高考数学大一轮复习 第十三章 推理与证明、算法、复数 13.3 数学归纳法课件.ppt

13 3数学归纳法 第十三章推理与证明 算法 复数 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 数学归纳法一般地 证明一个与正整数n有关的命题 可按下列步骤进行 1 归纳奠基 证明当n取 n0 n 时命题成立 2 归纳递推 假设当n k k n0 k n 时命题成立 证明当时命题也成立 只要完成这两个步骤 就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立 知识梳理 第一个值n0 n k 1 题组一思考辨析1 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 用数学归纳法证明问题时 第一步是验证当n 1时结论成立 2 所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明 3 用数学归纳法证明问题时 归纳假设可以不用 4 不论是等式还是不等式 用数学归纳法证明时 由n k到n k 1时 项数都增加了一项 基础自测 1 2 3 4 5 6 5 用数学归纳法证明等式 1 2 22 2n 2 2n 3 1 验证n 1时 左边式子应为1 2 22 23 6 用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时 n0 3 1 2 3 4 5 6 题组二教材改编2 p99b组t1 在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n n 3 条时 第一步检验n等于a 1b 2c 3d 4 答案 解析 1 2 3 4 5 6 解析凸n边形边数最小时是三角形 故第一步检验n 3 3 p96a组t2 已知 an 满足an 1 n n 且a1 2 则a2 a3 a4 猜想an 答案 1 2 3 4 5 6 n 1 3 4 5 解析 答案 题组三易错自纠4 用数学归纳法证明1 a a2 an 1 a 1 n n 在验证n 1时 等式左边的项是a 1b 1 ac 1 a a2d 1 a a2 a3 1 2 3 4 5 6 解析当n 1时 n 1 2 左边 1 a1 a2 1 a a2 则上述证法a 过程全部正确b n 1验证得不正确c 归纳假设不正确d 从n k到n k 1的推理不正确 解析 答案 1 2 3 4 5 6 解析在n k 1时 没有应用n k时的假设 不是数学归纳法 解析 答案 1 2 3 4 5 6 6 用数学归纳法证明1 2 3 2n 2n 1 22n 1 n n 时 假设当n k时命题成立 则当n k 1时 左端增加的项数是 2k 解析运用数学归纳法证明1 2 3 2n 2n 1 22n 1 n n 当n k时 则有1 2 3 2k 2k 1 22k 1 k n 左边表示的为2k项的和 当n k 1时 则左边 1 2 3 2k 2k 1 2k 1 表示的为2k 1项的和 增加了2k 1 2k 2k项 题型分类深度剖析 1 用数学归纳法证明 题型一用数学归纳法证明等式 自主演练 证明 证明 1 当n 1时 左边 右边 所以等式成立 2 假设当n k k n 且k 1 时等式成立 即有 所以当n k 1时 等式也成立 由 1 2 可知 对于一切n n 等式恒成立 证明 求证 f 1 f 2 f n 1 n f n 1 n 2 n n 证明 1 当n 2时 左边 f 1 1 2 假设当n k k 2 k n 时 结论成立 即f 1 f 2 f k 1 k f k 1 那么 当n k 1时 f 1 f 2 f k 1 f k k f k 1 f k k 1 f k k k 1 f k 1 k 1 k 1 f k 1 1 当n k 1时结论成立 由 1 2 可知当n 2 n n 时 f 1 f 2 f n 1 n f n 1 用数学归纳法证明恒等式应注意 1 明确初始值n0的取值并验证当n n0时等式成立 2 由n k证明n k 1时 弄清左边增加的项 且明确变形目标 3 掌握恒等变形常用的方法 因式分解 添拆项 配方法 题型二用数学归纳法证明不等式 师生共研 证明 典例设实数c 0 整数p 1 n n 1 证明 当x 1且x 0时 1 x p 1 px 证明 当p 2时 1 x 2 1 2x x2 1 2x 原不等式成立 假设当p k k 2 k n 时 不等式 1 x k 1 kx成立 则当p k 1时 1 x k 1 1 x 1 