浙江大学微积分1考试复习资料

一 一 函数 极限 导数与微分函数 极限 导数与微分 1 数列的极限数列的极限 1 nnnn n 22 2322lim 2 2 21 lim n n n 3 32 1 lim 2 nn n 4 设1 1 aa a为常数 n nn a a aa 1 1 2 1 2 1 n 证明极限 n n a lim存在 并求此极限 5 求极限 n nn n 1 321lim 6 求极限 n k n kn k 1 2 lim 7 求nn n 22 sinlim 8 求 1 1 sin1lim n n n 2 函数的极限函数的极限 1 讨论 x x 1 1 1 21 1 lim的存在性 2 求极限 sin 1 2 lim 4 1 0 x x e e x x x 3 极限 lim122 22 xxx x A 22 1 B 2 1 C 22 1 D 不存在 4 已知极限 2 1 1 lim e x ax x x 求常数a 5 求极限 1 1 cos 2 limeex x x 6 求极限 1 11 2 33lim xx x x 7 若5 cos sin lim 0 bx ae x x x 则a b 8 求极限 x x x x cos1 1 0 sin lim 3 3 导数与微分导数与微分 一 选择题一 选择题 1 设函数为 y f x 当自变量 x 由 0 x改变到xx0 时 相应的函数改变量 y 为 00 xfxxf A xxf B 0 xxf C 0 xxf D 0 等于 dx dy 则 arcsinxxf且 23x 23x f2 设y 0 x 2 A 2 2 3 C 2 D h fhf lim f h 为则设 2 33 433 0 A 2C 3D 1 设周期函数 f x 在 内可导 周期为 T 又 1 x2 x1fxf lim 0 x 则曲线 y f x 在点 T 1 f T 1 处的切线斜率为 2 1 A B 0C 1D 2 处 则点x ba 内连续 且xba 在x设f5 00 A f x 极限存在 但不一定可导B f x 极限存在且可导 C f x 极限不存在但可导D f x 极限不一定存在 x xfxxf lim xxf x 等于则处可导在设 00 0 0 6 0 xf A 0 x f B 0 xf C 0 xf2 D x bxaxxln lim x 则设2 1 7 2 2 0 A a 0 b 2 2 5 b 0a C 2 5 b 1a D a 1 b 2 8 设 f x 处处可导 则 xflim xflim A xx 必有时当 xflim xflim D xflim xflim C xflim xflim B xx xx xx 必有时当 必有时当 必有时当 9 两曲线 32 xy1y2baxxy 与相切于点 1 1 处 则 a b 值分别为 A 0 2B 1 3C 1 1D 1 1 处 在x xf可导 则 在xx若f10 00 A 必可导B 不连续 C 一定不可导D 连续但不一定可导 3xy 11 3 的点是上切线斜率等于在三次抛物线 A 1 1 B 1 1 C 1 1 和 1 1 D 1 1 x x x x arctanx xf 处在函数0 00 0 1 12 A 既连续又可导B 连续但不可导 C 既不连续也不可导D 不连续但可导 13 垂直于直线01y6x2 且与曲线5x3xy 23 相切的直线方程是 A 3x y 6 0B 3x y 6 0 C 3x y 6 0D 3x y 6 0 坐标轴之和等于 上任一点的切线所截两ay14 抛物线x 2 1 2 1 2 1 A aB 2a 2 1 a C 2 a D 15 设 f x sinx 则 f x 在 x 0 处 A 不连续B 连续 但不可导 C 连续且有一阶导数D 有任意阶导数 xf xx xxsin xf 处则令0 01 0 16 A 不连续 必不可导B 不连续 但可导 C 连续 但不可导D 连续 可导 dy xd bty atx 等于则设 3 3 33 17 7 3 t a8 b27 A 73 t 1 b27 a8 B 42 t 1 b9 a2 C t 1 b3 a2 D 18 要使点 1 3 为曲线 23 bxaxy 的拐点 则 a b 的值分别为 2 9 b 2 3 a A 2 9 b 2 3 a B 2 9 b 2 3 a C 2 9 b 2 3 a D 19 如果 f x 与 g x 可导 A xg xf lim 0 xglimxflim 000 xxxxxx 且 则 BB存在 不一定有A xg xf limD 如果 BB存在 且A xg xf limC 如果 BB存在 且A xg xf limB 必有 BB存在 且A xg xf limA 必有 0 0 0 0 xx xx xx xx 20 已知 f x 在 a b 上连续 a b 内可导 且当 x a b 时 有 0 xf 又 已知 f a 0 则 A f x 在 a b 上单调增加 且 f b 0 B f x 在 a b 上单调减少 且 f b 0 C f x 在 a b 上单调增加 且 f b b 0 证明 a ba b a ln b ba 7 设函数 y f x 在 x 0 的某邻域内具有 n 阶导数 且 f 0 f 0 f n 1 0 0 证明 n x xf n xf n 0 0 13 