上移动（不与点o、b重合），当bd=3bp时，猜想此时pe与pf的数量关系，并给出证明；当bd=mbp时，请直接写出pe与pf的数量关系【答案】（1）pe=pf；（2）成立；pe=2pf，pe=（m1）pf（2）成立，理由：ac、bd是正方形abcd的对角线，oa=od，fao=edo=45，aod=90，doe+aoe=90，mpn=90，foa+aoe=90，foa=doe，在foa和eod中，fao=fdo，oa=od，foa=doe，foaeod，oe=of，即pe=pf；考点：1四边形综合题；2正方形的性质；3相似三角形的判定与性质；4探究型；5和差倍分；6综合题；7压轴题13（2015大连）在abc中，点d，e，f分别在ab，bc，ac上，且adf+dec=180，afe=bde（1）如图1，当de=df时，图1中是否存在与ab相等的线段？若存在，请找出，并加以证明；若不存在，说明理由；（2）如图2，当de=kdf（其中0k1）时，若a=90，af=m，求bd的长（用含k，m的式子表示）【答案】（1）ab=be；（2）bd=试题解析：（1）如图1，连结aede=df，def=dfe，adf+dec=180，adf=deb，afe=bde，afe+ade=180，a、d、e、f四点共圆，dae=dfe=def，adf=aef，adf=deb=aef，aef+aed=deb+aed，aeb=def=bae，ab=be；（2）如图2，连结aeafe=bde，afe+ade=180，a、d、e、f四点共圆，adf=aef，daf=90，def=90，adf+dec=180，adf=deb，adf=aef，deb=aef，在bde与afe中，deb=aef，bde=afe，bdeafe，在直角def中，def=90，de=kdf，ef=df，=，bd=考点：1相似三角形的判定与性质；2探究型；3存在型；4综合题；5压轴题14（2015葫芦岛）在abc中，ab=ac，点f是bc延长线上一点，以cf为边，作菱形cdef，使菱形cdef与点a在bc的同侧，连接be，点g是be的中点，连接ag、dg（1）如图，当bac=dcf=90时，直接写出ag与dg的位置和数量关系；（2）如图，当bac=dcf=60时，试探究ag与dg的位置和数量关系，（3）当bac=dcf=时，直接写出ag与dg的数量关系【答案】（1）agdg，ag=dg；（2）aggd，ag=dg；（3）dg=agtan（3）延长dg与bc交于h，连接ah、ad，先证bghegd求得bh=ed，hg=dg，得出bh=dc，再证abhacd，得出bah=cad，ah=ad，进而求得had是等腰三角形，即可证得dg=agtan试题解析：（1）agdg，ag=dg，证明如下：延长dg与bc交于h，连接ah、ad，四边形dcef是正方形，de=dc，decf，gbh=ged，ghb=gde，g是bc的中点，bg=eg，在bgh和egd中，gbh=ged，ghb=gde，bg=eg，bghegd（aas），bh=ed，hg=dg，bh=dc，ab=ac，bac=90，abc=acb=45，dcf=90，dcb=90，acd=45，abh=acd=45，在abh和acd中，ab=ac，abh=acd，bh=cd，abhacd（sas），bah=cad，ah=ad，bah+hac=90，cad+hac=90，即had=90，aggd，ag=gd；（2）aggd，ag=dg；证明如下：延长dg与bc交于h，连接ah、ad，四边形dcef是正方形，de=dc，decf，gbh=ged，ghb=gde，g是bc的中点，bg=eg，在bgh和egd中，gbh=ged，ghb=gde，bg=eg，bghegd（aas），bh=ed，hg=dg，bh=dc，ab=ac，bac=dcf=60，abc=60，acd=60，abc=acd=60，在abh和acd中，ab=ac，abh=acd，bh=cd，abhacd（sas），bah=cad，ah=ad，bac=had=60，aghd，hag=dag=30，tandag=tan30=，ag=dg；考点：1四边形综合题；2正方形的性质；3全等三角形的判定与性质；4探究型；5压轴题15（2015抚顺）在rtabc中，bac=90，过点b的直线mnac，d为bc边上一点，连接ad，作dead交mn于点e，连接ae（1）如图，当abc=45时，求证：ad=de；（2）如图，当abc=30时，线段ad与de有何数量关系？