高三数学二轮复习 第一篇 专题突破 专题四 数列刺 第1讲 等差数列与等比数列课件 文.ppt

第1讲等差数列与等比数列 考情分析 总纲目录 考点一等差 等比数列的基本运算 高频考点 命题点 1 等差 比 数列中a1 n d q an sn的计算 2 等差 等比数列的交汇运算 1 等差数列的通项公式及前n项和公式an a1 n 1 d sn na1 d 2 等比数列的通项公式及前n项和公式an a1qn 1 q 0 sn q 1 典型例题 2017课标全国 17 12分 已知等差数列 an 的前n项和为sn 等比数列 bn 的前n项和为tn a1 1 b1 1 a2 b2 2 1 若a3 b3 5 求 bn 的通项公式 2 若t3 21 求s3 解析设 an 的公差为d bn 的公比为q 则an 1 n 1 d bn qn 1 由a2 b2 2得d q 3 1 由a3 b3 5得2d q2 6 联立 和 解得 舍去 或因此 bn 的通项公式为bn 2n 1 2 由b1 1 t3 21得q2 q 20 0 解得q 5或q 4 当q 5时 由 得d 8 则s3 21 当q 4时 由 得d 1 则s3 6 跟踪集训1 2017课标全国 理 4 5分 记sn为等差数列 an 的前n项和 若a4 a5 24 s6 48 则 an 的公差为 a 1b 2c 4d 8 答案c等差数列 an 中 s6 48 则a1 a6 16 a2 a5 又a4 a5 24 所以a4 a2 2d 24 16 8 得d 4 故选c 2 2017课标全国 理 9 5分 等差数列 an 的首项为1 公差不为0 若a2 a3 a6成等比数列 则 an 前6项的和为 a 24b 3c 3d 8 答案a设等差数列 an 的公差为d 依题意得 a2 a6 即 1 2d 2 1 d 1 5d 解得d 2或d 0 舍去 又a1 1 s6 6 1 2 24 故选a 考点二等差 等比数列的性质1 等差数列的性质 1 若m n p q n 且m n p q 则am an ap aq 2 sm s2m sm s3m s2m 仍成等差数列 3 am an m n d d m n n 4 a2n 1 b2n 1分别为 an bn 的前2n 1项的和 2 等比数列的性质 1 若m n r s n 且m n r s 则am an ar as 2 an amqn m 3 当 an 的公比q 1 或q 1且m为奇数 时 数列sm s2m sm s3m s2m 是等比数列 典型例题 1 2017陕西西安八校联考 已知数列 an 是等比数列 数列 bn 是等差数列 若a1 a6 a11 3 b1 b6 b11 7 则tan的值是 a b 1c d 2 设sn是等差数列 an 的前n项和 s10 16 s100 s90 24 则s100 3 在数列 an 中 a1 a2 anan 2 1 则a2016 a2017 答案 1 a 2 200 3 解析 1 依题意得 3 3b6 7 a6 b6 又 故tan tan tan tan 选a 2 依题意 知s10 s20 s10 s30 s20 s100 s90依次成等差数列 设该等差数列的公差为d 又s10 16 s100 s90 24 因此s100 s90 24 16 10 1 d 16 9d 解得d 因此s100 10s10 d 10 16 200 3 依题意知 a3 2 a4 3 a5 a6 数列 an 是周期为4的数列 a2016 a2017 a4 a1 跟踪集训1 在正项等比数列 an 中 an 1 an a2a8 6 a4 a6 5 则 a b c d 答案d由题意可知a2a8 a4a6 6 又a4 a6 5 an 1 an 所以a4 3 a6 2 所以 2 在等差数列 an 中 a3 a4 a5 a6 a7 50 前k项之和sk是一个不含k的常数 则的值为 a 5b 10c 15d 20 答案b解法一 由等差数列的性质及a3 a4 a5 a6 a7 50 得a3 a7 20 而s9 90 常数 k 9 s9 90 10 故选b 解法二 由sk 知 只需为常数即可 由等差数列的性质及a3 a4 a5 a6 a7 50 得a3 a7 20 即a1 a9 a3 a7 20 为常数 10 故选b 解法三 由a3 a4 a5 a6 a7 50 得a1 4d 10 sk ka1 d k 10 4d d d 10k 要使sk为常数 则 0 即k 0 舍去 或k 9 s9 9a1 36d 9 a1 4d 9 10 