x lim x n e x n 为正整数 0 14 2 lim x 2 2 sinln x x 15 0 lim x xx x cossec 1ln 2 16 1 lim x 1 3 1 1 1 1 n n x xxx 17 0 lim x xnlnx n 0 18 2 lim x secx tanx 19 0 lim x xx 20 0 lim x xx xx sin tan 2 21 0 lim x 2 1 arctan x x x 22 0 lim x 1 x x x 23 求常数 a 和 n 使当 x 0 时 axn与 ln 1 x3 x3为等价无穷小 24 求下列极限 1 n lim n n 2 n lim n nnn cba 3 a b c 均为正数 25 求下列极限 1 0 lim x x x x sin 1 sin 2 2 x lim x xxcos 26 讨论函数 f x 0 0 1 2 1 1 1 xe x e x x x 在 x 0 处的连续性 27 设 f x0 存在 证明 2 000 0 2 lim h xfhxfhxf h f x0 28 求函数 f x tanx 的二阶麦克劳林公式 29 用 Talor 公式求极限 1 x lim 323 3xx 434 2xx 2 0 lim x xex xx x sin cos 1 2 1 1 2 22 30 判定函数 y x sinx 在 0 2 上的单调性 31 讨论函数 y ex x 1 的单调性 32 讨论函数 y 32 x的单调性 33 确定函数 f x 2x3 9x2 12x 3 的单调区间 34 讨论函数 y x3的单调性 35 证明 当 x 1 时 2x 3 x 1 36 证明当 0 xx x3 3 37 讨论方程 lnx ax 其中 a 0 有几个实根 38 设 e 证明 39 比较 e 和 e的大小 三 三 积分运算及其应用积分运算及其应用 1 求 dx x x x 1 1 ln 1 1 2 2 求 dx x xx 2 2 1 1ln 3 求 dx xbxa xx 2222 cossin cossin 4 求 dx x x 2 1 ln 5 求 1 2 xx dx 6 求 dx e xe x x 1 7 求 dxx 2 arcsin 8 求 dx xx x 22 1 arctan 9 求 dxxe x 2 2 1tan 10 求 xdxx 2 sin 11 求 0 0 sinbabxdxeax 12 设 Nnadx ax I n n 0 1 22 13 求dxe x 14 求dx xx xxx 102 11123 2 23 15 求 1 4 x dx 16 求 1 1 222 dx xx 17 求 sin1 sin 2 2 dx x x 18 求 xx dx 3 cossin 19 求 5cossin2 xx dx 20 求 n nn bxax dx 11 n 为正整数 21 求 cossin 42 xdxx 22 求dxxx 1000 2 1 23 设 2 ln1 2 2 2 x x xf且 ln xxf 求 dxx 24 已知 x xsin 是 xf的一个原函数 求 dxxfx 3 25 设 0 0 1 10 1 ln xff xx x xf求及 26 计算dx x x 2cos1 4 0 27 计算dxe x22ln 0 1 28 计算 1 cos ln 1 2 Nndx x n e 其中 29 计算dx x xx 2 0 cos1 sin 30 计算dxxx 8151 0 31 31 计算由抛物线xy2 2 及直线4 xy所围成的平面图形的面积 32 计算曲线 x y 1 及直线2 xxy所围成的平面图形面积 33 求曲线 012 222 BACCyBxyAx所围成平面图形的面积 34 在第一象限内求曲线1 2 xy上的一点 使该点处的切线与所给曲线及两坐标轴 所围成的平面图形面积为最小 并求此最小面积 35 设10 2 xxy 问 1 t取何值时 图中阴影面积S1与S2之和S S1 S2最小 2 t取何值时 面积S S1 S2最大 36 求参数方程 20cos1 sin ttayttax 摆线 及0 y围成 平面图形的面积 37 由下列极坐标方程式所表曲线围成的面积S 方程中的 0 a 1 cos1 ar 心脏形线 2 3sinar 三叶线 图图 3 6 38 求内摆线 3 2 3 2 3 2 ayx 所围成的面积 39 求下列平面图形绕坐标轴旋转一周所得的体积 xyxy00 sin 1 绕Ox轴 2 绕Oy轴 40 设一个底面半径为a的圆柱体 被一个与圆柱的底面相交为 且过底面直径AB 的平面所截 求截下的楔形的体积 41 过点 0 1P作抛物线2 xy的切线 该切线与上述抛物线及x轴围成一平面图 形 求此图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积 42 曲线 21 xxy和x轴围成一平面图形 求此平面图形绕y轴旋转一周所成 的旋转体的体积 43 设平面图形A由xyx2 22 与xy 所确定 求图形A绕直线x 2 旋转一周所得 旋转体的体积 44 求曲线13 2 xy与x轴围成的封闭图形绕3 y旋转所得的旋转体的体积 45 已知点A与B的直角坐标分别为 0 0 