椭圆、双曲线的离心率取值范围求解方法.doc

WORD 格式 资料 专业 整理 椭圆 双曲线的离心率取值范围求解方法椭圆 双曲线的离心率取值范围求解方法 一 利用三角形三边的关系建立不等关系 但要注意可以取到等号成立 利用三角形三边的关系建立不等关系 但要注意可以取到等号成立 例例 1 1 双曲线 双曲线的两个焦点为的两个焦点为 若 若为其上一点 且为其上一点 且 则双曲线离心 则双曲线离心 22 22 yx 1 a0 b0 ab 12 F FP 12 PF2 PF 率的取值范围为 率的取值范围为 A 1 3 A 1 3 B B C 3 C 3 D D 1 3 3 解析 当且仅当三点共线等号成立 12 PF2 PF 12 PFPF2a 121 2 PFPFFF 12 PFF 选 B c 6a2ce3 e1 a 又 e1 3 例例 2 2 如果椭圆 如果椭圆上存在一点上存在一点 P P 使得点 使得点 P P 到左准线的距离与它到右焦点的距离相等 那么椭到左准线的距离与它到右焦点的距离相等 那么椭 22 22 yx 1 ab0 ab 圆的离心率的取值范围为圆的离心率的取值范围为 A A B B C C D D 0 21 21 1 0 31 31 1 解析解析 设 由题意及椭圆第二定义可知 2 PFm 1 PFme 12 2a PFPFm e1 2am e1 当且仅当三点共线等号成立 把代入化简可得 2112 PFPFFF 12 PFF mme2c 2a m e1 又 选 B 2a 1e2c e1 2 e2e10e21 e1 e21 1 二 二 利用三角函数有界性利用三角函数有界性结合余弦定理建立不等关系结合余弦定理建立不等关系 例例 1 1 双曲线的两个焦点为 若为其上一点 且 则双曲线离 22 22 1 0 0 xy ab ab 12 F FP 12 2PFPF 心率的取值范围是 1 3 1 3 3 3 解析 设 当点在右顶点处 2 PFm 12 0 FPF P 222 2 4cos2 54cos 2 mmmc e am 11 1 3 e 三 利用三 利用曲线的几何性质曲线的几何性质数形结合建立不等关系数形结合建立不等关系 例例 1 1 双曲线的两个焦点为 若为其上一点 且 则双曲线离心率 22 22 yx 1 a0 b0 ab 12 F FP 12 PF2 PF 的取值范围为 A 1 3 B C 3 D 1 3 3 解 即在双曲线右支上恒存在点使得可知 12 PFPF2a 2 PF2a P 2 PF2a 又 选 B 222 AFPF OFOAca2a c c3ae3 a e1 e1 3 例例 2 2 已知双曲线的左 右焦点分别是 F1 F2 P 是双曲线右支上一点 P 到右准线的距离 22 22 1 0 0 xy ab ab 为 d 若 d PF2 PF1 依次成等比数列 求双曲线的离心率的取值范围 解 由题意得因为 所以 从而 WORD 格式 资料 专业 整理 又因为 P 在右支上 所以 例例 3 3 椭圆 22 22 1 xy ab ab 的右焦点F 其右准线与x轴的交点为A 在椭圆上存在点P满足线段AP的垂 直平分线过点F 则椭圆离心率的取值范围是 A 2 0 2 B 1 0 2 C 2 1 1 D 1 1 2 解析解析 由题意 椭圆上存在点 P 使得线段 AP 的垂直平分线过点 即 F 点到 P 点与 A 点的距离相等 而 FA F w PF a c a c 于是 a c a c 即 ac c2 b2 ac c2 22 ab c cc 2 b c 222 222 accac acacc m 又 e 0 1 故 e 答案 D 1 1 1 2 c a cc aa 或 1 1 2 例例 4 4 已知双曲线的左 右焦点分别为 若双曲线上存在点使 22 22 1 0 0 xy ab ab 12 0 0 FcF c P 则该双曲线的离心率的取值范围是 12 21 sin sin PFFa PF Fc 解析 由正弦定理得 2 12 211 sin sin PFPFF PF FPF 2 1 1PFa PFce 21 e PFPF 又 由双曲线性质知 12 2 1 PFPFa e 2 1 2ePFa 2 2 1 a PF e 2 PFca 即 得 又 得 2 1 a ca e 2 1 1 e e 2 210ee 1e 1 21 e 例例 5 5 