10 故选b 考点三等差 等比数列的判断与证明1 证明数列 an 是等差数列的两种基本方法 1 利用定义证明an 1 an n n 为一常数 2 利用等差中项 即证明2an an 1 an 1 n 2 n n 2 证明数列 an 是等比数列的两种基本方法 1 利用定义证明 n n 为一不为零的常数 2 利用等比中项 即证明 an 1an 1 n 2 n n 典型例题 2017课标全国 17 12分 记sn为等比数列 an 的前n项和 已知s2 2 s3 6 1 求 an 的通项公式 2 求sn 并判断sn 1 sn sn 2是否成等差数列 解析 1 设 an 的公比为q 由题设可得解得q 2 a1 2 故 an 的通项公式为an 2 n 2 由 1 可得sn 1 n 由于sn 2 sn 1 1 n 2 2sn 故sn 1 sn sn 2成等差数列 判断或证明一个数列是等差 等比数列时应注意的问题 1 判断一个数列是等差 等比 数列 还有通项公式法及前n项和公式法 但不作为证明方法 2 若要判断一个数列不是等差 等比 数列 只需判断存在连续三项不成等差 等比 数列即可 3 an 1an 1 n 2 n n 是 an 为等比数列的必要而不充分条件 也就是判断一个数列是等比数列时 要注意各项不为0 方法归纳 跟踪集训数列 an 满足a1 1 a2 2 an 2 2an 1 an 2 1 设bn an 1 an 证明 bn 是等差数列 2 求 an 的通项公式 解析 1 证明 由an 2 2an 1 an 2得 an 2 an 1 an 1 an 2 即bn 1 bn 2 又b1 a2 a1 1 所以 bn 是首项为1 公差为2的等差数列 2 由 1 得bn 1 2 n 1 即an 1 an 2n 1 于是所以an 1 a1 n2 即an 1 n2 a1 又a1 1 所以 an 的通项公式为an n2 2n 2 考点四数列中的数学文化典型例题中国古代数学著作 算法统宗 中有这样一个问题 三百七十八里关 初行健步不为难 次日脚痛减一半 六朝才得到其关 要见次日行里数 请公仔细算相还 其意思为 有一个人走378里路 第一天健步行走 从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半 走了6天后到达目的地 请问第二天走了 a 192里b 96里c 48里d 24里 解析由题意 知每天所走路程形成以a1为首项 公比为的等比数列 则 378 解得a1 192 则a2 96 即第二天走了96里 故选b 答案b 方法归纳涉及等比数列的数学文化题频繁出现在考试试题中 解决这类问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题 掌握等比数列的概念 通项公式和前n项和公式 跟踪集训1 2017湖南长沙模拟 九章算术 是我国古代第一部数学专著 全书收集了246个问题及其解法 其中一个问题为 现有一根九节的竹子 自上而下各节的容积成等比数列 上面四节容积之和为3升 下面三节的容积之和为4升 求中间两节的容积各为多少 该问题中第2节 第3节 第8节竹子的容积之和为 a 升b 升c 升d 升 答案a自上而下依次设各节竹子的容积分别为a1 a2 a9 依题意有因为a2 a3 a1 a4 a7 a9 2a8 故a2 a3 a8 选a 2 2017河南郑州质量检测 一 张丘建算经 卷上第22题为 今有女善织 日益功疾 初日织五尺 今一月日织九匹三丈 其意思为今有女子善织布 且从第2天起 每天比前一天多织相同量的布 若第一天织5尺布 现在一个月 按30天计 共织390尺布 则该女最后一天织尺布 a 18b 20c 21d 25 答案c依题意得 该女每天所织的布的尺数依次排列形成一个等差数列 设为 an n 1 2 30 其中a1 5 s30 390 于是有 390 解得a30 21 即该女最后一天织21尺布 选c 1 2017河北石家庄质量检测 一 已知等差数列 an 的公差为5 前n项和为sn 且a1 a2 a5成等比数列 则s6 a 80b 85c 90d 95 随堂检测 答案c由题意 得 a1 5 2 a1 a1 4 5 解得a1 所以s6 6 5 90 故选c 2 2017四川成都质量检测 二 在等比数列 an 中 已知a3 6 a3 a5 a7 78 则a5 a 12b 18c 24d 36 答案ba3 a5 a7 a3 1 q2 q4 6 1 q2 q4 78 1 q2 q4 13 q2 3 所以a5