1与 1 1 0 线投AB绕z轴一周所成的旋转曲 面为S 求由S及两平面1 0 zz所围成的立体体积 仅适合数学一 46 设有曲线1 xy 过原点作其切线 求由此曲线 切线及x轴围成的平面图形 绕x轴旋转一周所得到的旋转体的表面积 47 计算曲线 eyyyx 1ln 2 1 4 1 2 的弧长 48 计算内摆线 3 2 3 2 3 2 ayx 的周长 49 一圆柱形水管半径为 1m 若管中装水一半 求水管阀门一侧所受的静压力 50 设有一直径为 20m 的半球形水池 池内贮满水 若要把水抽尽 问至少作多少功 51 为清除井底的污泥 用缆绳将抓斗放入井底 抓起污泥后提出井口 见图 3 26 已知井深 30m 抓斗自重 400N 缆绳每米重 50N 抓斗抓起的污泥重 2000N 提升速度为 3m s 在提升过程中 污泥以 20N s 的速率从抓斗缝隙中漏掉 现将抓起污泥的抓斗提升至井口 问克服重力需作多少焦耳的功 说明 1N 1m 1J m N s J 分别表示米 牛顿 秒 焦耳 抓斗的高度及位 于井口上方的缆绳长度忽略不计 52 计算半径为a 密度为 均质的圆形薄板以怎样的力吸引质量为m的质点P 此 质点位于通过薄板中心Q且垂直于薄板平面的垂直直线上 最短距离PQ等于b 图 3 27 53 求两根位于同一直线上的质量均匀的细杆间的引力 设密度为 0 二杆相距为a且 两杆长都是 引力常数为k 54 求长为 线密度 单位长度质量 为常数的场质细杆绕y轴转动的转动惯量 55 设连续函数 f x 满足dxxfedttxf x x 0 1 0 2 1 求 56 求连续函数 f x 使满足 1 0 x xexfdtxtf 57 设连续函数 f x 满足 1 0 2 3 xfdxxfxxxf求 58 已知 f x 满足方程 1 0 22 13 xfdxxfxxxf求 59 计算dxxxx xx x 11 31 22 1006 7 1 1 60 计算dx e x x 1 sin 2 6 6 61 计算 1 0 lnsinxdx 62 计算 2 0 sinln xdx 63 设函数 f x 在 0 1 上连续 在 0 1 内可导 且 0 3 1 3 2 fdxxf 证明在 0 1 内存在一点 使0 f 64 设函数 f x 在 0 上连续 且0cos 0 00 xdxxfdxxf 试证 在 0 内至少存在两个不同的 21 使 0 21 ff 65 设 f x 在 a b 上连续 0 2 dxxf b a 证明 bax 时 0 xf 66 设 xf在 0 1 上连续 在 0 1 内可导 且满足 1 1 1 1 0 kdxxfxekf x k 证明至少存在一点 1 0 使 1 1 ff 67 设 f x g x 在 ba上连续且 g x 不变号 则至少存在一点 ba 使 dxxgfdxxgxf b a b a 推广的积分中值定理 68 设 f x 在 ba上连续 g x 在 ba上的导数连续且不变号 试证至少存在一点 ba 使dxxfagdxxfbgdxxgxf a bb a 第二积分中值定理 69 设 f x g x 在 ba上 连 续 证 明 至 少 存 在 一 点 ba 使 dxxfgdxxgf a b 70 设 f x 是区间 0 1 上的任意一非负连续函数 1 试证存在 1 0 0 x 使在区间 0 x0 上以 f x0 为高的矩形面积 等于在区间 x0 1 上以 y f x 为曲边的曲边梯形面积 2 又设 f x 在区向 0 1 内可导 且 x xf xf 2 证明 1 中的 x0是 唯一的 71 设 f x 在 a b 有二阶连续导数 试证在 ba上至少存在一点 c 使 24 1 2 3 cfab ba fabdxxf b a 72 设 f x 在 aa 上存在连续的二阶导数 f 0 0 证明至少存在一点 aa 使 3 3 dxxf a f a a 73 设f x g x 在 ba上连续 证明dxxgdxxfdxxgxf b a b a b a 222 柯西 许瓦尔兹 Cauchy schwarz 不等式 74 证明 2 2 1 2 2 1 22 dxxgdxxfdxxgxf b a b a b a a0 常数 83 设 baxf在上连续且为正值 证明 ln 1 1 ln dxxf ab dxxf ab b a b a 84 设 0 xxf 在 a b 连续 证明 1 1 dxxf ab dxx ab f b a b a 85 设 f x 在 上有连续导数 且Mxfm 1 dtatfatf a a a a 4 1 2 lim 0 2 证 0 2 1 amMxfdttf a a a 85 证明 2 0 2 0 cos 2 sin dxxfdxxf 86 设 f x 在 0 1 上连续 试证 2 0 2 0 sin 4 1 sin dxxfdxxf 87 设 f x 是以 为周期的连续函数 证明 2 00 2 sindxxfxdxxfxx 88 计算 21 222222 lim nn n n n n n n 89 设 f x 在 0 1 上连续 计算 2 0 cos sin sin dx xfxf xf 90 计算 1 0 2 1 1ln dx x x 91 证明 2 0 2 2 0 2 2 0 2 sin4cossin xdxxdxxdx