设椭圆的左右焦点分别为 如果椭圆上存在点 P 使 900 求离心 22 22 1 0 xy ab ab 12 FF 12 FPF 率 e 的取值范围 解析 P 点满足 F1PF2 90 点 P 在以 F1F2为直径的圆上又 P 是椭圆上一点 以 F1F2为直径的圆与椭圆有公共点 F1 F2是椭圆的焦点 以 F1F2为直径的圆的半径 r 满足 r c b 两边平方 得 c2 b2 即 22 22 1 0 xy ab ab c2 a2 c2 由此可得 e 2 2 1 WORD 格式 资料 专业 整理 四 利用圆锥曲线中四 利用圆锥曲线中的的范围建立不等关系范围建立不等关系 xy 例 1 双曲线的右支上存在一点 它到右焦点及左准线的距离相等 则双曲线离心率的取值 22 22 1 0 0 xy ab ab 范围是 1 2 2 1 21 21 解析 22 000 1 aa exaxexa cc 0 xa 2 1 a aea c 而双曲线的离心率 2 1 1 112101212 a eeee ce 1e 1 21 e 例 2 设点 P 在双曲线的左支上 双曲线两焦点为 已知是点 P 到左准线 0b 0a 1 b y a x 2 2 2 2 21 FF PF 1 的距离和的比例中项 求双曲线离心率的取值范围 ld PF 2 解析 解析 由题设得 由双曲线第二定义得 由焦半 PF d PF 2 2 1 PF PF d PF 1 21 e d PF 1 e PF PF 1 2 径公式得 则 即 解得 e exa exa a ee a e1 x 2 01e2e2 21e1 归纳 归纳 求双曲线离心率取值范围时可先求出双曲线上一点的坐标 再利用性质 若点在双曲线的左支上P1 b y a x 2 2 2 2 则 若点在双曲线的右支上则 ax p1 b y a x 2 2 2 2 ax 例 2 设椭圆的左右焦点分别为 如果椭圆上存在点 P 使 900 求离心率 22 22 1 0 xy ab ab 12 FF 12 FPF e 的取值范围 解析 1 设 P x y 又知 则FcFc 12 00 将这个方程与椭圆方程联立 消去 y 可解得 F PxcyF Pxcy F PFF PF P F P F P xc xcy xyc 12 1212 12 2 222 90 0 0 由 知 则 即 得 x a ca b ab F PF xa a ca b ab a 2 2222 22 12 22 2222 22 2 90 0 0 但由椭圆范围及 知 即 WORD 格式 资料 专业 整理 可得 即 且 从而得 且 所以 cbcacca e c a e c a e 2222222 2 2 1 2 2 1 解析 2 由焦半径公式得 PFaexPFaex PFPFF F acxe xacxe xc ae xcx ca e Pxyxaxa 12 1 2 2 2 12 2 2222222 22222 22 2 22 224 2 2 0 又由 所以有 即 又点 在椭圆上 且 则知 即 0 2 2 2 1 22 2 2 ca e a e得 例 3 已知椭圆 1 a b 0 的左 右顶点分别为A B 如果椭圆上存在点P 使得 APB 1200 求椭圆的离心 22 22 xy ab 率e的取值范围 解解 设P x0 y0 由椭圆的对称性 不妨令 0 x0 a 0 y0 b A a 0 B a 0 PA k ax y 0 0 PB k ax y 0 0 APB 1200 tan APB 又 tan APB 3 1 PBPA PBPA kk kk 22 0 2 0 0 2 ayx ay 22 0 2 0 0 2 ayx ay 3 而点P在椭圆上 b2x02 a2y02 a2b2 由 得y0 0 y0 b 0 b 3 2 22 2 ba ab 3 2 22 2 ba ab a b 0 2ab a2 b2 即 4 a2b2 3 c4 整理得 3e4 4e2 4 0 考虑 0 e 1 可解得 e 1 3 3 6 四 利用判别式建立不等关系四 利用判别式建立不等关系 例 1 设椭圆的左右焦点分别为 如果椭圆上存在点 P 使 900 求离心率 22 22 1 0 xy ab ab 12 FF 12 FPF e 的取值范围 解 由椭圆定义知 PFPFaPFPFPFPFa 121 2 2 2 12 2 224 WORD 