复数的加法与减法.ppt

5 3复数的加法与减法 一 复数加减法的运算法则 1 运算法则 设复数z1 a bi z2 c di 那么z1 z2 a c b d i z1 z2 a c b d i 即 两个复数相加 减 就是实部与实部 虚部与虚部分别相加 减 2 复数的加法满足交换律 结合律 即对任何z1 z2 z3 C 有z1 z2 z2 z1 z1 z2 z3 z1 z2 z3 3 易证 4 例题选讲 例1 1 2i 2 3i 3 4i 2002 2003i 解 原式 1 2 3 4 2001 2002 2 3 4 2002 2003 i 1001 1001i 解 因为z1 z2 3 4i 2 i 5 3i 说明 这里用到一个复数的共轭复数的共轭复数等于它自身 例3 已知 且z1 z2对应的点位于第二象限 求的范围 解 由已知得 例4 设复数z满足求z的值和的取值范围 解 设z a bi a b R 则代入条件式得4 a bi 2 a bi i 即6a 2bi i 故所求的z 的取值范围是 0 2 二 复数加减法的几何意义 1 复数的加法可以按向量的加法法则进行 即遵循平行四边形法则 3 两点间的距离公式 1 设复数z1 z2在复平面内对应的点分别为Z1 Z2 则Z1 Z2两点间的距离公式为d z1 z2 2 以复数p的对应点为圆心 r为半径的圆的方程为 z p r 3 以复数z1 z2的对应点为端点的线段的垂直平分线方程为 z z1 z z2 4 方程 z z1 z z2 2a 当 z1 z2 2a时表示以z1 z2的对应点为焦点 2a为长轴长的椭圆 若 z1 z2 2a 则以z1 z2的对应点为端点的线段 5 方程 z z1 z z2 2a 当 z1 z2 2a时表示以z1 z2的对应点为焦点 2a为实轴长的双曲线 若 z1 z2 2a 则表示两条射线 4 复数模的两个重要性质 5 要会运用复数的几何意义去解题 它包含两个方面 1 利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理 2 反过来 对于一些复数运算式也可以给以几何解释 使复数作为工具运用于几何之中 例如 已知复数z1 z2 z1 z2分别对应点A B C O为原点 且 z1 z2 z1 z2 判断四边形OACB的形状 把关系式 z1 z2 z1 z2 给以几何解释为 平行四边形的两对角线相等 故四边形OACB是矩形 6 例题选讲 例2 已知复平面上 AOB O为坐标原点 的顶点A所对应的复数为1 2i 其重心G所对应的复数为1 i 求以OA OB为邻边的平行四边形的对角线长 解 设B所对应的复数为a bi 则O 0 0 A 1 2 B a b 重心G 1 1 由三角形的重心坐标公式得 解得a 2 b 1 故B所对应的复数为2 i 由复数的加减法的几何意义知 所求的对角线长分别为 例3 已知复平面上正方形ABCD的三个顶点A 1 2 B 2 1 C 1 2 求第四个顶点D对应的复数 注 解此题的关键利用复数 点 向量之间的一一对应关系 解 设D x y 则有 故D点对应的复数为2 i 例4 已知复数z满足 z 2 2 求 z 2 3i 的最大值 解1 设z x yi x y R 则由 z 2 2 得 x 2 2 y2 4 解2 z 2 2表示复数z对应的点是以C 2 0 为圆心 2为半径的圆 而 z 2 3i 表示圆上的点到点A 2 3 的距离 连结AC并延长交圆上一点Z 则 AZ 为所求的最大值 所以当z 2 2i时 z 2 3i 的最大值是5 解3 利用求之 练习1 已知平行四边形的三个顶点分别为对应复数2i 4 4i 2 6i 求第四个顶点对应的复数 说明 由于此题没有给出三个顶点的排列顺序 因此 需要三种情况进行讨论 这个平行四边形第四个顶点对应的复数是6或 2 12i或2 8i 练习2 设复数z满足 z i z i 2 求 z 1 i 的最值 说明 此题求解的最佳方法是数形结合 但要当心的是z的对应点的轨迹是线段而不是椭圆 例5 复数z满足2 z 3 3i z 求z的对应点的轨迹 本题由方程直接看不出z满足条件 故可z x yi x y R 代入2 z 3 3i z 得到方程为 x 4 2 y 4 2 8 故z的对应点的轨迹是以 4 4 为圆心 以为半径的圆 例6 已知 z 2 试求z 3 4i的对应点的轨迹 解1 设 故z 3 4i的对应点的轨迹是以 3 4 为圆心 2为半径的圆 解2 设 则 故z 3 4i的对应点的轨迹是以3 4i的对应点为圆心 2为半径的圆 三 小结 1 复数加 减法的运算法则是复数集中最基本的运算 可结合多项式运算记忆法则 运算过程中应善于利用共轭复数及模的概念与性质 以达到化繁为简的目的 2 复数的模及其运算的几何意义是复数问题几何化的保证 必须熟练把握 3 复数轨迹问题的求法有二 1 设轨迹上任一点 对应的复数为z x yi x y R 把问题转化为解析几何中的求轨迹问题 2 直接建立轨迹上的点Z对应的复数z的方程 据方程所呈现的几何特征给出轨迹形状 4 根据