nnn 并计算 92 设函数 xgxf满足 2 xfexgxgxf x 且 2 0 0 0 gf求 0 2 1 1 dx x xf x xg 93 设函数 f x 在 内满足xxfxfsin 且 0 xxxf 计 算 3 dxxf 94 设 3 1 2 2 0 0 1 dxxf xe xx xf x 求 95 设dttfxF x e xe xxx xf x x x 1 2 2 10 1 01 2 3 2 求函数的表达式 96 计算 2 0 dxe x 97 设 xf在 0 2 上连续 且 5 2 3 2 1 0 fff求 1 0 2 dxxxf 98 证明 1 f x 是连续的奇函数 则 x a dttf 偶函数 2 偶函数的原函数仅有一个为奇函数 99 求函数 x e dt tt t xI 12 ln 2 在区间 e e 2 上的最大值 100 设函数 f x 在 0 上连续 单调不减且0 0 f试证函数 0 0 0 1 0 x xdttft xxF x n 若 若 在 0 上连续且单调不减 其中 n 0 又当 x 0 时 1 2 0 1 x fxfx x xfxfx x tftxfx xF nnnn x nn 其中x 0 且 f x 为单调不减 有 xff xfxxff nnn 从而 0 xF故 F x 在 0 上单调不减 101 设函数 f x 可导 且 0 0 0 2 lim 0 1 0 n x nn n x x xF dttxftxFnf 求 102 设 4 0 1 tan nxdxI n n 证明 1 1 1 2 n II nn 并由此计算 In 2 1 2 1 1 2 1 n I n n 103 设 f x 是连续的偶函数 0 xf 设 axadttftxxF a a 1 证明 F x 递增 2 当 x 为何值时 F x 取最小值 3 若 F x 的最小值为 1 2 tfaaf求 四 四 级数级数 1 根据级数发散与收敛性定义与性质判断级数收敛性 1 1 1 n nn2 12 12 1 75 1 53 1 31 1 nn 3 6 sin 6 2 sin 6 sin n 2 用比较法或极限形式的比较法判定级数收敛性 1 2 sin 2 sin 2 sin 32n 2 11 1 n n a 1 a 3 1 4 1 1 n nn 4 1 1 31 31 21 21 1 222 n n 3 用比值审敛法判定级数收敛性 1 1 1 2 tan n n n 2 1 2 3 n n n 3 1 3 2 n n n n 4 用根值法判定级数收敛性 1 n n n n 1 13 2 1 1ln 1 n n n 5 下列级数是否收敛 若收敛是绝对收敛还是条件收敛 1 4 1 3 1 2 1 1 2 1 1 3 1 n n n n 3 1 23 1 1 n n n 6 求下列幂级数的收敛性半径和收敛域域 1 2 1 22 2 n xx x n n 2 1 22 2 12 n n n x n 3 1 2 1 1 n n n n x n 7 利用逐项求导或积分求级数的和函数 1 14 14 n n n x 2 1 1 n n nx 8 将函数展开成 x 的 幂级数并求收敛区间 2 xx ee shx 2 x a3 x 2 sin 9 判断积数收敛性 1 2 n n n n n 2 1 2 1 2 n n n n 10 利用逐项求导或积分求级数 0 2 12 n n n x 的和函数 11 求幂级数 1 5 1 n n n n x 的收敛域 12 将xcos展开成 3 x的幂级数 13 将函数 23 1 2 xx xf展开成4 x的幂级数 14 求 1n nx ne的收敛域 15 求 0 2 2 1 n n n x n n 的和函数 16 xf是周期为2的周期函数 且在区间 2 0上定义为 21 0 1 0 x xx xf求傅里叶展开式 17 证明 1 2 2 6 1 n n 18 判别下列级数的敛散性 21 2 1111 11 21 1 sin 2 ln 1 3 4 32 n n nnnn nn nnnn 19 判别下列级数是绝对收敛 条件收敛 还是发散 1 2 1 1 1 1 3 n n n n n 2 2 1 cos 3n n nn 3 1 1 1 1 ln n nnn 20 求幂级数 01 1 n nn x 的收敛区间 21 证明级数 1 n n n n x n 当 xe 时绝对收敛 当 xe 时发散 22 在区间 1 1 内求幂级数 1 1 n n x n 的和函数 23 求级数 2 2 2 1 1 n n n 的和 24 把 arctanf xx 展开成x的幂级数 并求级数 0 1 3 21 n n n n 的和 25 设 11 11 2 2 nn n aaa a 1 2 n 证明 1 lim n n a 存在 2 级数 1 1 1 n n n a a 收敛 26 设 4 0 tann n axdx 1 求 2 1 1 nn n aa n 的值 2 试证 对任意的常数0 级数 1 n n a n 收敛 27 设正项数列 n a单调减少 且 1 1 n n n a发散 试问 1 1 1 n n n a 是否收敛 并说明 理由 28 已知 2 22 11 1 358 计算 1 0 11 ln 1 x dx xx 29 计算 48 3711 