2.2.2直线方程的几种形式.doc

2.2.2直线方程的几种形式伽利略铁球的轨迹伽利略是伟大的意大利物理学家和天文学家，科学革命的先驱! 历史上他首先在科学实验的基础上融会贯通了数学、物理学和天文学三门知识，扩大、加深并改变了人类对物质运动和宇宙的认识。为了证实和传播哥白尼的“日心说”，伽利略献出了毕生精力. 由此，他晚年受到教会迫害，并被终身监禁。他以系统的实验和观察推翻了以亚里士多德为代表的、纯属思辨的传统的自然观，开创了以实验事实为根据并具有严密逻辑体系的近代科学. 因此，他被称为“ 近代科学之父”。他的工作，为牛顿的理论体系的建立奠定了基础.据说科学家伽利略为向亚里士多德宣战，曾手拿一大一小两个铁球，站在高高的比萨斜塔上，将一大一小两个铁球同时扔下，结果人们发现，两个铁球同时落地，于是亚里士多德的那个“物体下落速度与其重量成正比”的论断立刻被推翻了.一个铁球可以看作是一个质点，那么铁球运动所形成的轨迹可以看做是满足某种运动规律的点的集合。我们将之推广在平面直角坐标系中，这样的点的集合被称为直线，直线的位置既可以由两个点来惟一确定，也可以由一个点和一个方向来确定.课程学习目标课程目标目标重点：各种直线方程的推导，点斜式是直线方程的重中之重；根据所给条件灵活选取适当的形式和方法，熟练地求出直线的方程.目标难点：清楚各种直线方程的局限性；把握求直线方程的灵活性；运用数形结合、分类讨论等数学方法和特殊一般特殊的思维方式理解直线与二元一次方程的对应关系.学法关键1直线是点的集合，求直线方程实际上是求直线上点的坐标之间满足的一个等量关系；2求直线方程的过程中，既要说明直线上的点的坐标满足方程，也要说明以方程的解为坐标的点在直线上，只有满足了这两点，我们才可以说这个方程是直线的方程或直线是这个方程的直线；3通过二元一次方程与直线关系的认识和理解，培养数形结合、数形转化的能力，能正确运用直线方程的各种形式解决问题。研习点1直线的点斜式方程1点斜式方程 设直线l过点P0(x0，y0)，且斜率为k，则直线的方程为yy0=k(xx0)，由于此方程是由直线上一点P0(x0，y0)和斜率k所确定的直线方程，我们把这个方程叫做直线的点斜式方程.注意：利用点斜式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否.（1）当直线l的倾斜角=90时，斜率k不存在，不能用点斜式方程表示，但这时直线l恰与y轴平行或重合，这时直线l上每个点的横坐标都等于x0，所以此时的方程为x=x0.（2）当直线l的倾斜角=0时，k=0，此时直线l的方程为y=y0，即yy0=0.（3）当直线l的倾斜角不为0或90时，可以直接代入方程求解.2斜截式方程：如果一条直线通过点(0，b)且斜率为k，则直线的点斜式方程为y=kx+ b 其中k为斜率，b叫做直线y=kx+b在y轴上的截距，简称直线的截距.注意：利用斜截式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否.（1）并非所有直线在y轴上都有截距，当直线的斜率不存在时，如直线x=2在y轴上就没有截距，即只有不与y轴平行的直线在y轴上有截距，从而得斜截式方程不能表示与x轴垂直的直线的方程.（2）直线的斜截式方程y=kx+b是y关于x的函数，当k=0时，该函数为常量函数.x=b；当k0时，该函数为一次函数，且当k0时，函数单调递增，当k0时，函数单调递减.（3）直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特例。要注意它们之间的区别和联系及其相互转化.直线点斜式方程的理解1由于点斜式方程是由斜率公式推出的，因此 表示的直线上缺少一个点P(x0，y0)，yy0=k(xx0)才是整条直线；2经过点P0(x0，y0)的直线有无数条，这无数条直线可以分为两类：斜率存在时，直线方程yy0=k(xx0)；斜率不存在时，直线方程为x=x0.3直线的点斜式方程实际上就是我们熟知的一次函数的解析式；4从函数的角度来看，当斜率k存在时，直线方程可以看作是函数解析式，当斜率k不存在时，直线方程为x=x0，它不是函数解析式。