小学数学北师大2011课标版四年级数学好玩（数学建模专题讲座）.docx

3.2基于建模思想的小学数学教学设计案例分析 亲身经历过的事情，往往是人们记忆最深的。同样，学生自己探索和建构出来的数学知识，也是理解最深、掌握最牢固的。在小学阶段，加减乘除之间内在的联系，应用题内涵的解题规律，各类图形的表面积、周长、体积的公式等等这些知识，如果一线农村小学数学教师能够灵活运用我们建构的基于建模思想的小学数学教学设计模式进行教学设计和课堂教学，不但会解决进行专题数学建模活动时间的不足问题，而且可以将“模型思想”和“应用意识”的培养贯彻于日常课堂教学中，让学生深刻理解和掌握这些知识。3.2.1鸡兔同笼教学案例教材分析鸡兔同笼是北师大版五年级上册“尝试与猜想”中的内容，也是我国民间广为流传的数学趣题。该问题出自孙子算经，在不同版本教科书中有不同的编排，但对于广大农村小学生来讲，从他们熟悉并喜爱的鸡和兔作为切入点创设情境，让学生经历把“头数”和“脚数”抽象成数学模型的过程，并利用建立的数学模型去解释生活中的问题，然后，将数学模型应用到生活中去。生活中经常会遇到一些“鸡兔同笼”的变式，类似的问题有很多，比如租车问题、行程问题等等。这些问题都有一些共性，可以根据实际问题，抽象出“头数”和“脚数”之间关系的数学模型，只是这个模型用“鸡兔同笼”来命名。学生分析教学前我对全班学生进行了整体评估，针对农村孩子来说，学生的认知水平差异很大，因此课前把原题的大数量替换成小数量，由此解决单纯的鸡兔同笼这一问题没有多少难度，学生会想出很多办法来解决，这恰好可以发挥学生的想象力和创造力，可以让学生自由发挥想出多种有趣的解决办法，教师可以根据学生提出的其他方法，统一到假设法，感知模型的存在，让他们理解所有方法都不是孤立的、互不相干的。经过处理，可以帮助和促进学生的思维活动从无序到有序、从肤浅到深刻转变。教学目标、教学重难点分析结合学生的实际情况和课程标准的教学要求，本节课的教学目标为：（一）知识与技能1.让学生初步认识“鸡兔同笼”这一数学趣题，并了解相关数学史，对学生进行传统数学文化教育。2.使学生理解并掌握假设法，引导学生建构“鸡兔同笼”数学模型，并应用到生活中解决相类似的现实问题。（二）过程与方法在探究的解题方法的过程中，使学生理解并运用假设的思想方法解决数学题，能够帮助和促进学生形成有序的思维意识，进而体验数学思想方法。（三）情感态度价值观通过对学生传统数学文化的熏陶和感染，培养学生民族自信心以及研究问题的科学素养。教学重点使学生在理解并运用假设的思想，通过建构模型解答生活中类似的数学问题。教学难点使学生发现并掌握“鸡兔同笼”数学模型解决类似的数学问题。教学过程一、创设情境、感知模型师：同学们喜欢看书吗？你们喜欢看哪一类书呢？生：喜欢师：很好，同学们要养成看书的好习惯，老师也喜欢看书，但我特别喜欢看数学方面的书，我最近遇到了一个难题，没能解决，同学们愿不愿意帮助我解决呢？生：愿意师：老师遇到的是一个流传了一千五百多年的故事，我国古典名著孙子兵法中记载的“鸡兔同笼”这一数学趣题。（板书鸡兔同笼）师：（出示“笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有8个头，从下面数，有22只脚。鸡和兔各有几只？”）用你们的理解说明什么是“鸡兔同笼”？生：是鸡和兔同时被关在笼子里。师：你们从题目中可以了解到哪些信息？