1 5 9 3 7 11 参考答案参考答案 一 一 函数 极限 导数与微分函数 极限 导数与微分 1 1 数列的极限数列的极限 1 解 nnnn n 22 2322lim nnnn n n 22 2322 3 lim 22 1 1 2 32 2 3 1 lim nnn n n 2 解 2 21 lim n n n 2 1 1 lim 2 nn n n 2 1 10 2 1 1 1 2 1 lim n n 3 解 32 1 lim 2 nn n 0 001 0 32 1 1 lim 2 nn n n 4 证明 思路是运用单调有界准则 由平均值不等式得到 2 1 1 1 n nn a a aa 12 2 1 1 a a a a n n n a有下界 只须再证单调减 注意上述结果对一切n成立 于是 n n n nn a a a aa 2 1 2 1 2 1 n 即 n a单调减有下界 必有极限 记Aan n lim 由极限的唯一性 可得方程 A a AA 2 1 解此方程得到 aAan n lim 舍弃了负根 5 解 由题目特点 可将括号内三项放大或缩小 进而试验运用夹逼准则 n n n nn n n 111 33 321 3 nn nn 11 3 33213 两边取极限 由夹逼准则得到 3321lim 1 n nn n 6 解 记 nn n nnkn k a n k n 22 1 22 2 2 1 1 显然有 n nnn n a nn nn n 2 1 2 1 1 2 1 1 22 两边取极限 由夹逼准则得到 2 1 lim 1 2 n k n kn k 7 解 nnnnnnnnn 222222 sinsinsin nnn nnn 2 22 2 sin 而 2 1 2 22 nnn nnn 1 2 sinsinlim 222 nn n 8 解 e nn n n n n 1 sin 1 1 sin 1 1 1 sin1 1 sin1 2 函数的极限函数的极限 1 解 左右极限不等 极限不存在 2 解 sin 1 2 lim 4 1 0 x x e e x x x x x x e e 4 1 0 1 2 lim110 sin lim 0 x x x sin 1 2 lim 4 1 0 x x e e x x x x x x e e 4 1 0 1 2 lim112 sin lim 0 x x x 于是1 sin 1 2 lim 4 1 0 x x e e x x x 3 解 122 lim 22 xxx x 122 1 lim 22 xxx x x 22 1 1 2 1 2 1 1 lim 2 xx x x 122 lim 22 xxx x 122 1 lim 22 xxx x x 22 1 1 2 1 2 1 1 lim 2 xx x x 因此该极限不存在 因此选 D 4 解 已知极限为 1 型 应考虑应用标准极限 2 将已知极限表达式凑成标准型 1 1 lim x x x ax 1 1 1 1 1 1lim a a x x x a a a x x x a 1 1 1 1 1 1lim 由e x a a x x 1 1 1 1 1lim 应用复合极限定理得到 1 1 lim x x x ax a e 12 e 令 a e 12 e 即有3 21 aa 5 解 1 1 cos 2 limeex x x 1lim 1 cos1 21 x x exe 1 cos1 lim 21 x xe x 1 2 21 2 1 2 1 lim e x xe x 6 解 1 11 2 33lim xx x x 133lim 1 11 1 1 2 xxx x x 13lim 3ln 1 1 1 1 2xx x x ex3ln113ln 1 1 3lim 1 1 2 xx x x x 7 解 本题属于已知极限求参数的问题 由5 cos sin lim 0 bx ae x x x 且0 cossinlim 0 bxx x 由无穷小量比阶概念应有0 lim 0 aex x 得1 a 原极限化为 51 coslim cos 1 sin lim 00 bbx x x bx e x x x x 得b 4 因此 4 1 ba 8 解 该极限为 1 型 应考虑应用标准极限 4 15 将已知极限表达式凑成标准型 x x x x cos1 1 0 sin lim x xx xxx x x x xx sin cos1 1 sin 0 sin 1lim 而e x xx xx x x sin 0 sin 1lim 由复合极限定理 只需求如下极限 3 1 6 1 12 lim sin cos1 1 lim 3 2 00 x xxx xx x xx 于是 3 1 cos1 1 0 sin lim e x x x x 3 导数与微分导数与微分 一 选择题一 选择题 1 A2C 提示 xx x arcsin x xx x x f dx dy 2 2 2 23 12 23 23 23 233233 23 23 3 B4 D5 A6 A 提示 自变量的增量为 x 7 C 提示 运用洛必达法则 8 D9 D10 D11 C12 B13 B 14 A提示 设点 00 y x为抛物线 2 1 2 1 2 1 ayx 上任一点 则 ayx 2 1 2 1 0 2 1 0 将抛物线方程两边对 x 求导 