通项公式与数列求和全.doc

数列通项公式的求法一、观察法（关键是找出各项与项数n的关系.）例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999，（2）（3）（4）（10）a, b, a, b, a, b, 答案：（1） （2） （3） （4）（5）an= （6）an= （7）an= （8）（9）（10）二、公式法1、等差数列求和公式：2、等比数列求和公式：3、 例2： 1. 等差数列是递减数列，且=48，=12，则数列的通项公式是（ ） (A) (B) (C) (D) (D)2、（2009福建卷文）等比数列中，已知，求数列的通项公式；若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式；答案：例3：已知下列两数列的前n项和sn的公式，求的通项公式.（1）. （2）答案：（1）=3，（2）点评：先分n=1和两种情况，然后验证能否统一.练习1、已知数列an的前n和满足求此数列的通项公式。解 由条件可得，当所以2.（2009陕西卷文）设等差数列的前n项和为，若，则 答案；3. （2009四川卷理）设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。求数列的通项公式； 答案4.（福建文） 数列的前项和为，求数列的通项；答案三、累加法 型如的递推关系简析：已知,，其中f(n)可以是关于n的一次、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; 若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和; 若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和各式相加得 例4：已知数列6，9，14，21，30，求此数列的一个通项. .答案：例5. 已知，求的通项。解：、，将各式叠加并整理得，例6. 若在数列中，求通项 .答案：=例7.已知数列满足，求此数列的通项公式. 答案： 练习：已知数列an中，a1=1，对任意自然数n都有，求 答案四、累乗法 形如=(n)型（1）当f(n)为常数，即：（其中q是不为0的常数），此时数列为等比数列，=.（2）当f(n)为n的函数时,用累乘法.例8：在数列中， =1, (n+1)=n，求的表达式. 答案例9： 已知数列中，前项和与的关系是 ，试求通项公式. .答案： 例10已知数列an满足，求an的通项公式。解 , ，两式相减得, 于是有以上各式相乘，得，又a1=1，an=n (nN)练习：1. 答案 2. 已知，求。 答案3、已知,求数列an的通项公式.分析：原式化为 若令,则问题进一步转化为形式，累积得解.五、构造特殊数列法构造1：形如,其中)型（1）若c=1时，数列为等差数列; （2）若d=0时，数列为等比数列;（3）若时，数列为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法如下：设,得,与题设比较系数得， 所以：,即构成以为首项，以c为公比的等比数列.例11：已知数的递推关系为，且求通项. 答案：例12(07全国2理)设数列的首项求的通项公式； 解由整理得又，所以是首项为，公比为的等比数列，得构造2： 解法：只需构造数列，消去带来的差异例13设数列：，求.解：设，将代入递推式，得（）则,又，故代入（）得说明：（1）若为的二次式，则可设;(2)本题也可由 ,（）两式相减得转化为求之.例14、(天津文)在数列中，求数列的通项公式；解：由题设，得，又，所以数列是首项为，且公比为的等比数列可知，于是数列的通项公式为练习：1.（2006重庆）已知数列满足且，求数列的通项公式。2. (2009湖北卷理)已知数列的前n项和（n为正整数）,求数列的通项公式；3. （2008四川卷）设数列的前项和为，已知，求的通项公式 。（）当时，求证：是等比数列；（）求通项公式解析：由题意，在中，令，得，由得两式相减得：即（）当时，由知，于是 又，所以是首项为1，公比为2的等比数列（）变：当时，求的通项公式解法如下：解：当时，由知，两边同时除以得 是等差数列，公差为，首项为（，是等比数列，首项为1，公比为2）（）当时，由（）知，即当时，由：两边同时除以得可设展开得，与比较，得，是等比数列，公比为，首项为 构造3： （）思路（构造等比数列）：在两边同时除以qn+1 ，转化为类型一。例15（2009全国卷理）在数列中，求数列的前项和。分析：（I）由已知有 设 利用累差迭加即可求出数列的通项公式: ()（II）由（I）知,=而,又是一个典型的错位相减法模型，易得 =练习：1.（09安徽卷）在数列中，,求数列的通项公式. 2已知，求的通项。