高中数学《函数模型及其应用》导学案 北师大版必修1(1).doc

第4课时函数模型及其应用1.掌握求解函数应用题的基本步骤,并能利用常见的函数模型解决实际问题.2.能够根据已有的数据建立拟合函数解决实际问题.前面我们学习了几种不同增长的函数模型问题,并重点学习了利用函数模型解决一些简单的实际问题;另外在一些实际问题中,还会遇到对函数模型的灵活选择以及应用的问题,本节课就来研究这类问题.问题1:我们所学过的重要的函数模型有哪些?(1)一次函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数,k0);(2)反比例函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数,k0);(3)二次函数模型:f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0);(4)指数函数模型:f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a0,b0,b1);(5)对数函数模型:f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m0,a0,a1);(6)幂函数模型:f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a0,n1);问题2:(1)建立数学模型的方法是怎样的?(2)在解决实际问题过程中,该如何做才能找到合适的数学模型?(3)解函数应用问题的基本步骤是什么?(1)一般地,设自变量为x,函数为y,必要时引入其他相关辅助变量,并用x、y和辅助变量表示各相关量,然后根据问题的,运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立,在此基础上将问题转化为一个问题,实现问题的数学化,即所谓的建立数学模型.(2):建立直角坐标系,画出散点图;:根据散点图设想比较接近的可能的函数模型.例如:一次函数型、二次函数型、指数、对数函数型.:利用待定系数法求出各解析式,并对各模型进行分析评价,选出合适的函数模型.(3)第一步:阅读理解,审清题意.第二步:引进数学符号,建立.第三步:利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答,求得结果.第四步:将所得结果再转译成具体问题的答案.问题3:(1)对于一些函数实际应用问题,我们该如何分析?(2)数学模型的实质是什么?(1)把问题模型化,思考我们要研究的问题与我们学习过的知识有何关系,把实际问题转化为去研究,利用函数性质特点求解出数学问题,再转化为实际问题的解.(2)数学模型是用模拟现实的一种模型,它把实际问题中某些事物的主要特征和关系抽象出来,并用来表达,数学模型可采用各种形式,如方程(组),函数解析式,图形与网络等.1.某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的函数解析式为y=5x+4000,而手套出厂价格为每副10元,则该厂为了不亏本,日产手套至少为().a.200副b.400副c.600副d.800副2.某公司招聘员工,面试人数按拟录用人数分段计算,计算公式为y=4x,1x10,xn+,2x+10,10x10,不合题意;若2x+10=60,则x=25,满足题意;若1.5x=60,则x=40100,不合题意.故拟录用人数为25.3.y=1-x10,0x10y=1-x10,0x10.4.解:设经过x年后能使现有资金翻一番,则2000(1+8%)x=4000,即1.08x=2.两边取对数,有x=lg2lg1.08=lg2lg5.45=lg2lg5.4-(1-lg2)0.30100.7324-1+0.30109.01.所以,经过10年后才能使现有资金翻一番.重点难点探究探究一:【解析】(1)当x=1时,y=100+1001.2%=100(1+1.2%);当x=2时,y=100(1+1.2%)+100(1+1.2%)1.2%=100(1+1.2%)2;当x=3时,y=100(1+1.2%)2+100(1+1.2%)21.2%=100(1+1.2%)3;故y关于x的函数解析式为y=100(1+1.2%)x(xn+).(2)当x=10时,y=100(1+1.2%)10=1001.01210112.7.故10年后该县约有112.7万人.(3)设x年后该县的人口总数为120万,则100(1+1.2%)x=120,所以 x=log1.01212010016.故大约16年后该县的人口总数将达到120万.【小结】解决此类问题时一定要注意不要将次幂搞错.解决本题的另一个难点就是不能正确地进行指对互化,进而利用对数的运算来求解.