0 y2 y x2 1 得 x y y 所以在点 00 y x处的切线斜率为 0 0 x y 由此可得切方程为 0 0 0 x y yy xx 00 即 1 yxy y yxx x 000000 此切线与两坐标轴的截距之和为 aayxyyxx 2 2 1 000000 15 B16 A提示 讨论分段函数在交接点处是否可导应按导数定义判断 考察在 某点得是否连续 应按左 右极限是否相等来判断 dx yd dy xd 提示 17 B 3 3 3 3 18 A提示 因为 1 3 是连续曲线 23 bxaxy 的拐点的定义可得 a b 3 再 结合拐点的定义可得 b 3a 结合 解之 19 C20 D21 C22 B23 D24 B25 C26 D 27 D提示 这里插入 0 xf 因为题目假定 f x 在 0 x点可导 所以分成两项的极 限都存在 xf4xf3xf x3 xfx3xf lim3 x xfxxf lim x x3xfxfxfxxf lim x x3xfxxf lim 000 00 0 x 00 0 x 0000 0 x 00 0 x 即 t3x则xt 3x错误做法 令x注意 本题有个常见的 00 xf4x3xflim4tflim4 x tfx4tf lim x xxfxxf lim 00 0 x0 x 0 x 00 0 x 因为题中只设 f x 在 0 x可导 没说在 0 x及其邻域内可导 更没假定 x f 在 0 x点连 续 所以上面的做法是无根据的 28 C29 A提示 x x1ln x1x 1 x1x1ln x 1 expy 2 x 1 30 B31 A 二 解答题二 解答题 2 3 1arcsin3 dx dy 2x3 2x3 arcsin 2x3 12 2x3 2x332x33 2x3 2x3 f dx dy 1 0 x 2 22 所以 ty tey dt dy e dt dy tyy dt dy tdt dx t t 12 1 022 1 1 2 22 2 2 得由方法一 extanyy xtanttarctanx xtan 52 2 得将其代入题目中第二式则由于方法二 0 xsecexsecyxtan dx dy y2 dx dy 2 x 2xtan22 求导得两边对 xtany12 xtan1ey dx dy 2xtan2 解得 3 设 27x18x4x 23 则 3xx12x 于是当 0 x 2 时 0 x 而只 有 x 0 时 0 x 故在 0 2 上 x 为单调减少 而 132 0 2 3 270 所 以 2 x 2 3 3 x0 x 2 x 27x18x4 xf 23 在 2 3 0为单调减少 在 2 2 3 为单调增加 因而在 0 2 上 f x 的最大值 f 0 27 最小值 0 2 3 f 0 x xln y 4的定域为函数 0y x xln23 y x xln1 y 32 令得惟一的驻点 x e 0y 得 2 3 ex 下面求 渐近线方程 由 0 x xln lim x xln lim x0 x 可知 x 0 为垂直渐近线 y 0 为水平渐近线 无斜渐近线 在各部分区间内 xf xf 的符号 相应曲线弧的升降及凹凸 以及极值点和 拐点等列表如下 函数图形如图 3 25 0 x 2x x 8 1 y 00 1 5 3 不可导点得驻点定义域为 所以 区间 0 2 为增区间 0 2 为减区间 x 2 为极小点 极 小值为 y 3 为下凹区间 无拐点 0 0区间0 x 24 y 2 4 3 0 x x 4x limb 1 x 4x lima x 4x lim 2 3 x 2 3 x 2 3 0 x 所以 x 0 为垂直渐 近线 y x 为斜渐近线 描点作图 如图 3 26 二 二 中值定理 洛必达法则中值定理 洛必达法则 1 1 存在性 设 5 51 f xxx 则 f x在 0 1 连续 0 1 1 3 ff 由介值定理知存在 0 0 1 x 使 0 0 f x 即方程有小于 1 的正根 2 唯一性 假设另有 110 0 1 xxx 1 0 f x 使 f x 在以 01 xx为端点的区间满足 罗尔定理条件 01 xx 在之间至少存在一点 0 f 使 但 4 5 1 fxx 0 0 1 x 矛盾 故假设不真 2 设 arcsinarccos f xxx 1 1 则在上 由推论可知 arcsinarccosf xxxC 令 x 0 得 2 C 又 1 2 f 故所证等式在定义域 1 1 上成立 3 设 ln 1 f xx 则 f x在 0 x上连续 在 0 x内可导 所以至少有一点 0 x 使 0 0 f xffx 即ln 1 xfx 因 1 1 fx x 当 0 x 时 1 1 1 f x 所以ln 1 1 1 x xxx x 4 因 f x在 a b上连续 在 a b内可导 又因为acb 所以至少存在一 1 a c 使 1 f cf a f ca 至少存在一点 2 c b 使 2 f bf c f bc 因为点 a f a b f b c f c在同一直线上 所以 12 ff 又 因为 yfx 在 a b内可导 故在 12 内可导 且在 12 上连续 由 Rolle 定理 至少有一点 使 0 x fxf 12 a b 5 问题转化为证 1 0 1 02 fff 2 fx xx 设 2 F xx 