构造4：（p,q为常数且，q0）设an+2=pan+1+qan变形为an+2-xan+1=y(an+1-xan)，即an+2=(x+y)an+1-(xy)an，则可得到x+y=p，xy= -q，解得x，y，于是bn就是公比为y的等比数列（其中bn=an+1-xan），转化为类型一来解决。例16（09全国卷理）设数列的前项和为 已知，求数列的通项公式。解：（I）由， 则当时，有 得设，由及，有又，是首项，公比为的等比数列（II）由（I）可得，（转化为类型二）数列是首项为，公差为的等差数列， 例17. 已知数列中，,，求。解：在两边乘以得：令，则,应用例7解法得：所以练习1.（09陕西卷文）已知数列满足， .求的通项。 解：（1）当时，是以1为首项，为公比的等比数列。（2）解由（1）知当时，当时，。 2.（2008天津卷）在数列中，且（）求数列的通项公式；（）证明：由题设，得，即又，所以是首项为1，公比为的等比数列（）解：由（），将以上各式相加，得所以当时，上式对显然成立3、在数列中，求.提示：变为.4、 ，则答案构造5：倒数为特殊数列： （）或者an+1-an=pan+1an思路：（取倒数法）对递推式两边取倒数得，那么，令，这样，问题就可以转化为类型一进行求解了。例18： 已知数列中且（），求数列的通项公式. 答案 例19（陕西卷22）已知数列的首项，求的通项公式；，（转化为类型一，再构造等比数列），又，是以为首项，为公比的等比数列，练习：已知，求。构造6： （）思路：（取对数法）对递推式两边取对数得，我们令，将问题转化成类型一来进行求解。例20数列满足a1=2，2+，求解：，且221 1恒成立。+1， -1成等比,q=3,首项lg3, lg= = ，.练习：已知，求六、待定系数法：例21：设数列的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若c1=2，c2=4，c3=7，c4=12，求通项公式cn解析：设 建立方程组，解得.点评：用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前n项和公式为某一多项式，一般地，若数列为等差数列：则，（b、为常数），若数列为等比数列，则，.七、迭代法 一般是递推关系含有的项数较多例22、(2004全国卷I.15)已知数列an，满足a1=1，an=a1+2a2+3a3+(n1)an1(n2)，则an的通项 例23：1、数列满足,且,求数列an的通项公式.解析：由题得 时， 由、得.2、数列满足,且,求数列an的通项公式3、等比数列的前项的乘积，若，则答案84、已知数列中，求通项.八、讨论法（1）若（d为常数），则数列为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为其通项分为奇数项和偶数项来讨论. （2）形如型若(p为常数)，则数列为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;若f(n)为n的函数（非常数）时可通过逐差法得，两式相除后，分奇偶项来分求通项.例24 ：1、已知数列满足，则 答案12、已知为偶函数，且，当时，。若，则答案3、将所有的自然数按以下规律排列那么从2008到2010的顺序为( )A. B. C. D. 答案A4、 数列满足,求数列an的通项公式. 答案5、数列满足 ，若，则答案6、数列满足，则 答案 -3九、特征根法1、设已知数列的项满足,其中求这个数列的通项公式。作出一个方程则当时，为常数列，即，其中是以为公比的等比数列，即.例25已知数列满足：求解：作方程当时，数列是以为公比的等比数列.于是2、对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。例26：已知数列满足，求数列的通项公式。解法一（待定系数迭加法）由，得， 且 。则数列是以为首项，为公比的等比数列，于是。把代入，得，。把以上各式相加，得。解法二（特征根法）：数列：， 的特征方程是：。 , 。又由，于是 故3、如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程,当特征方程有且仅有一根时,则是等差数列;当特征方程有两个相异的根、时，则是等比数列。例2 7、(2006.重庆.文.22)（本小题满分12分）数列求数列的通项公式. 解：由已知，得，其特征方程为，解之，得， 。 P26 (styyj)例28、已知数列满足性质：对于且求的通项公式. 解: 数列的特征方程为变形得其根为故特征方程有两个相异的根，使用定理2的第（2）部分，则有 即例29已知数列满足：对于都有（1）若求（2）若求（3）若求（4）当取哪些值时，无穷数列不存在？