生：鸡和小兔一共有8只，脚有22只。生：1只鸡有1个头2只脚，小兔有1个头4只脚。师：很好，从你们知道的这些信息着手，大家不妨试一试，动手画一画，看能不能解决这个古老的问题，也可以同桌之间讨论交流一下。二、合作探究、建构模型生1：我是先把8个头都当成是鸡的头，这样就会有82=16只脚，而题目中是22只脚，多出2216=6只脚，每只小兔本身就比每只鸡多两只脚，这就说明有62=3只小兔被我们当成鸡了，所以就有鸡8-3=5只，小兔有3只。师：同学们听懂了吗？他把这8个头都假设成是鸡头，然后根据多出的脚数就是把小兔假设成鸡造成的，这种方法简单易懂。（板书，方法1）谁还有其他的方法？生2:我和他的假设相反，我是把8个头全部假设成了小兔的头，因此会有84=32只脚，多出32-22=10只脚，每只小兔比每只鸡多2只脚，说明有102=5只鸡当成小兔了，所以小兔有85=3只，鸡有5只。师：这位同学回答很棒，请认真比较一下两种方法有什么异同？生：他们都是用的假设法.（板书：假设）师：谁还有和他们不一样的解法？生：师：同学们通过认真的思考想出很多种解法，都很厉害，但你们最喜欢哪种呢？生1：我很喜欢画图，既直观又简单易懂。生2：我喜欢添脚法或砍脚法，很有意思，特别易懂。师：以上这些方法都可以很好的解决这个问题，各有所长，既有区别又有联系，细心的同学们有没有发现无论哪种方法都与假设法有何共同之处呢？生：都用到“假设”。师：同学们眼光独到，确实看的很准。从古代到现代“假设法”一直都是人们解决“鸡兔同笼”问题的最佳选择。师：大家想知道古人怎么解决“鸡兔同笼”问题的吗？足数2头数=兔数头数兔数=鸡数师：古人就是用这么简单的方法解决了复杂的“鸡兔同笼”问题。请大家检验一下古人的方法，和我们得出的结果是否一致。（板书：2228=3（只）-兔 83=5（只）-鸡）师：古人的方法真是精妙，谁能说说其中蕴含的道理吗？生：师：这个方法很是精妙，能深刻反映出我们古人当时的智慧，但是让我们真正理解起来还不太容易。不单单是我们中国人在研究，外国人也参与进来了，美国著名数学教育家波利亚就利用一个非常有趣的故事很好的解释了其中的道理。“一群鸡和小兔在草地上玩耍，鸡对小兔说：我们小鸡们的本事可大了，每个都可以金鸡独立，说话间不约而同的每只鸡抬起一只脚，做起了金鸡独立，都只用一只脚站在草地上，再看小小兔们，也毫不示弱的说：这有什么，我们可以小兔作揖再看小兔们齐刷刷的提起前面两只脚作作揖状，后面两只脚站在草地上。这时草地上的小兔变成双脚兔，鸡变成了单脚鸡了，细心的同学们请对照古人的方法，你发现了什么？生1：草地上鸡和小兔总数没有变，也就是头数没有变，只是站立的脚数都变成了原来的一半，就是“足数2”。生2:草地上的鸡和小兔总的头数与站立的总脚数比较，多出来的数目正好是兔子的个数。师：大家都领悟了吗？你们觉得古人的方法如何？生：师：古人的方法的确蕴含着很多的道理，通过以上的学习，同学们会不会解决鸡兔同笼的问题，还有什么疑问吗？生：没有。师：我就疑惑了，在我们现实生活中谁会把鸡和小兔养在一个笼子里，更不会无聊地通过头数和足数去计算各有多少只，但是一千多年前的古人为何要煞费苦心地研究鸡兔同笼呢？还作为经典名题流传至今呢？它有什么独特的魅力呢？生：一定有用师：不光是我们在研究，日本人也在研究，只是他们研究的是“龟鹤同池”问题（古人以龟鹤是长寿之物，因此用他们比喻长寿）“龟鹤同池，数头有40，数足有112，龟、鹤各几只？”