大学物理第四章流体的运动.pdf

连续性方程 伯努利方程及其应用连续性方程 伯努利方程及其应用1 粘性流体的两种流动状态 哈根粘性流体的两种流动状态 哈根 泊肃叶定律泊肃叶定律 2 静止流体在任何微小的切向力作用下都要发生连续不静止流体在任何微小的切向力作用下都要发生连续不 断的变形 即流体的一部分相对另一部分运动 这种断的变形 即流体的一部分相对另一部分运动 这种 变形称为流动 变形称为流动 流动性流动性 连续介质模型连续介质模型 设想流体是由连续分布的流体质点组成的的连续介质 设想流体是由连续分布的流体质点组成的的连续介质 流体质点具有宏观充分小 微观充分大的特点 流体质点具有宏观充分小 微观充分大的特点 根据流体的连续介质模型 任一时刻流动空间的每一根据流体的连续介质模型 任一时刻流动空间的每一 点都被相应的流体质点占据 把占据该点的流体质点点都被相应的流体质点占据 把占据该点的流体质点 的物理性质定义为该空间点性质 这样 任何时刻 的物理性质定义为该空间点性质 这样 任何时刻 在任何空间点都有确定的物理量 物理量表示成空间在任何空间点都有确定的物理量 物理量表示成空间 坐标和时间的连续函数 坐标和时间的连续函数 第3页 第一节第一节理想流体的定常流动理想流体的定常流动 1 理想流体 压缩性 压缩性 流体流体受到压力作用后体积或密度发生变化的特受到压力作用后体积或密度发生变化的特 性称为压缩性 性称为压缩性 粘性 粘性 粘性粘性是运动流体内部所具有的抵抗剪切变形的特是运动流体内部所具有的抵抗剪切变形的特 性性 它表现为运动着的流体中速度不同的流层之间存在 它表现为运动着的流体中速度不同的流层之间存在 着沿切向的粘性阻力 即内摩擦力 着沿切向的粘性阻力 即内摩擦力 第4页 理想流体理想流体 ideal fluid 绝对绝对不可压缩的 完全没有粘性的不可压缩的 完全没有粘性的 流体 流体 实际流体都是具有粘性的和可压缩性的 实际流体都是具有粘性的和可压缩性的 粘性较小的液体和在流动过程中几乎没有被压缩的气体都粘性较小的液体和在流动过程中几乎没有被压缩的气体都 可以视为理想流体 可以视为理想流体 在一些实际问题中 可压缩性和粘性只是影响运动的次要在一些实际问题中 可压缩性和粘性只是影响运动的次要 因素 只有流动性才是决定运动的主要因素 因此往往可因素 只有流动性才是决定运动的主要因素 因此往往可 以采用理想流体模型 以采用理想流体模型 拉格朗日法着眼于流体质点 研究各个流体质点的运动及拉格朗日法着眼于流体质点 研究各个流体质点的运动及 物理量随时间变化 再综合所有流体质点的运动后便可以物理量随时间变化 再综合所有流体质点的运动后便可以 得到整个流体的运动规律 得到整个流体的运动规律 欧拉法着眼于空间点 研究流动空间点上各种物理量的变欧拉法着眼于空间点 研究流动空间点上各种物理量的变 化 化 第5页 空间的每一点都有不随时间而改变的物理量 即速度 压空间的每一点都有不随时间而改变的物理量 即速度 压 强和密度等物理量仅是空间点坐标的函数 强和密度等物理量仅是空间点坐标的函数 l MM vv x y z PP x y z x y z 如果水箱较小以致液面随时间增长如果水箱较小以致液面随时间增长 而下降 各点的速度将随时间而变 而下降 各点的速度将随时间而变 故此管路为故此管路为非定常均匀流非定常均匀流 如果水 如果水 箱中的水位保持恒定 则整个管流箱中的水位保持恒定 则整个管流 为为定常均匀流定常均匀流 2 流体运动的基本概念 定常流动定常流动 第6页 迹线 流体质点在空间运动的轨迹 迹线 流体质点在空间运动的轨迹 流线流线 空间曲线 曲线上任何一点的切线方向都与流体 空间曲线 曲线上任何一点的切线方向都与流体 通过该点时的速度方向一致通过该点时的速度方向一致 1 v 2 v 1 流线不相交 也不能是流线不相交 也不能是 折线 而是光滑曲线或直线折线 而是光滑曲线或直线 2 定常流动 流线的形状定常流动 流线的形状 和位置都不随时间而改变 和位置都不随时间而改变 3 定常流动时 流线和迹定常流动时 流线和迹 线重合线重合 迹线 流线和流管迹线 流线和流管 第7页 流管 流管 在流场中任取不与流线重合的封闭曲线 通过曲线在流场中任取不与流线重合的封闭曲线 通过曲线 上各点作流线 这些流线所构成的管状表面称为流管上各点作流线 这些流线所构成的管状表面称为流管 流管内外的流体不会穿越管壁 流管内外的流体不会穿越管壁 第8页 单位时间内通过某一过流断面的流体量称为该断面的流单位时间内通过某一过流断面的流体量称为该断面的流 量 若通过的量以体积计量则称量 若通过的量以体积计量则称体积流量体积流量 