并请说明理由；（3）当abc=时，请直接写出线段ad与de的数量关系（用含的三角函数表示）【答案】（1）证明见试题解析；（2）de=ad；（3）ad=detan【解析】试题分析：（1）过点d作dfbc，交ab于点f，得出bde=adf，ebd=afd，即可得到bdefda，从而得到ad=de；如图2，过点d作dgbc，交ab于点g，则bde+gde=90，dead，gde+adg=90，bde=adg，bac=90，abc=30，c=60，mnac，ebd=180c=120，abc=30，dgbc，bgd=60，agd=120，ebd=agd，bdegda，在rtbdg中，=tan30=，de=ad；（3）ad=detan；理由：如图2，bde+gde=90，dead，gde+adg=90，bde=adg，ebd=90+，agd=90+，ebd=agd，ebdagd，在rtbdg中，=tan，则=tan，ad=detan考点：1相似三角形的判定与性质；2全等三角形的判定与性质；3探究型；4综合题；5压轴题16（2015朝阳）问题：如图（1），在rtacb中，acb=90，ac=cb，dce=45，试探究ad、de、eb满足的等量关系探究发现小聪同学利用图形变换，将cad绕点c逆时针旋转90得到cbh，连接eh，由已知条件易得ebh=90，ech=ecb+bch=ecb+acd=45根据“边角边”，可证ceh ，得eh=ed在rthbe中，由 定理，可得bh2+eb2=eh2，由bh=ad，可得ad、de、eb之间的等量关系是 实践运用（1）如图（2），在正方形abcd中，aef的顶点e、f分别在bc、cd边上，高ag与正方形的边长相等，求eaf的度数；（2）在（1）条件下，连接bd，分别交ae、af于点m、n，若be=2，df=3，bm=2，运用小聪同学探究的结论，求正方形的边长及mn的长【答案】探究发现cde；勾股；实践运用（1）45；（2）正方形边长为6，mn=（1）在rtabe和rtage中，ab=ag，ae=ae，rtabertage（hl），bae=gae，同理，rtadfrtagf，gaf=daf，四边形abcd是正方形，bad=90，eaf=bad=45；考点：1几何变换综合题；2阅读型；3探究型；4综合题；5压轴题17（2015本溪）如图1，在abc中，ab=ac，射线bp从ba所在位置开始绕点b顺时针旋转，旋转角为（0180）（1）当bac=60时，将bp旋转到图2位置，点d在射线bp上若cdp=120，则acd abd（填“”、“=”、“”），线段bd、cd与ad之间的数量关系是 ；（2）当bac=120时，将bp旋转到图3位置，点d在射线bp上，若cdp=60，求证：bdcd=ad；（3）将图3中的bp继续旋转，当30180时，点d是直线bp上一点（点p不在线段bd上），若cdp=120，请直接写出线段bd、cd与ad之间的数量关系（不必证明）【答案】（1）=，bd=cd+ad；（2）证明见试题解析；（3）bd+cd=ad【解析】试题分析：（1）如图2，由cdp=120，得出cdb=60，则cdb=bac=60，所以a、b、c、d四点共圆，由圆周角定理得出acd=abd；在bp上截取be=cd，连接ae利用sas证明dcaeba，得到ad=ae，dac=eab，再证明ade是等边三角形，得到de=ad，进而得出bd=cd+ad（2）如图3，设ac与bd相交于点o，在bp上截取be=cd，连接ae，过a作afbd于f先证docaob，得到dca=eba再利用sas证明dcaeba，得到ad=ae，dac=eab由cab=cae+eab=120，得出dae=120，由等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出ade=aed=30解rtadf，得出df=ad，那么de=2df=ad，进而得出bd=de+be=ad+cd，即bdcd=ad；（3）bd+cd=ad考点：1几何变换综合题；2探究型；3和差倍分；4全等三角形的判定与性质；5压轴题18（2015锦州）如图，qpn的顶点p在正方形abcd两条对角线的交点处，qpn=，将qpn绕点p旋转，旋转过程中qpn的两边分别与正方形abcd的边ad和cd交于点e和点f（点f与点c，d不重合）（1）如图，当=90时，de，df，ad之间满足的数量关系是 ；（2）如图，将图中的正方形abcd改为adc=120的菱形，其他条件不变，当=60时，（1）中的结论变为de+df=ad，请给出证明；（3）在（2）的条件下，若旋转过程中qpn的边pq与射线ad交于点e，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，de，df，ad之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明【答案】（1）de+df=ad；（2）证明见试题解析；（3）当点e落在ad上时，de+df=ad，当点e落在ad的延长线上时，dfde =ad（3）当点e落在ad上时，de+df=ad，当点e落在ad的延长线上时，dfde =ad试题解析：（1）正方形abcd的对角线ac，bd交于点p，pa=pd，pae=pdf=45，ape+epd=dpf+epd=90，ape=dpf，在ape和dpf中，ape=dpf，pa=pd，pae=pdf，apedpf（asa），ae=df，de+df=ad，（2）如图，取ad的中点m，连接pm，四边形abcd为adc=120的菱形，bd=ad，dap=30，adp=cdp=60，mdp是等边三角形，pm=pd，pme=pdf=60，pam=30，mpd=60，qpn=60，mpe=fpd，在mpe和fpd中，pme=pdf，pm=pd，mpe=fpd，mpefpd（asa），me=df，de+df=ad；考点：1四边形综合题；2分类讨论；3和差倍分；4探究型；5压轴题19（2015三明）在正方形abcd中，点e，f分别在边bc，cd上，且eaf=cef=45（1）将adf绕着点a顺时针旋转90，得到abg（如图），求证：aegaef；（2）若直线ef与ab，ad的延长线分别交于点m，n（如图），求证：；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图），请你直接写出线段ef，be，df之间的数量关系【答案】（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析；（3）【解析】试题分析：（1）由旋转的性质可知af=ag，eaf=gae=45，即可得到aegaef；（2）将adf绕着点a顺时针旋转90，得到abg，连结gm由（1）知aegaef，则有eg=ef再由bme、dnf、cef均为等腰直角三角形，得出ce=cf，be=bm，nf=df，再证明gme=90，mg=nf，由勾股定理得到，等量代换即可得到；（3）延长ef交ab延长线于m点，交ad延长线于n点，将adf绕着点a顺时针旋转90，得到agh，连结hm，he由（1）知aehaef，得到ef=he，df=gh，be=bm，由（2）知hmme，得到，从而得到结论（3）证明如下：如图3所示，延长ef交ab延长线于m点，交ad延长线于n点，将adf绕着点a顺时针旋转90，得到agh，连结hm，he由（1）知aehaef，ef=he，df=gh，be=bm，由（2）知hmme， 考点：1全等三角形的判定与性质；2四边形综合题；3探究型；4旋转的性质；5和差倍分；6压轴题【2014年题组】1（2014年浙江温州卷）如图，在平面直角坐标系中，点a，b的坐标分别是（-3，0），（0，6），动点p从点o出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点c从点b出发，沿射线bo方向以每秒2个单位的速度运动以cp，co为邻边构造pcod，在线段op延长线上取点e，使pe=ao，设点p运动的时间为秒（1）当点c运动到线段ob的中点时，求的值及点e的坐标；（2）当点c在线段ob上时，求证：四边形adec为平行四边形；（3）在线段pe上取点f，使pf=1，过点f作mnpe，截取fm=2，fn=1，且点m，n分别在第一、四象限，在运动过程中，设pcod的面积为s当点m，n中，有一点落在四边形adec的边上时，求出所有满足条件的的值；若点m，n中恰好只有一个点落在四边形adec内部（不包括边界）时，直接写出s的取值范围【答案】（1），（，0）；（2）证明见解析；（3）1，5；s或s20第二种情况，当点n在ce边上时，由efneoc求解,当1t时和当t5时，分别求出s的取值范围,当1t时，s=t（62t）=2（t）2+,t=在1t范围内，s（3）（）当点c在bo上时,第一种情况：如答图2，当点m在ce边上时,mfoc，emfeco，即，解得t=1第二种情况：如答图3，当点n在de边时,nfpd，efnepd即，解得t=（）当点c在bo的延长线上时,第一种情况：如答图4，当点m在de边上时,mfpd，emfedp即，解得t=第二种情况：如答图5，当点n在ce