大家思考：这与我们今天学习的“鸡兔同笼”有什么联系？生：都是计算各有多少只，鸡和鹤都是有两只脚，龟和兔都有四只脚。师：那你们会解决吗？（自己尝试解决，也可以同桌之间交流。）生：假设法： 1.假设40头全是龟 (404-112)2=24(只) 鹤 4024=16(只) 龟 2.假设40头全是鹤（112-402)2=16(只) 龟 4016=24(只) 鹤 古人的方法： 112240=16(只) 龟 4016=24(只) 鹤 师：同学们做得很棒，我们可以发现实际上它们是一类问题。老师这里还有一首儿歌，不知你们会不会唱：“一队猎人一队狗，两列并成一队走，数头一共五十五，数脚够有一百九。” 这首儿歌与我们学习的内容有什么联系？生：从歌曲的意思来看，是要算出多少猎人，多少猎狗的，这和鸡兔同笼差不多，人有两只脚相对于鸡，猎狗有四只脚相对于兔。师：同学们理解的非常准确，那么你们会不会计算呢？生：会师：你们都是最棒的，课堂上不要求你们计算了，通过以上学习你们有什么发现？说说“鸡兔同笼”的魅力？生：说明生活中有很多类似的问题，是多方面的，只是我们现在学习的知识少，还没有发现。师：这位同学说的太好了，随着你们以后的学习就会发现生活中很多问题都可以用“鸡兔同笼”这个模型去解决，（板书：模型）按照你们方言“鸡兔同笼”就是这一类问题的“模子”。（模子：当地土语对模型的简称，依葫芦画瓢的意思，如生产砖头有砖模子、做鞋有鞋模子等等），你们能说一说生活中与“鸡兔同笼”类似的问题吗？生：鸭猫同笼、羊鹅师：鸡鹅、猪羊问题行吗?生：不行，他们的脚数相同三、师生共析、应用模型师：储钱罐里放的是5元与2元的纸币，共有8张，34元，求储钱罐内5元、2元纸币分别有多少张？(学生大部分依然套用上面学习的两种方法，发现行不通，有学生发现了区别，古人的方法只适合2脚、4脚的情况，需要灵活变通。)师：你们能借助我们上面学习“鸡兔同笼”的方法解决此题吗？生：能，把2元纸币看成是鸡，5元纸币当成小兔多长了一只脚变成了5只脚。师：同学们想象力真丰富，这样来看是不是又回到了“鸡兔同笼”问题？生：是师：看来生活中有很多类似“鸡兔同笼”的应用，都可以用假设法去解决。你能举出例子吗？师：我们来看下面两题你是怎么想的？怎么做的？请同学同桌之间先交流，然后我们共同分析。 工地上需要用25根水管来铺设173米的管道，需要8米和5米长的水管各多少根？ 周日，张老师带了41名学生郊游，租了小轿车和面包车共10辆，刚好坐满，小轿车4人/辆，面包车6人/辆，问两种车各多少辆？ （学生通过把水管分别抽象成8只脚的兔和5只脚的鸡，把轿车抽象成6只脚的兔和4只脚的鸡）四、课堂小结、巩固模型师：通过这一节课的研究，回过头来再回答“鸡兔同笼”的独特魅力，你有什么想说的？生：我知道了以后遇到类似的题目可以想象成鸡和小兔来解决。生：我明白了我们以前学过的租车、租船、还有到公园买票等等问题用这个模型做很简单，很好理解。师：我们从“鸡兔同笼”这个数学问题出发，研究解决方法，并且上升到模型，再回到生活中去应用，其实数学的发展就是这样的，从生活中来，又应用到生活中去。希望我们在以后的学习过程中能有“模型”意识，做到举一反三，触类旁通，最终你将会走向数学学习的自由王国20。教学反思本节课是从学的角度进行安排教学过程的，教学过程中我注重传统数学文化对学生的熏陶和感染，让学生经历数学模型产生过程，教学中把学习的主动权交给了学生，让学生在合作交流活动中主动完成对认知结构的建构过程。