用 用QV表示表示 若通过的量以质量计量 则称为若通过的量以质量计量 则称为质量流量质量流量 记为 记为Qm u dS S 体积流量体积流量 d S Qu S 单位 单位 m3 s 质量流量质量流量 d m S Qu S 单位 单位 kg s 3 连续性方程 流量流量 d d 第9页 vu r 平均流速平均流速 S udS Q v SS 连续性方程连续性方程 2211 vSvS 质量流量 质量流量 2211 vSvS 不可压缩的流体作定常不可压缩的流体作定常 流动时 流管上两个截流动时 流管上两个截 面处的流量相等 面处的流量相等 流管有分支时 流管有分支时 221100 vSvSvS 连续性方程连续性方程 第10页 设理想流体在重力场中作定常流动 设理想流体在重力场中作定常流动 t 时刻时刻 1 2之间之间的的 流体 经过流体 经过 时间 移动时间 移动到到 1 2 y x o 2 y 1 y 2 p 1 p 1 v 2 v 1 S 2 S 1 S 2 S 2 h 1 h 第二节伯努利方程及其应用第二节伯努利方程及其应用 1 伯努利方程 第11页 222111 xSpxSpA VxSxS 2211 VppA 21 y x o 2 y 1 y 2 p 1 p 1 v 2 v 1 S 2 S 1 S 2 S 2 h 1 h 11 xx 1 x 22 xx 2 x 在在 时间内 时间内 S1 S2处处流体分别移动流体分别移动 1 2 第12页 AE 1 2 12 2 2 2 1 2 1 mgymvmgymvEEE pk y x o 2 y 1 y 2 p 1 p 1 v 2 v 1 S 2 S 1 S 2 S 2 h 1 h 11 xx 1 x 22 xx 2 x VPPmgymvmgymv 2 1 2 1 211 2 12 2 2 2 222 2 111 2 1 2 1 vv ghpghp 伯努利方程伯努利方程 第13页 如 具体对水平流管有 如 具体对水平流管有 常量 2 2 1 v p 1 p 2 p 2 v 1 v constant 2 1 2 pghv 理想流体作定常流动时 同一流管的不同截面处 或者同理想流体作定常流动时 同一流管的不同截面处 或者同 一根流线的不同位置处 单位体积内流体的动能 势能与一根流线的不同位置处 单位体积内流体的动能 势能与 该处的压强之和是常量 该处的压强之和是常量 第14页 第15页 特殊情形特殊情形 AB pghp 2 1 2 AA pghC v 2 1 2 BB pC v AB CC 如果流线来自这样的空间 在该空间中的流体微团均以相同速如果流线来自这样的空间 在该空间中的流体微团均以相同速 率沿同一方向作匀速运动 则不同流线上的常量相等 率沿同一方向作匀速运动 则不同流线上的常量相等 不同流线上的不同流线上的常常量相等量相等 水水 空空 气气 水和空气水和空气 水流抽水机水流抽水机 1 v 12 2 v 水平管水平管 2 伯努利方程的应用 空吸空吸作用作用 第16页 h1 h2 h 12 S1S2 2 2 2 1 21 2 SS gh SSQ 文丘里流量计文丘里流量计 流量计流量计 第17页 22 1122 11 22 ll pp vv 1 122 SS vv h h1 h2 液体液体 ghv2 皮托管测量皮托管测量液体的液体的流速流速 流速计流速计 第18页 AB h 气体气体 气体密度 液体密度 gh v 2 皮托管皮托管测量气体测量气体的流速的流速 第19页 2 1 2 AABBB pghpgh v 0 AB hh 2 1 2 ABB pp v 2 2 2 AB B ghpp gh 液 液 vv A D B C 流体流速流体流速 DDAA ghvghv 22 2 1 2 1 ADDAD ghhhgv2 2 压强与高度的关系压强与高度的关系 CCBB PghPgh 粗细均匀的虹吸管中 高处液体的压强小于低处的 粗细均匀的虹吸管中 高处液体的压强小于低处的 0 2 2 1 PghvPgh ABBB 2 0 2 1 1 BBAB v g PP g hh g P hh AB 0 max 例如水 例如水 m10 max AB hh 虹吸管虹吸管 第20页 x 0 x H h 例例2 在截面积在截面积So很大的圆筒中储有高度为很大的圆筒中储有高度为H的水 在桶的的水 在桶的 侧面高度侧面高度h处开有一个面积为处开有一个面积为s的小孔 求的小孔 求 1 高度 高度h 为多大时 水在地面的射程为多大时 水在地面的射程xmax最大 并求出该最大最大 并求出该最大射程 射程 2 小孔为该高度时 水从开始射出到停止射出需要多 小孔为该高度时 