探究二:【解析】设使用wap手机上网的时间为x分钟,由已知条件可知:当上网时间不超过60分钟时,以每分钟0.5元递增计费;当上网时间超过60分钟但不超过500分钟时,一律按30元收费;当上网时间超过500分钟时,在30元的基础上,再增加0.15元/分钟.故所付上网费为:y=0.5x,1x500.(1)当x=2060=1200(分钟)时,应将1200代入第三段解析式,得y=135,小周要付135元上网费.(2)90元已经超过30元,所以上网时间超过500分钟,由函数解析式可得x=900,小周这个月用手机可以上网900分钟.(3)当1x60时,ymax500时,30+0.15(x-500)=60x=700,若每月上网时间少于700分钟,则选用wap手机上网;若等于700分钟,则选择两种上网方式都可以;若上网时间超过700分钟,则选用电脑上网.【小结】分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同,可以先将其当作几个问题,将各段的变化规律分别找出来,再将其合到一起,要注意各段变量的范围,特别是端点值.探究三:【解析】以投资额为横坐标,纯利润为纵坐标,在平面直角坐标系中画出散点图,如图所示.观察散点图可以看出,a种商品所获纯利润y万元与投资额x万元之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟.取(4,2)为最高点,则y=a(x-4)2+2,再把(1,0.65)代入得0.65=a(1-4)2+2,解得a=-0.15,所以y=-0.15(x-4)2+2.b种商品所获纯利润y万元与投资额x万元之间的变化规律是线性的,可以用一次函数模型进行模拟.设y=kx+b,取点(1,0.25)和(4,1),代入得0.25=k+b,1=4k+b,解得k=0.25,b=0,所以y=0.25x.综上,前六个月所获纯利润y关于月投资a种商品的金额x的函数关系式是y=-0.15(x-4)2+2;前六个月所获纯利润y关于月投资b种商品的金额x的函数关系式是y=0.25x.设下月投入a,b两种商品的资金分别为xa,xb(万元),总利润为w(万元),那么xa+xb=12,w=ya+yb=-0.15(xa-4)2+2+0.25xb.所以w=-0.15(xa-196)2+0.15(196)2+2.6.当xa=1963.2(万元)时,w取最大值,约为4.1万元,此时xb8.8(万元).即该经营者下月把12万元中的3.2万元投资a种商品,8.8万元投资b种商品,可获得最大利润约为4.1万元.【小结】本题根据给定的数据画出散点图,然后根据散点图的“走向”找到其拟合函数,根据题意得出总利润与投资a产品的金额之间的函数关系,最后转化为二次函数的最值问题.思维拓展应用应用一:(1)由已知得y=20lgpp0=20lgp210-5.(2)当p=0.002时,y=20lg0.002210-5=40,y60,该地区为无害区.(3)设中央电视台大厅的声压是x帕,则当y=90时,有lgx210-5=9020=4.5,x=105,此时中央电视台大厅的声压是105帕.应用二:(1)由图可得:p=t+20(0t25,tn+),-t+100(25t30,tn+).(2)日销售量q与时间t的一个函数式为q=-t+40(0t30,tn+).(3)由题意y=(t+20)(-t+40)(0t25,tn+),(-t+100)(-t+40)(25t30,tn+)=-(t-10)2+900(0t25,tn+),(t-70)2-900(25t30,tn+),当0t25,t=10时,ymax=900,当25t30,t=25时,ymax=(25-70)2-900=1125,故当t=25时,日销售金额最大且最大值为1125元.应用三:(1)利用计算机几何画板软件,描点如图.(2)从上图可以看到,数据点大致落在一条直线附近,由此,我们假设灌溉面积y和最大积雪深度x满足线性模型:y=a+bx.取其中的两组数据(10.4,21.1),(24.0,45.8),代入y=a+bx,得21.1=a+10.4b,45.8=a+24.0b,用计算器可得a2.4,b1.8,这样,我们得到一个函数模型:y=2.4+1.8x,画图略.基础智能检测1.c设2012年提价前的价格为a,2013年要恢复成原价应降价x,于是有a(1+25%)(1-x)=a,解得x=15,即应降价20%.2.d设汽车经过t秒行驶的路程为s米,则s=12t2,车与人的间距d=(s+25)-6t=12t2-6t+25=12(t-6)2+7,当t=6时,d取得最小值为7,故选d.3.甲将已知的三个点的坐标分别代入两个解析式得,前两个点均适合,但第三个点更适合甲,比较发现选甲更好.4.解:实数对(x,y)对应的点如图所示,由图可知y是x的一次函数.(1)设f(x)=kx+b,则60=30k+b30=40k+b,解得k=