研习点2直线的两点式方程若直线l经过两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，(x1x2)，则直线l的方程为，这种形式的方程叫做直线的两点式方程.两点式方程的理解：（1）当直线没有斜率(x1=x2)或斜率为零(y1=y2)时，不能用两点式表示它的方程；（2）可以把两点式的方程化为整式(x2x1)(yy1)= (y2y1)(xx1)，就可以用它来求过平面上任意两点的直线方程； 如过两点A(1，2)，B(1，3)的直线方程可以求得x=1，过两点A(1，3)，B(2，3)的直线方程可以求得y=3.（3）需要特别注意整式(x2x1)(yy1)= (y2y1)(xx1)与两点式方程的区别，前者对于任意的两点都适用，而后者则有条件的限制，两者并不相同，前者是后者的拓展。研习点3直线的截距式方程若直线l在x轴上的截距是a，在y轴上的截距是b，且a0，b0，则直线l的方程为，这种形式的方程叫做直线的截距式方程。用截距式方程表示直线时，要注意以下几点：（1）方程的条件限制为a0，b0，即两个截距均不能为零，因此截距式方程不能表示过原点的直线以及与坐标轴平行的直线；（2）用截距式方程最便于作图，要注意截距是坐标而不是长度；（3）要注意“截距相等”与“截距绝对值相等”是两个不同的概念，截距式中的截距可正、可负，但不可为零。截距式方程的应用（1）与坐标轴围成的三角形的周长为：|a|+|b|+；（2）直线与坐标轴围成的三角形面积为：S= ；（3）直线在两坐标轴上的截距相等，则k=1或直线过原点，常设此方程为x+y=a或y=kx.研习点4直线方程的一般形式方程Ax+By+C=0（A、B不全为零）叫做直线的一般式方程.直线的一般式方程的理解1两个独立的条件可求直线方程：求直线方程，表面上需求A、B、C三个系数，由于A、B不同时为零，若A0，则方程化为，只需确定的值；若B0，同理只需确定两个数值即可；因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程；2直线方程的其他形式都可以化成一般式，解题时，如果没有特殊说明应把最后结果化为一般式，一般式也可以化为其他形式。3在一般式Ax+By+C=0（A、B不全为零）中，若A=0，则y=，它表示一条与y轴垂直的直线；若B=0，则，它表示一条与x轴垂直的直线.研习点5直线方程的选择（1）待定系数法是求直线方程的最基本、最常用的方法，但要注意选择形式，一般地已知一点，可以待定斜率k，但要注意讨论斜率k不存在的情形，如果已知斜率可以选择斜截式待定截距等；（2）直线方程的几种特殊形式都有其使用的局限性，解题过程中要能够根据不同的题设条件，灵活选用恰当的直线形式求直线方程。请参看下表：直线形式直线方程局限性选择条件点斜式不能表示与x轴垂直的直线已知一个定点和斜率k 已知一点，可设点斜式方程斜截式不能表示与x轴垂直的直线已知在y轴上的截距 已知斜率，可设斜截式方程两点式不能表示与x轴、y轴垂直的直线已知两个定点已知两个截距截距式不能表示与x轴垂直、与y 轴垂直、过原点的的直线已知两个截距已知直线与坐标轴围成三角形的面积问题可设截距式方程一般式能表示所有的直线求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程题型1直线的点斜式方程例1一条直线经过点M(2，3)，倾斜角=135，求这条直线的方程。解：这条直线经过点M(2，3)，斜率是k=tan=1代入点斜式方程得：y+3=1(x+2)，即x+y+5=0，这就是所求直线的方程.例2求斜率为，且分别满足下列条件的直线方程：（1）经过点M(，1)；（2）在x轴上的截距是5.解：（1）所求直线经过点(，1)，斜率为，所求直线方程为，即x3y6=0.（2）所求直线的斜率是，在x 轴上的截距为5，即过点(5，0)，所求直线的方程为y=(x+5)，即.题型2直线的斜截式方程例3若直线Ax+By+C=0通过第二、三、四象限，则系数A、B、C需满足条件（ ）（A）A、B、C同号 （B）AC0，BC0 （C）C=0，AB0 （D）A=0，BC0，b0，又因为点P(1，2)在直线l上，所