高等数学C1习题解答全部.doc

高等数学习题解答习题一一单项选择题1、A 2、D 3、C 二填空题 1、 2、（9，1）三计算题 1、（1）解 函数要有意义，必须满足即 定义域为（2）解 函数要有意义，必须满足解得或3（1）解 由 得 交换、y得反函数为 （2）解 由 得 交换、y得反函数为 4（1）解 只有t=0时，能；t取其它值时，因为 ，无定义 （2）解 不能，因为，此时无意义5解（1） (2) 令 则 6解 7解 设 所以 解得 习题二一单项选择题1、A 2、B 3、D 二填空题 1、1 2、单调增加三计算题 1、（1）解 因为 所以函数是偶函数（2）解 因为 所以函数是奇函数（3）解 所以函数是奇函数2解 因为 而的周期为，所以是周期函数，周期为 3解 由 得表面积： 四 证明 习题三一单项选择题1、C 2、C 3、B 4、C 二填空题 1、1 2、a 3、 4、2，0 5、1三判断正误1、对； 2、对； 3、错 四（1） 证明 令 只要，取 当时，恒有 所以（2）证明 因为，对取定的，存在M0，当xM时，有 故当xM时，习题四一单项选择题1、B 2、B 3、B 4、D二填空题 1、 2、0，6 3、 4、2，2三判断正误1、错； 2、错； 3、错； 四计算题1、原式2、原式3、原式4、原式5、原式 6、原式 7、因为 所以 习题五一、1.B， 2.A, 3. B二、1. 2三、1.（1） （2）（3）（4）2（1）（2）（3）(4)(中间思维过程同前)（5）四1.证明：2.证明：只要证明原数列单调有界就可以达到目的习题六一、1B，2B，3B，4B，5。B二、1，2。可去，3。1个三、1解： 2解： 有四、证明： 习题七一、1A，2C二、1充分，必要，2。-2，3。必要三、1（1）解： （2）解： 2解： 为第二类3.解： 有 四、1。证明：2证明： 习题八一、1B，2A，3。D二、1-2， 21三、1（1）解： （2）解： 2（1）解： （2）解： 3（1）解： （2）解： 4。解： 习题九一、1D，2D，3A二、1，2.-2()3., 三、1（1），（2）。，（3）。，（4）。 2（1），（2），（3），（4） （5），（6），（7） （8） 3、（1）， (2),(3),(4)四（1） 证明：（2）证明： 习题十一、1D 2C二、1 20三、计算题1求下列函数的高阶导数(1)，求 解：(2)设求（提示：）解：，2设和都三阶可导，求，解：3、 （1） 解：（2）解：4、 （1）解： （2）解：5、 解：6、求曲线在处的切线方程，法线方程 解： 切线方程： 法线方程：习题十一一、1A C 2A 3B二、1 2 3 三、1、（1） （2） （3） 2、（1） （2） 2、3、 4、 5、 7、 （1）（2）略习题十二一、1D 2A 3C 4B 5D 6A二、11 21 0 30 4 5三、1、原式=2、（1） （2）3、（1） （2） 4、 5、设处处可导 有 既 且既 且 有 6、 四、 又 于是即：可寻习题十三一、1A 2D二、13 2三、计算题：1、 （1）原式（2）原式 （3）原式（4）原式 （5）原式 （6）原式 （7）原式 （8）原式=2、原式=四、证明题：（1）证：区间编点为 两点连线斜率为 又 于是 即总是位于区间的正中点（2）当 即：4、 即： 3、 则只有一实根习题十四一、1C 2C 3B 4B 二、1 20 3 (0, 0) 三、计算题：1、解：令在内递减，在内递增。2、解：3、解： 时，点（1，-2）为曲线的拐点。4、解：为水平渐近线 为垂直渐近线四、证明题：1、证：当 2、证：在（0，2）内至少有使，为一个根又 只有一个负根习题十五 导数的应用 总习题一、计算题1、计算下列极限（1）原式=（2）原式=（3）原式=（4）原式=，因为，所以 原式=（5）原式=（6）令，则，时，原式=2、解：由题意，而（1）又代入（1）式，得：所以，即函数在x=0连续。3、解：，令，得。列表：1负0正负0正单调减少单调增加单调减少单调增加4、解： 令，得；又所以，当时，取得极小值。二、证明题：1、证：由已知，在连续，在可导，由拉格朗日中值定理，使得，（1）因为，有同理，对在应用拉格朗日中值定理，再结合已知，使得（2）对在应用拉格朗日中值定理，使得，由（1），（2）式可见2、证：设，有，令，得唯一解：；又所以是唯一的极小值点，因而是的最小值点。所以，都有，因此，等号仅在时成立。