则 f xF x在 0 1 上满足柯西中值定理条件 因此在 0 1 内至少存在一点 使 1 0 1 02 fff 即 2 1 0 fff 6 设 f x lnx 则 f x 在 b a 上满足拉格朗日定理的条件 从而 b a 使得 ba ba lnln 1 由于 a 1 1 b 1 所以结论成立 7 证明 设 F x xn 则 f x 和 F x 在 0 x 或 x 0 上满足柯西中值定理 即 1 0 x 使得 n x xf 0 0 n x fxf 1 1 1 n n f 在 0 1 上 函数 f 1 和 n 1n 1满足柯西中值定理 即 2 0 1 使得 1 1 1 n n f 0 0 1 1 1 n n ff 2 1 2 1 n nn f 同理 n x xf n n n n f 由于 n x 0 1 所以 n x xf n xf n 0 0 时 lnf x ln x x e x 1 1 1 x 1 x 1 ln 1 x lne 2 1ln x xx 所以 0 lim x lnf x 0 lim x 2 1ln x xx 0 lim x x x 2 1 1 1 0 lim x 1 2 1 x 1 2 从而 0 lim x f x e 1 2 由 0 lim x f x f 0 e 1 2 0 lim x f x 所以函数在 x 0 处连续 28 f 0 0 f 0 sec2x x 0 1 f 0 2sec2xtanx x 0 0 f x 4sec2xtan2x 2sec4x 2 x x 4 2 cos sin21 所以tanx x 3 2 cos sin21 4 2 x x x3 x cos3 sin21 4 2 x x x3 0 0 所以函数 y sinx 在 0 2 上单调增加 31 y ex 1 y ex x 1 的定义域为 因为在 0 内 y 0 所以函数 y ex x 1 在 0 上单调增加 32 这函数的定义域为 当 x 0 时 这函数的导数为 y 3 3 2 x 当 x 0 时 函数的导数不存在 x 0 y 0 函数 y 32 x在 0 上单调增加 33 函数的定义域为 函数的导数为 f x 6x2 18x 12 6 x 1 x 2 令 f x 0 即解 6 x 1 x 2 0 得 x1 1 x2 2 这两个根把 分成三个部分区间 1 1 2 及 2 x 1 U 2 f x 0 函数单调上升 x 1 2 f x 0 f x 在 1 上单调增加 从而 当 x 1 时 f x f 1 0 即 2x 3 x 1 0 亦即2x 3 x 1 x 1 36 设 f x x x3 3 tanx 则 f x 1 x2 sec2x x2 tan2x x tanx x tanx 0 所以f x x x3 3 这里用了 x tanx 37 设 f x lnx ax 则令 f x x 1 a 0 得 x 1 a 当 0 x0 函数单调上升 当 a x 时 f x 0 即 0 a 1 e 时 在 1 a 内存在唯一点 1 使 f 1 0 在 1 a 内 存在唯一点 2 使 f 2 0 此时函数 f x 有两个零点 从而方程有两个根 当 f 1 a lna 1 0 即 a 1 e 时 此时 x 1 a 为函数的唯一零点 从而方程只有唯一根 当 f 1 a lna 1 0 时 即 1 e a 时 函数无零点 从而方程没有根 y lnx ax a 1 e y lnx ax 0 a1 e 38 设 f x x xln x e 则 f x 2 ln1 x x 时 f f 即 ln ln 于是 ln ln 从而有 1 令f x 1 e x 1 0得 x e 当 1 x e 时 f x 0 函数单调下降 当 e x0 函数单调上升 所以 f e 0 为函数的最小值 从而 f f e 0 即 eln 0 从而 e e 三 三 积分运算及其应用积分运算及其应用 1 解 由 0 1 22 adx xa c xa xa a ln 2 1 知用凑微分 原式c x x x x d x x 1 1 ln 4 1 1 1 ln 1 1 ln 2 1 2 2 解 由 caxxdx ax 22 22 ln 1 知用凑微分 原式 1ln 1 ln 1 1ln 2 2 1 2 2 2 xxdxxdx x xx cxx 2 3 2 1 ln 3 2 3 解 由dxxxbxxaxbxad sincos2cossin2 cossin 222222 xdxxbacossin 2 22 知用凑微分 i 当时ba 原式 cossin cossin 2 1 2222 2 1 2222 22 xbxadxbxa ba cxbxa ba 2222 22 coscos 1 ii 当0 ba时 原式cx a xxd a xdxx a 2 sin 2 1 sinsin 1 cossin 1 4 解 带有对数 不能用凑微分 用分部积分 原式 xd x x xx xdln 1 1 ln 1 1 1 1 ln dx xx x x dx xx x x 1 1 1 ln 1 1 1 1 ln 1 1 1 lnln 1 1 ln1lnln 1 1 c x x x x cxxx x 5 解法一当1 x时 原式c xx d xx x dx 1 arcsin 1 1 1 1 1 1 22 2 当1 x时 原式c xx