格式 资料 专业 整理 又由 知 则可得 这样 与是方程的两个实根 因此 F PF PFPFF Fc PFPFac PFPFuauac 12 1 2 2 2 12 22 12 22 12 222 90 4 2 220 480 1 2 2 2 222 2 2 2 aac e c a e 因此 e 2 2 1 例 2 已知双曲线与直线 交于 P Q 两个不同的点 求双曲线离心率的取值范围 0a 1y a x 2 2 2 l1yx 解析 解析 把双曲线方程和直线方程联立消去得 时 直线与双曲线有两个x0a1 0a1y2y a1 2222 不同的交点则 即且 所以0 0 a2 a4 a1 44 2222 2a 2 1a 即且 2 3 a 1 1 a c e 22 2 2 2 6 e 2e 五 利用五 利用均值不等式均值不等式建立不等关系建立不等关系 例例 1 1 已知椭圆 a b 0 的两个焦点为 F1 F2 P 为椭圆上一点 F1PF2 60 则椭圆离心率 e 的 22 22 1 xy ab 取值范围 解 设 PF1 m PF2 n 则根据椭圆的定义 得 m n 2a 又 F1PF2中 F1PF2 60 由余弦定理 得 m2 n2 mn 4c2 联解 得mn 22 4 3 ac 又 mn a2 a2 化简整理 得 a2 4c2 解之得 e 1 2 2 mn 22 4 3 ac 1 2 例例 2 2 已知点在双曲线的右支上 双曲线两焦点为 最小值是 P 22 22 1 0 0 xy ab ab 21 FF PF PF 2 2 1 a8 则双曲线离心率的取值范围 解析 解析 由均值定理知 当且仅当时取得a8a4 PF a4 PF PF a2 PF PF PF 2 2 2 2 2 2 2 2 1 a2 PF 2 最小值 又所以 则 a8ac PF 2 aca2 3e1 WORD 格式 资料 专业 整理 例例 3 3 设椭圆的左右焦点分别为 如果椭圆上存在点 P 使 900 则离心 22 22 1 0 xy ab ab 12 FF 12 FPF 率 e 的取值范围 解析 由椭圆定义 有 平方后得2 12 aPFPF 42228 2 1 2 2 2 121 2 2 2 12 22 aPFPFPFPFPFPFF Fc 得 c a 2 2 1 2 所以有 e 2 2 1 六 六 利用二次函数的性质利用二次函数的性质建立不等关系建立不等关系 设 则双曲线的离心率的取值范围是 1a 22 22 1 1 xy aa e 2 2 2 5 2 5 2 5 解析 根据二次函数值域可得 2 2 2 1 1 1 1 1 a e aa 1 1 01a a 25e 七 利用非负数性质七 利用非负数性质 例例 已知过双曲线左焦点的直线 交双曲线于 P Q 两点 且 为原 0b 0a 1 b y a x 2 2 2 2 1 FlOQOP O 点 则双曲线离心率的取值范围 解析 解析 设 过左焦点的直线 方程 代入双曲线 y x Q y x P 2211 1 Flctyx 方程得 由韦达定理得 0btcyb2y atb 422222 222 2 21 atb tcb2 yy 由 OP OQ 得 2 2121 2 2121 222 4 21 c yy ctyyt cty cty xx atb b yy 0yyxx 2121 即 解得 因为 所以 则0c atb ctb2 atb 1t b 2 222 222 222 24 22 224 2 ba cab t 0t 2 0cab 224 所以 2 53 e 01e3e 0cca3a 2244224 2 15 e 练习 1 设 F1 F2为椭圆的两个焦点 若椭圆上存在点 P 满足 F1PF2 120 则椭圆的离心率的取值范围是 A A 1 B 1 C 0 D 0 3 2 3 2 3 2 3 2 解 设 P x1 y1 F1 c 0 F2 c 0 c 0 则 PF1 a ex1 PF2 a ex1 WORD 格式 资料 专业 整理 在 PF1F2中 由余弦定理得 cos120 解得 x12 x12 0 a2 222 11 11 4 2 aexaexc aexaex 22 2 43ca e 4c2 3a2 0 且 e2 1 e 1 3 2 2 设分别是椭圆的左 右焦点 若在其右准线上存在点 使线段的中垂线过 12 FF 22 22 1 0 xy ab