椭圆离心率的解法.doc

椭圆离心率的解法椭圆的几何性质中，对于离心率和离心率的取值范围的处理，同学们很茫然，没有方向性。题型变化很多，难以驾驭。以下，总结一些处理问题的常规思路，以帮助同学们理解和解决问题。一、 运用几何图形中线段的几何意义。基础题目：如图，O为椭圆的中心，F为焦点，A为顶点，准线L交OA于B，P、Q在椭圆上，PDL于D，QFAD于F,设椭圆的离心率为e，则e=e=e=e=e=DBFOBBBAPQ评：AQP为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，。AO=a,OF=c,有；AO=a,BO= 有。题目1：椭圆 +=1(ab 0)的两焦点为F1 、F2 ，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e？BAF2F1思路：A点在椭圆外，找a、b、c的关系应借助椭圆，所以取AF2 的中点B，连接BF1 ,把已知条件放在椭圆内，构造F1BF2分析三角形的各边长及关系。解：F1F2=2c BF1=c BF2=cc+c=2a e= = -1 变形1：椭圆 +=1(ab 0)的两焦点为F1 、F2 ，点P在椭圆上，使OPF1 为正三角形，求椭圆离心率？ OOOOOOOOOOOOOOOOOOOPF1F2 F2F22解：连接PF2 ,则OF2=OF1=OP,F1PF2 =90图形如上图，e=-1 变形2: 椭圆 +=1(ab 0)的两焦点为F1 、F2 ，AB为椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1 X轴，PF2 AB,求椭圆离心率？BAF2F1PO 解：PF1= F2 F1=2c OB=b OA=aPF2 AB = 又 b= a2=5c2 e=点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a与c的 方程式，推导离心率。二、运用正余弦定理解决图形中的三角形题目2：椭圆 +=1(ab 0)，A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，ABF=90，求e?FBAO 解：AO=a OF=c BF=a AB=a2+b2+a2 =(a+c)2 =a2+2ac+c2 a2-c2-ac=0 两边同除以a2 e2+e-1=0 e= e=(舍去)变形：椭圆 +=1(ab 0)，e=, A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，求ABF？点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。答案：90引申：此类e=的椭圆为优美椭圆。性质：1、ABF=902、假设下端点为B1 ,则ABFB1 四点共圆。3、焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长。总结：焦点三角形以外的三角形的处理方法根据几何意义，找各边的表示，结合解斜三角形公式，列出有关e的方程式。题目3：椭圆 +=1(ab 0)，过左焦点F1 且倾斜角为60的直线交椭圆与AB两点，若F1A=2BF1,求e?解：设BF1=m 则AF2=2a-am BF2=2a-m在AF1F2 及BF1F2 中，由余弦定理得：两式相除 =e=题目4：椭圆 +=1(ab 0)的两焦点为F1 （-c，0）、F2 (c,0)，P是以F1F2为直径的圆与椭圆的一个交点，且PF1F2 =5PF2F1 ,求e?分析：此题有角的值，可以考虑正弦定理的应用。解：由正弦定理： = = 根据和比性质：= 变形得： = =ePF1F2 =75PF2F1 =15 e= =点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知e=变形1：椭圆 +=1(ab 0)的两焦点为F1 （-c，0）、F2 (c,0)，P是椭圆上一点，且F1PF2 =60，求e的取值范围？分析：上题公式直接应用。解：设F1F2P=，则F2F1P=120-e= e0) F1F2 为椭圆两焦点，M为椭圆上任意一点（M不与长轴两端点重合）设PF1F2 =,PF2F1 =若tan tan ,求e的取值范围？分析：运用三角函数的公式，把正弦化正切。解;根据上题结论e= =e eb 0)，斜率为1，且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，+与=(3,-1)共线，求e?B(X2,Y2)A(X1,Y1)O法一：设A(x1,y1) ,B(x2,y2)(a2+b2)x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0 x1+x2= y1+y2=-2c= +=(x1+x2,y1+y2)与（3，-1）共线，则-（x1+x2）=3(y1+y2)既 a2=3b2 e= 法二：设AB的中点N，则2=+ - 得：=- 1=- (-3) 既a2=3b2 e=四、 由图形中暗含的不等关系，求离心率的取值范围。题目6：椭圆 +=1(ab 0)的两焦点为F1 （-c，0）、F2 (c,0)，满足12 =0的点M总在椭圆内部，则e的取值范围？F2MF1O分析：12 =0以F1F2 为直径作圆，M在圆O上，与椭圆没有交点。解：c2c2 0eb 0)的两焦点为F1 （-c，0）、F2 (c,0)，P为右准线L上一点，F1P的垂直平分线恰过F2 点，求e的取值范围？MPF2F1O分析：思路1,如图F1P与 F2M 垂直，根据向量垂直，找a、b、c的不等关系。 思路2：根据图形中的边长之间的不等关系，求e解法一：F1 （-c，0） F2 (c,0) P(,y0 ) M(,)既(, ) 则1 =-( +c, y0 ) 2 =-( -c, ) 12 =0 ( +c, y0 ) ( -c, )=0 ( +c)( -c)+ =0a2-3c20 e1解法2：F1F2=PF2=2c PF2-c 则2c-c 3c3c2a2 则e1总结：对比两种方法，不难看出法一具有代表性，可谓通法，而法二是运用了垂