这不仅可以培养学生的主体意识和探究精神，潜能得到进一步的开发，还可以让学生亲自体验探究的乐趣和数学模型带来的无限魅力！在本课的教学中，我班学生都是来自农村，他们原有认知水平存在较大差异，学习鸡兔同笼有一定的难度，所以我对数量分进行了调整以面向更多的学生。令我欣喜的是出示问题后，一石激起千层浪，激起了学生强烈的探究欲望，学生想出了多种方法，我加以引导统一到假设法后，出示了古人的解决方法以及波利亚的小故事，激起了学生的民族自豪感和自信心。我再次引导学生通过观察生活中相类似的数学问题展开讨论，引出最后的应用，学生的表现再次出乎我的意料，学生都能从问题中抽象出“鸡兔同笼”模型并对实际问题进行解释和解答。课后我对本班学生进行了一次访谈，很多孩子告诉我“这样的课我们都能听得懂，而且还很好玩”，“我可以把生活中类似的问题转换成多只脚的怪兽”，“听过课之后我发现很多需要方程解决的问题现在都可以直接进行计算了”，“我也来越来越喜欢数学了”，“老师我课后的习题都可以设想成鸡兔同笼进行解决了”等等，这次访谈让我陷入深深的思考，其实我们平时只关注课本知识，对生活实际联系太少，脱离了生活，而生活才是数学的归宿！最后，通过单元测试，了解学生对于类似问题掌握情况，学生对于类似的简便计算以及应用题完成较好。3.2.2 乘法分配律教学案例教材分析 1乘法分配律是北师大版小学数学四年级上册第三单元第七课的内容，学生已经学习了乘法交换律与结合律，并已经理解和掌握，能够结合定律进行一些简单的计算。本节课是本单元的重点，同时也是难点，要学生能够通过观察、分析理清思路，总结规律，它涉及到多种运算，需要学生在理解的基础上，掌握并灵活运用！ 2本节课的教学目的是让学生能够通过观察、分析后进行抽象概括，进而发现规律。在本节课的教学过程设计上，我注重贴近学生的生活实际创设情境，通过建构操场面积，结合建立的数学模型，让学生在愉快的学习体验中学到知识，发展能力。学生分析 本节课是在学生学习过乘法交换律与结合律基础上，接着学习“乘法分配律”，只是单纯知识学习不会太难，对于农村孩子和教师来说，用数学建模教学是一个新的尝试，有可能会有一定的难度！ 教学目标、重难点分析 在教学之前我根据前面的教学理论以及系统观下的教学设计对教学目标进行了相应改动，把“理解并掌握乘法分配律”进行了扩充，让学生探究并经历数学建模的过程。具体如下：教学目标 1通过合作交流探究活动，让学生体验探索规律的全过程。 2在探索的过程中，引导学生自主建构模型，并会用字母表示规律。 3利用建立的“乘法分配律”模型能进行简单的简便运算。教学重点 引导学生探索并发现乘法分配律。教学难点 发现并且归纳乘法分配律。教学过程一、创设情境，感知模型 （乘法分配律就是我们所说的数学模型，创设情境，让学生感知到“乘法分配律”模型的存在）师：希望小学有一个长方形操场，长和宽分别是60米、30米。现在需要扩建，将宽增加10米，求扩建后的操场面积？（图3-8） 图3-8要求：先独立思考，然后小组交流，最后以小组为单位汇报解题思路。生：我是按照扩建后长不变，宽变成了3010=40（米），然后利用长方形面积公式得出：板书：师：很好，条理性非常清晰，还有其他的方法吗？