解：作特征方程变形得特征方程有两个相同的特征根依定理2的第（1）部分解答.(1)对于都有(2) 令，得.故数列从第5项开始都不存在，当4，时，.(3)令则对于 (4)、显然当时，数列从第2项开始便不存在.由本题的第（1）小题的解答过程知，时，数列是存在的，当时，则有令则得且2.当（其中且N2）时，数列从第项开始便不存在.于是知：当在集合或且2上取值时，无穷数列都不存在.说明：形如:递推式，考虑函数倒数关系有令则可归为型。(取倒数法)例30：解：取倒数：是等差数列，例31、(2006.重庆.文.22)（本小题满分12分）数列求数列的通项公式. 解：由已知，得，其特征方程为，解之，得， 。 P26 (styyj)例33、已知数列满足性质：对于且求的通项公式. 解: 数列的特征方程为变形得其根为故特征方程有两个相异的根，使用定理2的第（2）部分，则有 即例34已知数列满足：对于都有（1）若求（2）若求（3）若求（4）当取哪些值时，无穷数列不存在？解：作特征方程变形得特征方程有两个相同的特征根依定理2的第（1）部分解答.(1)对于都有(2) 令，得.故数列从第5项开始都不存在，当4，时，.(3)令则对于 (4)、显然当时，数列从第2项开始便不存在.由本题的第（1）小题的解答过程知，时，数列是存在的，当时，则有令则得且2.当（其中且N2）时，数列从第项开始便不存在.于是知：当在集合或且2上取值时，无穷数列都不存在.十数学归纳法：直接求解或变形都比较困难时，先求出数列的前面几项，观察前几项，猜想出通项公式，然后用数学归纳法进行证明。例35（08辽宁卷21）在数列an，bn中，a1=2，b1=4，且成等差数列，成等比数列（）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测an，bn的通项公式，并证明你的结论；由条件得由此可得猜测用数学归纳法证明：当n=1时，由上可得结论成立假设当n=k时，结论成立，即，那么当n=k+1时，所以当n=k+1时，结论也成立由，可知对一切正整数都成立练习：已知数列an中,an+1=a2n-nan+1,a1=2,求an一、公式法 1、等差数列求和公式：2、等比数列求和公式：3、4、5、 例1 已知，求的前n项和. 答案例2 设Sn1+2+3+n，nN*,求的最大值. 答案n8时，例3 在等比数列 an 中，已知对nN*， ，求答案：例4 求答案：例5 求答案：5050例6 数列 an 的前n项和，求数列的前n项和答案：二、错位相减法方法简介：此法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列anbn的前n项和，其中 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列.例3 求和：()解析：由题可知，的通项是等差数列2n1的通项与等比数列的通项之积：设得 （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：. .试一试1：求数列前n项的和. 答案： 练习：1、求数列的前n项和。解析： -得 2、设等比数列的前n项和为，首项公比 证明： 若数列满足，求数列的通项公式。 若记，数列的前n项和为，求证：当时，。解析：证明： 解： 是首项为，公比为1的等差数列 即。 证明： -得 又 单调递增 故当时。3、求和 解析：当时，0； 当1时，； 当且时 得 4.设正项等比数列的首项=，前n项和为，且。 求的通项；求的前n项和析： 由 得即 0 ，是首项=，公比的等比数列 ， 得 即 5、下表给出一个“三角形数阵”： 已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数 ， 列，每一行的公比都相等，记第i行第j列的数为 ， ， 求； 试写出关于的表达式； 记第n行的和为，求数列的前m项的和的表达式。解析：由题意知为等差数列， 由知， 设 得 6、设数列满足 求数列的通项公式； 令，求数列的前n项和。解析： 由知 得 7、等差数列中，公差，是与的等比中项，已知数列 成等比数列。 求数列的通项； 求数列的前n项和。解析：由已知得 解得或（舍） 数列的通项是 令的前n项和为 得8、已知数列的首项证明：数列是等比数列； 求数列的前n项和。解析：证明： 又 数列是以为首项，为公比的等比数列。 解：知 即 设 则 得 又 数列的前n项和9、在占地3250亩的荒山上建造森林公园，2000年春季开始当年植树100亩，以后每年春季都比上一年多植树50亩，直到荒山全部被绿化为止。问哪一年春季才能将荒山全部绿化完？如果新植的树木每亩木材量为，树木的每年自然增长率为20%，那么全部绿化完时该森林公园的木材总量是多少？（精确到，计算时）解析：设从2000年起，经过n年将荒山全部绿化完，并设绿化面积的总和