x k 1 x 1 kx 1 k 1 x kx2 1 k 1 x 所以当p k 1时 原不等式也成立 综合 可得 当x 1 且x 0时 对一切整数p 1 不等式 1 x p 1 px均成立 证明 则当n k 1时 则xp c 数学归纳法证明不等式的适用范围及关键 1 适用范围 当遇到与正整数n有关的不等式证明时 若用其他办法不容易证 则可考虑应用数学归纳法 2 关键 由n k时命题成立证n k 1时命题也成立 在归纳假设使用后可运用比较法 综合法 分析法 放缩法等来加以证明 充分应用基本不等式 不等式的性质等放缩技巧 使问题得以简化 证明 跟踪训练 2018 衡水调研 若函数f x x2 2x 3 定义数列 xn 如下 x1 2 xn 1是过点p 4 5 qn xn f xn n n 的直线pqn与x轴的交点的横坐标 试运用数学归纳法证明 2 xn xn 1 3 证明 当n 1时 x1 2 f x1 3 q1 2 3 所以直线pq1的方程为y 4x 11 即n 1时结论成立 假设当n k k 1 k n 时 结论成立 即2 xk xk 1 3 代入上式 令y 0 即xk 1 xk 2 所以2 xk 1 xk 2 3 即当n k 1时 结论成立 由 知对任意的正整数n 2 xn xn 1 3 题型三归纳 猜想 证明 多维探究 解答 命题点1与函数有关的证明问题典例 2018 梅州质检 设函数f x ln 1 x g x xf x x 0 其中f x 是f x 的导函数 1 令g1 x g x gn 1 x g gn x n n 求gn x 的表达式 下面用数学归纳法证明 假设当n k k 1 k n 时结论成立 则当n k 1时 gk 1 x g gk x 由 可知 结论对n n 成立 2 若f x ag x 恒成立 求实数a的取值范围 解答 当a 1时 x 0 当且仅当x 0 a 1时等号成立 x 在 0 上单调递增 又 0 0 x 0在 0 上恒成立 当a 1时 对x 0 a 1 有 x 0 x 在 0 a 1 上单调递减 a 1 1时 存在x 0 使 x 0 综上可知 a的取值范围是 1 命题点2与数列有关的证明问题典例 2018 东营模拟 设数列 an 的前n项和为sn 并且满足2sn an 0 n n 猜想 an 的通项公式 并用数学归纳法加以证明 解答 解分别令n 1 2 3 得 an 0 a1 1 a2 2 a3 3 猜想 an n a2 0 a2 2 假设当n k k 2 k n 时 ak k 那么当n k 1时 即 ak 1 k 1 ak 1 k 1 0 ak 1 0 k 2 ak 1 k 1 0 ak 1 k 1 即当n k 1时也成立 an n n 2 显然当n 1时 也成立 故对于一切n n 均有an n 命题点3存在性问题的证明 解答 1 若b 1 求a2 a3及数列 an 的通项公式 再由题设条件知 an 1 1 2 an 1 2 1 从而 an 1 2 是首项为0 公差为1的等差数列 下面用数学归纳法证明上式 当n 1时结论显然成立 所以当n k 1时结论成立 解答 2 若b 1 问 是否存在实数c使得a2n c a2n 1对所有n n 成立 证明你的结论 则an 1 f an 下面用数学归纳法证明加强命题 a2n c a2n 1 1 假设当n k k 1 k n 时结论成立 即a2kf a2k 1 f 1 a2 即1 c a2k 2 a2 再由f x 在 1 上为减函数 得c f c f a2k 2 f a2 a3 1 故c a2k 3 1 因此a2 k 1 c a2 k 1 1 1 这就是说 当n k 1时结论成立 先证 0 an 1 n n 当n 1时 结论显然成立 假设当n k k 1 k n 时结论成立 即0 ak 1 即0 ak 1 1 这就是说 当n k 1时结论成立 故 成立 再证 a2n a2n 1 n n 有a2 a3 即n 1时 成立 假设当n k k 1 k n 时 结论成立 即a2k a2k 1 由 及f x 在 1 上为减函数 得a2k 1 f a2k f a2k 1 a2k 2 a2 k 1 f a2k 1 f a2k 2 a2 k 1 1 这就是说 当n k 1时 成立 所以 对一切n n 成立 又由 及f x 在 1 上为减函数 得f a2n f a2n 1 即a2n 1 a2n 2 1 利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题 存在性问题 其基本模式是 归纳 猜想 证明 即先由合情推理发现结论 