生：我把长方形操场面积分成两块，一块是原来的面积，一块是新建的面积， 分别利用长方形面积公式求出两块的总面积，再相加就得出： 板书：2、 合作探究、建构模型 （在数学模型建构的过程中，需要注意要符合实际问题，抓住主要因素进行，抽象出最简化的数学模型，然后归纳出规律，建构数学模型，培养学生分析问题、抽象、概括以及表达等能力。） 师：这个问题两位同学分别用了不同的解法，计算结果相同，都是求扩建后的 操场面积，那么这两个式子的结果是什么关系呢？生：应该是相等。 教师在黑板上列出：师：这个等式应该怎样读？谁能读一下？生：60乘以30与10的和等于60乘以30的积加60乘以10的积。师：请同学们结合图形自己决定操场扩建宽增加的米数，写出像上面这样的算式。（图3-9）图3-9 （学生很快写出很多算式，教师根据需要选择展示.)师：同学们做得很棒，大家思考一下，然后同桌之间讨论一下这些等式都有什么特点？ 根据同学回答归纳如下：师：如果用、分别代替下面图中方格里的数字，请同学们自己完成下面的填空并用自己的话简单说明道理。（图3-10） 图3-10生： 总结：一个数乘以两个数的和，等于用这个数分别与两个加数相乘，再把两个积加起来。师：经过同学们的激烈讨论，大家都明白了吗？ 这就是我们今天要学习的内容。 板书：乘法分配律 （教师引导，结合学生的心理特征和认知水平来提出启发性问题，要难度适宜，同时教师要善于引导学生聚焦问题，把一些分散的、感性的问题上升的理性认识并纳入到教学目标上，从而形成集体求索的态势。另外，要给学生留有思考问题的时间，让学生静一静、想一想，体会如何“跳一跳”就能“摘到桃子”。以便更好地锻炼学生独立思考、小组合作能力以及语言表达能力。）三、师生共析、应用模型(通过前面教师引导，通过扩建操场已经构建了乘法分配律的数学模型，在此基础上拓展练习，让学生进一步巩固刚建立的数学模型。）练习：简便计算（1） （2） （3）要求：先独立计算，然后教师指名板演。引导学生结合操场模型进行想象，也可以画草图帮助理解！生1：（1）可以看做是一个长方形的操场，宽增加8米，长不变，计算扩建后操场的面积。 生2：（2）可以看作是长方形的地长是36米，宽12米，宽不变，长增加64 米，问增加后的总面积？ 生3：（3）可以看成是一个长方形的地，长100米，宽13米，宽不变，长增加1米，求增加后的总面积？这样做才能最简便！ （整个过程以学生讨论为主，教师的主要工作是引导学生从模型方面考虑，抓住重点、排除难点，帮助学生理清思路、培养学生分析和解决问题的能力。实现生生互动、师生互动，及时把握有效信息的传播与反馈，做到及时的调控和引导，让学生各抒己见，相互补充，最后形成统一的认识，进一步使学生的知识系统化和规范化。建立数学模型并求解，并不是问题的终结，把模型放到生活中去检验，看是否符合实际才是数学建模的真正价值所在。在教学中最容易忽略的就是建立的数学模型，去掉中间环节，还有教师认为没有检验的必要，这些都应该引起教师的足够重视！)师：通过上面对乘法分配律学习，我们已经能够掌握了他的一些应用，你能用自己的话说一说他有什么作用？生1：可以使我们计算时更简便，有些就可以直接口算。生2：在解决问题时，又多了一种方法，而且这种方法容易理解，很好用。生3：遇到这类题目时可以联想到长方形的操场、菜地等图形帮助解决问题。师：你们说的都很好，现在发挥你们的想象来解决下面这个问题！希望小学有一个长方形操场，长和宽分别是60米、30米。现在需要扩 建，将宽增加10米，求增加的面积比原来的面积少多少？生1：我是想把操