现代控制理论(刘豹、唐万生)第3章答案总结.doc

3-6已知系统的微分方程为：试写出其对偶系统的状态空间表达式及其传递函数。解：系统的状态空间表达式为传递函数为其对偶系统的状态空间表达式为：传递函数为3-7已知能控系统的A,b阵为：试将该状态方程变换为能控标准型。解：该状态方程的能控性矩阵为rankM=2，矩阵非奇异，系统能控。系统特征多项式：可知a1=-5，a0=10。所以此即为该状态方程的能控标准形。 取P=TC-1该状态方程的能控性矩阵为知它是非奇异的。求得逆矩阵有，由得同理，由得从而得到由此可得，所以，此即为该状态方程的能控标准形。 3-8 已知能观系统的A，b，C阵为：试将该状态空间表达式转换为能观标准型。能观标准型有两种形式：能观标准型和能观标准型。解：能观标准型：能观标准型：3-9 已知系统的传递函数为：试求其能控标准型和能观标准型。系统传递函数为 试求其能控标准型与能观标准型。解：先将变为真分式形式： ，其中 。由此可得到其能控型实现为： ( * )由对偶原理，将上式中的各矩阵做转置，可得系统能观型实现为： (* *)由于两个对偶系统所实现的传递函数阵互为转置关系，而题目中所给的是单入单出系统，因此（*）与（* *）都是 的实现。3-10.给定下列状态方程，试判别其能否变换为能控和能观标准型1.求能控性判别阵MrankM=23,所以系统不能控2.求能观性判别阵NrankN=3，所以系统能观补充：（1）能观标准型，取变换矩阵状态空间表达式的能观标准型为：（2）能观标准型3-11试将下列系统按能控性进行结构分解（1） A= 12-10100-43，b=001,C=(1 ,-1,1)（2） A= -22-10-201-40，b=001,C=(1 ,-1,1)(1) 解：系统的能控性判别矩阵b=001 Ab=12-10100-43001=-103 A2b=12-10100-4312-10100-43001=-409M=(b Ab A2b )= 0-1-4000139rankM=2n系统不完全能控构造非奇异变换阵Rc:R1=b=001 R2=Ab=-103 R3=010 Rc= 0-10001130RC-1= 301-100010变换后的X.=RC-1ARcX+RC-1bu =301-100010 12-10100-430-10001130 X+301-100010001u =0-3214-2001X+100uy.=CRcX=(1 -1 1) 0-10001130X=(1 2 -1) X(2) 解：b=001 Ab=-22-10-201-40001=-100 A2b=-22-10-201-40-22-10-201-40001=20-1M=(b Ab A2b )= 0-1200010-1rankM=2n系统不完全能控构造非奇异变换阵Rc:R1=b=001 R2=Ab=-100 R3=010 Rc= 0-10001100RC-1= 001-100010变换后的X.=RC-1ARcX+RC-1bu =0-10001100 -22-10-201-400-10001100 X+001-100010001u =0-1-41-2-200-2X+100uy.=CRcX=(1 -1 1) 0-10001100X=(1 -1 -1) X3-12试将下列系统按能观性进行结构分解（1）A=12-10100-43 ,b=001 ,c=1-11（2） A=-22-10-201-40 ,b=001 ,C=1-11解：（1） A=12-10100-43 ,b=001 ,c=1-11系统的能观性判别矩阵：CA =1-1112-10100-43= 1-32CA2=1-1112-10100-4312-10100-43=1-95N=CCACA2=1-111-321-95 rank N=2n所以该系统是状态不能观的为构造非奇异变换R0-1，取：R1=C=1-11R2=CA=1-32R3=CA2=001得：R0-1=1-111-32001 R0=32-12-1212-12 120 0 1R0-1AR0=1-111-3200112-10100-4132-12-1212-12 120 0 1=010-340-221R0-1b=1-111-32001 001=121CR0=1-11=32-12-1212-1212001=100其中R3是在保证R0-1为非奇异的条件下任意选取的。于是系统状态空间表达式变换为：x=R0-1AR0x+R0-1bu =010-340-221x+121uy=CR0x=100x （2）A=-22-10-201-40 ,b=001 ,C=1-11解：系统的能观性判别矩阵：CA =1-11-22-10-201-40= -10-1CA2=1-11-22-10-201-40-22-10-201-40=121N=CCACA2=1-11-10-1121 rank N=2n所以该系统是状态不能观的为构造非奇异变换R0-1，取：R1=C=1-11R2=CA=-10-1R3=CA2=001得：R0-1=1-11-10-1001 R0=0-1-1-1-10001R0-1AR0=1-11-10-1001-22-10-201-400-1-1-1-10001 =010-2-3043-1R0-1b=1-11-10-1001 001=1-11CR0=1-110-1-1-1-10001=100其中R3是在保证R0-1为非奇异的条件下任意选取的。于是系统状态空间表达式变换为：x=R0-1AR0x+R0-1bu =010-2-3043-1x+1-11uy=CR0x=100x3-13试将下列系统按能控性和能观性进行结构分解。(1) （2） 解：(1) 由 求出系统的特征值： 时，设时，设时，设求出约当矩阵J为：与每个约当块最后一行相对应的各行元素不全为0，完全能控。与每个约当块第一列相对应的各列元素不全为0，完全能观。（2） 由 求出系统的特征值： 由以下四个矩阵:求出P:求出约当矩阵J为：分别为：不能控能观、能控能观、不能控不能观、能控不能观。3-14求下列传递函数阵的最小实现。 （1）（2）解：（1），系统能控不能观取，则所以，所以最小实现为，验证：（2）先写出能控标准型实现解：w(s)=1s31000s2+0110s+0001a0=0 a1=0 a2=0 0=0001 1=0110 2=1000m=n=2Ac=00-a0ImIm0-a1Im0Im-a2Im=001 000 000 000100010000000000 001 000 000 Bc=00Im=000000001001 Cc=012=000011 110 000Dc=0000M=BABA2B rank(M)=6N=CCACA2 rank(N)=3 系统能控不能观能观性分解R-1=000011000110000001100011001000111100 A=R-1AR=0 0 1 1 0 0 0 00 000000000010 0-10 111 0-100110-1-1B=R-1B=100001000000 C=CR=100010000000 D=0000经验证系统最小实现为 A=001100000 B=100001 C=100010 D=0000验证CIS-A-1B+D=W(s)3-15设和是两个能控且能观的系统（1）试分析由和所组成的串联系统的能控性和能观性，并写出其传递函数；（2）试