然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性 2 归纳 猜想 证明 的基本步骤是 试验 归纳 猜想 证明 高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题 跟踪训练 2018 西安模拟 已知正项数列 an 中 对于一切的n n 均有 证明 0 an 1 故数列 an 中的任何一项都小于1 1 证明 数列 an 中的任意一项都小于1 在数列 an 中 an 0 证明 下面用数学归纳法证明 当n 2 且n n 时猜想正确 当n 2时已证 当n k 1时 猜想正确 典例 12分 数列 an 满足sn 2n an n n 1 计算a1 a2 a3 a4 并由此猜想通项公式an 2 证明 1 中的猜想 思维点拨 1 由s1 a1算出a1 由an sn sn 1算出a2 a3 a4 观察所得数值的特征猜出通项公式 2 用数学归纳法证明 归纳 猜想 证明问题 答题模板 规范解答 答题模板 思维点拨 规范解答 1 解当n 1时 a1 s1 2 a1 a1 1 当n 4时 a1 a2 a3 a4 s4 2 4 a4 2 证明 当n 1时 a1 1 结论成立 5分 假设当n k k 1且k n 时 结论成立 那么当n k 1时 7分 ak 1 sk 1 sk 2 k 1 ak 1 2k ak 2 ak ak 1 2ak 1 2 ak 9分 当n k 1时 结论成立 11分 答题模板归纳 猜想 证明问题的一般步骤第一步 计算数列前几项或特殊情况 观察规律猜测数列的通项或一般结论 第二步 验证一般结论对第一个值n0 n0 n 成立 第三步 假设当n k k n0 k n 时结论成立 证明当n k 1时结论也成立 第四步 下结论 由上可知结论对任意n n0 n n 成立 课时作业 1 2018 商丘周测 设f x 是定义在正整数集上的函数 且f x 满足 当f k k2成立时 总可推出f k 1 k 1 2成立 那么 下列命题总成立的是a 若f 1 1成立 则f 10 100成立b 若f 2 4成立 则f 1 1成立c 若f 3 9成立 则当k 1时 均有f k k2成立d 若f 4 16成立 则当k 4时 均有f k k2成立 基础保分练 解析 答案 解析 f k k2成立时 f k 1 k 1 2成立 f 4 16时 有f 5 52 f 6 62 f k k2成立 1 2 3 4 5 6 7 8 解析 答案 解析由s1 s2 sn可以发现由n k到n k 1时 中间增加了两项 k 1 2 k2 n k n k 1 2 k2 1 2 3 4 5 6 7 8 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 下面利用数学归纳法证明 假设当n k k 1 k n 时 结论成立 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 左边 右边 不等式成立 假设当n k k 2 且k n 时不等式成立 则当n k 1时 1 2 3 4 5 6 7 8 当n k 1时 不等式也成立 由 知对于一切大于1的自然数n 不等式都成立 1 2 3 4 5 6 7 8 5 求证 n 1 n 2 n n 2n 1 3 5 2n 1 n n 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 证明 1 当n 1时 等式左边 2 右边 2 故等式成立 2 假设当n k k 1 k n 时等式成立 即 k 1 k 2 k k 2k 1 3 5 2k 1 那么当n k 1时 左边 k 1 1 k 1 2 k 1 k 1 k 2 k 3 k k 2k 1 2k 2 2k 1 3 5 2k 1 2k 1 2 2k 1 1 3 5 2k 1 2k 1 所以当n k 1时等式也成立 由 1 2 可知 对所有n n 等式成立 1 2 3 4 5 6 7 8 1 证明 xn 是递减数列的充要条件是c 0 技能提升练 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 证明充分性 所以数列 xn 是递减数列 必要性 若 xn 是递减数列 则x2 x1 且x1 0 故 xn 是递减数列的充要条件是c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 这就是说当n k 1时 结论也成立 1 2 3 4 5 6 7 8 解答 1 求a的值 1 2 3 4 5