Strongart数学笔记算子KK理论简明小结.pdf

算子 KK 理论简明小结 最近学了一点算子 KK 理论 发现这个东西技术细节还是比较麻 烦的 下面我就来整理一个大致思路 对 KK 理论的概貌做一个大致 的刻画 希望对能够来到这里的数学天才有所帮助 对于 KK 群有各种不同版本的定义 但最后的基本性质却是相似 的 因此我们先来讨论最一般意义上的 KK A B 让我们先看基 本约定 在 KK A B 中 一般要求 A 与 B 是带 单位的分次 C 代数 这一点可以保证它强同伦与同伦关系是一致的 此外 我们假 设 A 是可分的 这主要是使得对应 Kasparov 模的等价关系一致于同 伦关系 还假设 B 是稳定的 这可以带来 KK 群的稳定性 在 KK 理 论中紧算子代数是可以被忽略的 在这样的约定下 我们来看 KK 群 的若干基本性质 1 同伦不变性 同伦关系导出相同的 KK 群 2 稳定性 与紧算子代数 K 或有限矩阵代数 M n 的张量积保持 KK 群不变 3 Abel 群性质 它构成 Abel 群 这里的加法是通过一个特殊 的降阶内自同构 来定义为 a b diag a b 而 Mn B B b ij w ib ijw j 其中 w i w j 0 若 i j w iw i 1 实际上这类似 Cuntz 代数的结构 在 KK 群的加法定 义中只用到 n 2的情形 4 乘积性质 即有双线性映射 KK A B KK B C KK A C 它满足下面性质 4 1 单位律 1 A x x x 1 B 对任何 x KK A B 4 2 分配律 x y z x y x z 对任何 x KK A B y z KK B C 4 3 结合律 x y z x y z 对任何 x KK A B y KK B C z KK C D 5 函子性质 5 1 若 f A1 A 是态射 则 f x y f x y 对任 何 x KK A B y KK B C 5 2 若 g C C1是态射 则 x g y g x y 对任何 x KK A B y KK B C 5 3 若 h B1 B2是态射 则 h x y x h y 对任 何 x KK A B1 y KK B2 C 6 与 K 群的联系 KK C B K 0 B 在 KK 群的基础上还可以定义 KK 1群为 KK 1 A B KK A B 1 其中 B 1 是带奇分次的 B B 这样我们还有性质 6 KK 1 C B K 1 B 7 扩张性 若 A B 平凡分次 则 KK 1 A B Ext A B 1 若 A 还是核 C 代数 则 KK 1 A B Ext A B 8 Bott 周期 KK A B KK SA SB KK 1 SA B KK 1 A SB 9 六项正合列 见 2 19 5 7 10 P V 正合列 见 2 19 6 1 下面简述 KK 群的几种不同定义 一般我们都是先从 Kasparov 模来引入 KK 群的 设 A 与 B 是分次 C 代数 先定义 Kasparov A B 模为满足若干条件的三元组 E F 其中 E 是可数生成的分次 Hilbert B 模 A B E 是 同态 可视为 A 在 E 上的作用 且 F B E 是一次元素 满足条件 对任何 a A i A E 表示对应 C 代数的分次 ii F a K E iii F 2 1 a K E iv F F a K E 这样的 Kasparov A B 模的集合记为 E A B 然后再定义退化的 Kasparov 模为满足条件 F a F 2 1 a F F a 0 其集合记为 D A B 那么在 Kasparov 意义上的 KK 群 就定义为对应的商 KK A B E A B D A B 此外 在 Kasparov 模上还可以定义同伦关系 做商之后就可以得到 另一个意义上的 KK 群 而第一项 A 可分时 而两个 KK 群是一致的 利用Kasparov模来定义KK 群 可以方便我们对KK 群进行操作 因为我们可以在 Kasparov 模上定义拉回推出 内外张量积等常规概 念 然后再推广到 KK 群上 特别是这个 KK 群的乘积 可以先在 Kasparov 模上直接构造对应的 Kasparov 积 然后再传递到其他 KK 群上 这样的过程尽管有点繁琐 但至少还是有迹可循的 大概正是 这样的原因 当代的文献中对 KK 理论的介绍一般都是从 Kasparov 模开始的 对于一般的 非分次 C 代数 A 与 B 我们可以定义 KK h A B 环为同态二元组 Hom A M K B 满足对任何 a A 有 a a K B 在 KK h A B 环的集合 F A B 上可以定义同伦关系 定义对应的 KK h 群为 对应的商 KK h A B F A B 可以证明 这样定义的 KK h 群上上面的 KK 群是同构的 但对它的 操作显然要稍微简单一些 