ab P 1 PF 点 则椭圆离心率的取值范围是 2 F 2 0 2 3 0 3 2 1 2 3 1 3 解析 设若为右准线与轴的交点 可知 即 又在右准线上可知 所以离Px 2 2 a cc c 2 1 3 e P 2 2 a cc c 心率的取值范围为 3 1 3 3 椭圆的焦点为 两条准线与轴的交点分别为 若 则该椭圆离心率 22 22 1 xy ab 12 F Fx M N 12 2MNFF 的取值范围是 1 0 2 2 0 2 1 1 2 2 1 2 解析 因为两准线距离为 又因为 所以有 即 所以 2 2a c 12 2FFc 2 2 4 a c c 22 2ac 2 1 2 e 4 已知双曲线的右焦点为 若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有 22 22 1 0 0 xy ab ab FF60 一个交点 则此双曲线离心率的取值范围是 1 2 1 2 2 2 解析 如图与分别为与双曲线的渐近线平行的两条直线 直线 为过且倾斜 1 l 2 l 22 22 1 xy ab lF 角为的直线 要使 与双曲线的右支有且只有一个交点 则应使 60 ltan603 b a 2 1 2 b e a 5 设点 P 在双曲线的右支上 双曲线两焦点 求双曲线离心 0b 0a 1 b y a x 2 2 2 2 21 FF PF 4 PF 21 率的取值范围 解析解析 1 1 由双曲线第一定义得 与已知联立解得 a2 PF PF 21 PF 4 PF 21 由三角形性质得 解得 a 3 2 PF a 3 8 PF 21 FF PF PF 2121 c2a 3 2 a 3 8 3 5 e1 解析解析 2 2 点 P 在双曲线右支上由图 1 可知 即a 3 2 PF a 3 8 PF 21 ac PF 1 acPF 2 两式相加得 解得 aca 3 2 aca 3 8 ca 3 5 3 5 e1 F x y l 1 l 2 l WORD 格式 资料 专业 整理 6 已知双曲线的左 右焦点分别为 若双曲线上存在点使 22 22 1 0 0 xy ab ab 12 0 0 FcF c P 则该双曲线的离心率的取值范围是 12 21 sin sin PFFa PF Fc 解析 因为在 12 PFF 中 由正弦定理得 21 1221 sinsin PFPF PFFPF F 则由已知 得 1211 ac PFPF 即 12 aPFcPF 且知点 P 在双曲线的右支上 设点 00 xy 由焦点半径公式 得 1020 PFaex PFexa 则 00 a aexc exa 解得 0 1 1 a caa e x e cae e 由双曲线的几何性质知 0 1 1 a e xaa e e 则 整理得 2 210 ee 解得 2121 1 ee 又 故椭圆的离心率 1 21 e 7 若点 O 和点分别是双曲线的中心和左焦点 点 P 为双曲线右支上的任意一点 则 2 0 F 2 2 2 1 a 0 a x y 的取值范围为 OP FP A B C D 3 2 3 32 3 7 4 7 4 解析解析 因为是已知双曲线的左焦点 所以 即 所以双曲线方程为 设点 P 2 0 F 2 14a 2 3a 2 2 1 3 x y 则有 解得 因为 00 xy 2 2 0 00 1 3 3 x yx 2 2 0 00 1 3 3 x yx 00 2 FPxy 所以 此二次函数对应的 00 OPxy 2 000 2 OP FPx xy 00 2 x x 2 0 1 3 x 2 0 0 4 21 3 x x 抛物线的对称轴为 因为 所以当时 取得最小值 0 3 4 x 0 3x 0 3x OP FP 4 32 31 3 故的取值范围是 选 B 32 3 OP FP 32 3 7 已知分别是双曲线的左 右焦点 过作垂直于轴的直线交双曲线于 A B 两 12 F F 22 22 10 0 xy ab ab 1 Fx 点 若为锐角三角形 则双曲线的离心率的范围是 A 2 ABF A B C D 1 12 12 12 12 2 21 8 已知是椭圆的一个焦点 是短轴的一个端点 线段的延长线交于点 且 则的离FCBBFCDFDBF2 C 心率为 WORD 格式 资料 专业 整理 解析解析 如图 作轴于点 D1 则由 得 22 BFbca