边上时,nfoc，efneoc即，解得t=5综上所述，所有满足条件的t的值为1，5考点：1双动点问题；2平行四边形的判定；3相似三角形的判定和性质；4二次函数的性质；5分类思想的应用2（2014年广西北海卷）如图（1），e是正方形abcd的边bc上的一个点（e与b、c两点不重合），过点e作射线epae，在射线ep上截取线段ef，使得ef=ae；过点f作fgbc交bc的延长线于点g（1）求证：fg=be；（2）连接cf，如图（2），求证：cf平分dcg；（3）当时，求sincfe的值【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）【解析】试题分析：（1）根据同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且ae=ef，利用aas得到三角形abe与三角形efg全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证（2）由（1）得到bc=ab=eg，利用等式的性质得到be=cg，根据fg=be，等量代价得到fg=cg，即三角形fcg为等腰直角三角形，得到fcg=45，即可得证（3）如答图，作chef于h，则ehcegf，利用相似得比例，根据be与bc的比值，设出be，ec，以及eg，fg，利用勾股定理表示出ef，cf，进而表示出hc，在直角三角形hc中，利用锐角三角函数定义即可求出sincfe的值试题解析：解：（1）证明：epae，aeb+gef=90又aeb+bae=90，gef=bae又fgbc，abe=egf=90在abe与egf中，,abeegf（aas）fg=be（2）证明：由（1）知：bc=ab=eg，bcec=egecbe=cg又fg=be，fg=cg又cgf=90，fcg=45=dcg cf平分dcg 考点：1四边形综合题；2正方形的性质；3全等三角形的判定和性质；4等腰直角三角形的判定和性质；5相似三角形的判定和性质；6锐角三角函数定义3（2014年山东临沂中考数学）【问题情境】如图1，四边形abcd是正方形，m是bc边上的一点，e是cd边的中点，ae平分dam【探究展示】（1）证明：am=ad+mc；（2）am=de+bm是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由【拓展延伸】（3）若四边形abcd是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明【答案】（1）证明见解析；成立；证明见解析；（3）结论am=ad+mc仍然成立结论am=de+bm不成立试题解析：（1）延长ae、bc交于点n，如图1（1）,四边形abcd是正方形,adbcdae=encae平分dam,dae=maeenc=maema=mn在ade和nce中,adence（aas）ad=ncma=mn=nc+mc=ad+mcbf=de，f=aedabdc,aed=baefab=ead=eam,aed=bae=bam+eam=bam+fab=famf=famam=fmam=fb+bm=de+bm（3）结论am=ad+mc仍然成立延长ae、bc交于点p，如图2（1）,四边形abcd是矩形,adbcdae=epcae平分dam,dae=maeepc=maema=mp在ade和pce中,adepce（aas）ad=pcma=mp=pc+mc=ad+mcqab=ead=eam,aed=bae=bam+eam=bam+qab=qamq=qam考点：1、角平分线的定义；2、平行线的性质；3、全等三角形的判定与性质；4、矩形及正方形的性质4（2014年辽宁阜新卷）已知，在矩形abcd中，连接对角线ac，将abc绕点b顺时针旋转90得到efg，并将它沿直线ab向左平移，直线eg与bc交于点h，连接ah，cg（1）如图，当ab=bc，点f平移到线段ba上时，线段ah，cg有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你的猜想；（2）如图，当ab=bc，点f平移到线段ba的延长线上时，（1）中的结论是否成立，请说明理由；（3）如图，当时，对矩形abcd进行如已知同样的变换操作，线段ah，cg有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你的猜想 图 图 图【答案】（1）ah=cg，ahcg；（2）ah=cg，ahcg，理由见解析；（3）ah=ncg，ah