水从开始射出到停止射出需要多 少时间 少时间 第21页 1 设水从小孔射出的速度大小为v 因水桶的截面 积远大于小孔面积 水面下降的速度可以忽略 从 液面到小孔处构造流线 对该流线两端应用伯努利 方程得 2 00 1 2 pgHpghv 2 vg Hh 2 1 2 hgt 4 xvtHh h 2hH 显然 解得 又因为 得到 时 max xH 相当于自由落体下落 的速度大小 解解 第22页 2 当小孔开在H 2处时 设水从开始流出到停止流出所 化时间为to 考察流出过程中的任意一个时刻t 此时 从 小孔流出的水的流速大小为v 水面高度为y 由前面论证 可得 2 2 o o SH t sg 圆筒中水的体积为 由于 d d 将以上三式整理得 d d 2 2 分离变量积分 0 d 2 d 2 2 我们发现 该时间相当于自由落体下落的时间乘以因子 0 第23页 第三节第三节黏性黏性流体的运动流体的运动 1 牛顿粘性定律 粘性是运动流体内部所具有的抵抗剪切变形的特性粘性是运动流体内部所具有的抵抗剪切变形的特性 它 它 表现为运动着的流体中速度不同的流层之间存在着沿切表现为运动着的流体中速度不同的流层之间存在着沿切 向的粘性阻力 即内摩擦力 向的粘性阻力 即内摩擦力 由于内摩擦力 平板由于内摩擦力 平板 和壁面间各流层速度和壁面间各流层速度 沿流层法线方向变化 沿流层法线方向变化 呈呈速度梯度速度梯度分布 分布 y U F x h u du u dy y 第24页 y u AF d d 牛顿粘性公式 为动力黏度 为动力黏度 单位单位 黏度的大小取决于流体本身的黏度的大小取决于流体本身的 性质性质 液体的 液体的黏度黏度随温度的升高而减小 气体随温度的升高而减小 气体黏度黏度随温度随温度 的升高而增大 的升高而增大 凡符合牛顿粘性定律的流体称为牛顿流体 凡符合牛顿粘性定律的流体称为牛顿流体 第25页 粘性流体在管中分层流动 各流层之间仅作相对滑动而 不混合 叫层流层流 当层流被破坏 各个流层混淆 甚至 可能出现涡漩 叫湍流湍流 A A B B C v C P D E Q 1 2 3 实验结果表明 当流速增大到某一临界值 后 层流转变 为湍流 当流速降低到某一临界值 后 湍流转变为层流 2 粘性流体的两种流动状态 两种流态两种流态 第26页 通常用雷诺数 Reynolds number 来确定流体的流动形态 是层流还是湍流 流层和湍流的转变速度与流体的密度 流体的黏度 和过 流断面的形状 例如管径d 等因素有关 e v d R 层流层流 c ReRe 湍流湍流 c eRRe 过渡流过渡流 cc eRReRe 对于圆管流来说 实验得出 对于圆管流来说 实验得出 2300 13800 cc Re Re 一般把下临界雷诺数作为层流 湍流的判别标准 一般把下临界雷诺数作为层流 湍流的判别标准 雷诺数雷诺数 第27页 粘性流体在流动过程中 对所选流管内的流体存在着粘滞 阻力 因此对流管内的流体作负功负功w 伯努利方程变为 22 111222 11 22 vghpvghpw 上式中w 是指单位体积单位体积的不可压缩的粘性流体 从一处运 动到另一处时 克服粘性力所做的功或损失的能量损失的能量 3 粘性流体的运动规律 第28页 有两种能量损失 沿程能量损失 局部能量损失沿程能量损失 局部能量损失 沿程能量损失 沿程能量损失均匀分布在整个流段上 与流段的长度成比 例 局部能量损失 在边壁沿程急剧变化 边壁形状 尺寸 过流方向等有变 化 流速分布发生变化的局部区段上 集中产生的流动 能量损失称为局部能量损失 如断面的突然扩大或突然缩 小 喷管 异径管 弯管 三通 阀门等各种管件处的能 量损失 都是局部能量损失 在不可压缩的粘性流体作定常流动时的伯努利方程中 w 应该等于沿流程上各段的沿程能量损失与所有局部能量损 失之和 第29页 R v r dr r 不可压缩的牛顿粘性流体在均匀水平管中作定常流动时 如果雷诺数不大 流动的形态是层流 各流层为从圆筒轴 线开始 半径逐渐增大的 薄皮 圆筒形 流速从轴线处 向外逐渐减小 在管壁处为零 第第四四节节 泊肃叶定律泊肃叶定律 流动特征流动特征 第30页 L 1 p 2 p 流体元两端压力差 流体元两端压力差 2 21 rPPF 流体元侧面受粘性力 流体元侧面受粘性力 d 2 d v FrL r 定常流动时 定常流动时 2 12 d 2 d v PPrrL r 0 12 dd 2 R vr PP vr r L 4 22 21 rR L pp v 牛顿流体的速度分布牛顿流体的速度分布 v r 流速分布流速分布 第31页 22 12 2d 4 PP dQRrr r L 流阻 流阻