d xx x dx 1 arcsin 1 1 1 1 1 1 22 2 总之c x xx dx 1 arcsin 1 2 解法二原式 1 1 2 1 1 22 2 22 xx xd xx xdx cx x xd 1arctan 11 1 2 2 2 2 解法三令txsec 原式dt tt tt tt td tansec tansec 1secsec sec 2 1 2 0 1 arccos 1 2 1 arccos xtc x ctdt xtc x ctdt 即 即 注 从这三种解法中可看出不定积分的形式差别很大 但确实都是被积函数的原函数 6 解 不能用凑微分 用变量代换与分部积分 原式 121 1 xx x exded e x 设ue x 1 222 1ln21ln21ln2uuduuduu du u u uu 2 2 2 1 41ln2 du u uu 2 2 1 1 141ln2 Cuuuu arctan441ln2 2 ceeex xxx 1arctan414 12 7 解 解法一 dx x xxxxdxx 2 22 1 1 arcsin2arcsinarcsin 2arcsin12arcsin 2arcsin12arcsin1arcsin2 arcsin 2 2 2 2 22 cxxxxx dxxxxxxxdxx 分析对反三角函数不定积分 用变量代换令反三角函数为t 也可简化计算 解法二令 cos sin arcsintdtdxtxtx 于是 原式 tdtttttdttdttsin2sinsincos 222 tdttttttdttcos2cot2sincos2sin 22 cxxxxx 2arcsin12arcsin 2 2 8 解 分析 先用线性运算化简 再用其它方法 原式 dx x x dx x x 22 1 arctanarctan xxd x xdarctanarctan 1 arctan 2 2 arctan 2 1 1 11 arctan 1 xdx xx x x dx x x x xx x 2 2 1 1 arctan 2 1 arctan 1 cxxxx x 2 2 1ln 2 1 lnarctan 2 1 arctan 1 c x x xx x 2 2 2 1 ln 2 1 arctan 2 1 arctan 1 解法二令txtan 原式 dttt1csc2 2 2 1 cottttd 2 2 1 cotcotttdttt ctttt sinln 2 1 cot 2 c x x x x x 2 2 1 lnarctan 2 1arctan 9 解 分析 先用线性运算化简 再用其它方法 原式 xdxexdxedxxxe xxx tan2sec1tan2tan 22222 xdxexde xx tan2tan 22 xdxexdexe xxx tan2tantan 222 xdxexdxexe xxx tan2tan2tan 222 cxe x tan 2 10 解 分析 先把三角函数降为一次幂 再用线性运算化简与分部积分 原式xxdxdxdx x x 2sin 4 1 2 1 2 2cos1 cxxx x xdxxx x 2cos 8 1 2sin 4 1 4 2sin 4 1 2sin 4 1 4 22 11 分析 两次分部积分后又出现原来的不定积分 把该不定积分作为未知数解出来 解 bxdxe a b bxe a e a bxdbxdxe axaxaxax cossin 11 sinsin axax bxde a b bxe a cossin 1 2 bxdxbebxe a b bxe a axaxax sincossin 1 2 化简得 bxdxebbxbebxaebxdxea axaxaxax sincossinsin 22 解得 cbxbbxa ba e bxdxe ax ax cossinsin 22 同理可得 cbxabxb ba e bxdxe ax ax cossincos 22 12 解 分析 对于含有 n 的不定积分 直接求出原函数比较困难 常常是用分部积分建 立递推关系式 最后总可降到 n 0 或 n 1 等等 从而求出不定积分 122 2 1 2 22 222 2 1 2 1111 n n n n ax n xd a I a dx ax xxa a I dx ax n ax x na I a nn n 1 22 1 22 2 1 2 1 1 1 1 1 2 11 1 21 222 1 2 12 1 12 1 n n n I na axan x I a 3 2 12 32 12 1 21222 nI an n axan x n n 其中 arctan 11 22 1 c a x a dx ax I 13 解 分析求带有绝对值式子的函数的不定积分需转化为分段函数来计算 由于 0 0 0 0 2 1 xce xce e xe xe e x x dxx x x x 于是 有原函数在 x 0 处可导必连续得 1 12 21 21cccc 故 0 2 0 1 1 xce xce e x x dxx 14 解 dx xx xxx 102 11123 2 23 dx xx x 102 1 1 2 3 1 arctan 3 1 2 1 3 1 1 2 2 22 2 C x x x xd x x