我们还可以考虑 Hom M K A M K B 内的满足类似性质 元素 的集合 G A B 在 G A B 中也可以定义相应 的同伦关系 对应的商就是 kK h 群 可以证明 当第一项 A 可分的 kK h A KK h A 对任何 C 代数 A 考虑 A 到自由积 QA A A 的两个自然嵌入 i 与 j 可定义 qA 是 QA 内由 i a j a a A 生成的理想 由此可以得 到一类新的 KK 群 KK c A B qA K B 称为 KK 群的 Kuntz 图像 当 A 是可分 C 代数 B 是带 单位的 C 代数时 有同构 S KK h A B KK c A B 由 S q F A B 给出 其中 q 是 由 QA 的万有性质诱导的 Q 在 qA 上的限制 关于 K 群与 KK 群 还有一类重要的万有系数定理 UCT 与 Kunneth 公式 KT 但这个结论并非对所有的 C 代数都成立 为此 我们先介绍 KK 等价的概念 元素 x KK A B 是 KK 等价的 若 存在元素 y KK B A 使得 xy 1 A yx 1 B C 代数 A 与 B 称为 KK 等价的 若在 KK A B 内存在 KK 等价的元素 KK 等价实际上是一个很强的等价关系 它完全决定了 K 群的等 价 假若 C 代数 A 与 B 是 KK 等价的 那么对任何 C 代数 D 均有 KK A D KK B D KK D A KK D B 特别有 K i A K i B i 0 1 常见的 KK 等价的例子有 a 对任何 C 代数 A A 与 M n A 或 A K 是 KK 等价的 b 同伦等价的 KK 代数的 KK 等价的 c 若 A 与 B 是 KK 等价的 对任何 C 代数 D A D 与 B D 是 KK 等价的 d 对 C 代数的可裂正合列0 A D B 0 D 与 A B 是 KK 等 价的 e 若 A 是可分 C 代数 则 qA 与 A 是 KK 等价的 有了 KK 等价的概念 我们可以定义保证万有系数定理成立的引 导范畴 bootstrap category N 它是指满足下列条件的可分核 C 代数的最小类 N1 N 包含复数域 C N2 N 在可数归纳极限下封闭 N3 对正合列0 A D B 0 若 A B N 则 D N N4 N 在 KK 等价下封闭 这样的 N 实际上就是核 C 代数中最小的包含交换 C 代数的在 KK 等价意义上封闭的元素类 这样我们就可以得到关于 等价交换 C 代数的万有系数定理 与 Kunneth 公式 设 A 与 B 是可分 C 代数 A N 则有 UCT 存在自然但非自然可裂的短正合列 0 Ext 1 K A K B KK A B Hom K A K B 0 KT 存在自然但非自然可裂的短正合列 0 K A K B KK A B Tor K A K B 0 此外 还有关于张量积的 Kunneth 公式 KTP 设 A 与 B 是 C 代数 A N 则有 KTP 存在自然但非自然可裂的短正合列 0 K A K B K A B Tor K A K B 0 这样的定理可以导出 K 群的同构也可以决定 KK 群的等价 而 且我们可以把范围从引导范畴 N 扩张到 N 内 这里的 N 由 KK 等价 于 N 内某元素的 不要求是核的 C 代数组成 可以说是交换 C 代数在 KK 等价意义上的最小推广 对于 A B N 假若 K A K B 那么 A 与 B 就是 KK 等价的 扩展阅读 1 Jensen K K Thomsen K Elements of KK theory M Birkhauser 1991 KK 理论的经典入门书 写了很多细节的东西 2 Blackadar B K theory for operator algebras M Cambridge University Press 1998 学习算子 K 理论的好书 对 KK 理论也有较为详细的介绍 3 Baum P F S nchez Garc a R J K Theory for Group C algebras M Topics in Algebraic and Topological K Theory Springer Berlin Heidelberg 2011 1 43 介绍了带群作用的 KK 理论 4 Meyer R Universal Coefficient Theorems and assembly maps in KK theory M Topics in Algebraic and Topological K Theory Springer Berlin Heidelberg 2011 45 102 在三角 范畴内讨论 KK 群函子 可以视为 KK 理论的代数化推广 本文作者 Strongart 是一位自学数学的牛人 现在 他依然努力坚持自学数