3、证：设，任取的两个零点，不妨设由已知，在可导，在连续，且由罗尔中值定理，使：即由此即证得在的任意两个零点间，必有的零点4、证：设，则在连续，在可导，且，则由罗尔中值定理，使：而即方程在内至少有一根5、证：设，则，因为时，所以，即单调增加，有，又有单调增加，得，即习题十六 不定积分的概念与性质一、单项选择题：1、A 2、D 3、B 4、C 5、C二、填空题：1、，（C为任意常数）2、C 3、函数在区间连续 4、积分，（注：）三、计算题：（1）原式= （2）原式=（3）原式=（4）原式=（5）原式=（6）原式=（7）原式=（8）原式=习题十七 不定积分的换元积分法一、单项选择题：1、D 2、C 3、C 4、D二、填空题：1、 2、 3、三、计算题1、（1）原式=（2）原式=（3）原式=（4）原式=（5）原式=（6）原式=（7）原式=（8）原式=（9）原式=（10）原式=（11）原式=（12）原式=（13）原式=（14）原式=（15）原式=（16）原式=2、（1）解：令，则原式=因为，原式=（2）解：令，则，原式=因为，原式=（3）解：原式=（4）解：原式=而，所以原式=（5）解：令，则，原式=（6）解：令，则，原式=习题十八 不定积分分部积分法一、填空题：1、 2、3、，二、计算题：1、求下列不定积分：（1）原式=（2）原式=（3）原式=其中所以原式=（4）设则即，解得：（5）原式=，则：即，解得：代入原式=（6）令，则，原式=（7）原式=（8）原式=（9）原式=（10）令，则：即，解得：（11）令，则：即，解得：（12）原式=2、解：由已知，所以：所以习题十九不定积分总习题一选择题：1若，则有（ A、B、C ）A BC D2下列等式正确的是（ A ）ABCD3若的导函数是，则有一个原函数为（ D ）A B C D*4若连续，是的一个原函数，则（ A ）A当是奇函数时必为偶函数B当是偶函数时必为奇函数C当是周期函数时必为周期函数D当是单调函数时必为单调函数二填空题：1设是的一个原函数，则。2设，则3设连续, 4*，且：，则三计算题：1求下列不定积分：(1) (2)解： 解： (3) (4)解： 解： (5) (6) 解： 解：原式 （7） （8）解：原式 解：原式 2设，求。解： 又，故，即3*设且有二阶连续导数，求解：第一章函数 自测题一、填空题：1.2.3.二、解答题1. 解因为，所以。而，故有。的图形略2.解（1）。（2）（3）3.证，我们有。因为在内单调增加，所以有，又因为为定义在上的奇函数，上式可改写为即所以，在内单调增加。4. 解 (1) ； (2) 。5. 解 由题意可列出函数关系如下：6. 解 设批量为件，每年需要进货次，由于均匀销售，库存量由件均匀地减少到0件，平均库存量为件。一年的库存费为(元)，订货费为(元)。综上，我们有。7. 解 设租金定为每天每套元，由题意，每天可以租出套客房，此时，每天的收入为。当元时，收入最大，最大收入为16000元，此时空出20套客房。8. 解 设月利润函数为，由题意可列出函数关系如下：。9. 解 由题意可列出函数关系如下：10. 解 (1)需求函数的图形为：(2) (3) 销售额的图形如下，经济意义是：当时销售额最大。11. 解 (1) 由题意可列出函数关系如下：(2) 利润函数为 （3）(元)。第二章 极限与连续 自测题一、填空题：1.填表 对任意给定的，总存在使得当时，总有2. 3. 4. 5. 6. 7. 一，可去 8. 一，可去；二，无穷；一，可去。 9. 一，跳跃 10. 二，振荡二、解答题1. 证明 对于任意给定的，因为，所以总存在，使得当时，总有。对数列，当时，总有所以，。 反过来未必成立，例如：。2. 解 (1) 左极限，右极限 (2) 极限不存在，因为。 (3) 3. 解 (1) 当时，为无穷小量，而是有界函数，所以。(2) 。(3) 。(4) 。(5) 。(6) 分子、分母同除以，可得。(7) ，根据无穷小量与无穷大量的关系可得，。(8) 分子、分母同除以，可得。(9) 利用等比数列的求和公式，可得。(10) 注意到 ，所以。(11) 先通分化简，。(12) 分子、分母同除以，得。(13) 当，所以。(14) 当，所以。(15) 当时，所以。(16) 。(17) 当，所以。(18) 当，所以。(19) 当，故。(20) 当，故。(21) 因为(无穷小乘有界函数)，所以。(22) 令，。(23) 。(24) 。(25) (26) 。4. 证明 (1) 因为，所以有。由于，故。(2) 注意到下列不等式：， 。利用两边夹准则，我们有。(3) 容易得到关系式，用数学归纳法可证。，所以数列是单调增加的有界数列，由单调有界数列必有极限可得，存在，设为。所以我们有 即 ，解得，因此 5. 解 当时，由题意知，时，是等价无穷小，所以可得时，因此有。6. 解 ，所以。7. 解 (1) 。 (2) 为函数的间断点，且为第一类间断点。事实上，。8. 解 ，要使在处连续，只需在处既右连续又左连续。因为在是右连续的，只须在左连续即可。，由此解得，。三、证明题1. 证明 对任意给定的，要使，只要。故取，当时，有成立，所以。2. 证明 考虑辅助函数，在区间上满足介值定理的条件，所以至少存在一点，使得，即方程在区间内至少有一实根。3. 证明 考虑辅助函数，显然在区间上连续，且，由介值定理得，至少存在一点，使得，即 。4. 证明 考虑辅助函数，显然在区间上连续，且，由介值定理得，至少存在一点，使得。即方程至少有一个小于1的正根。5. 证明 设，在区间上连续，由闭区间上连续函数的最大值最小值定理可得，在区间上有最大值和最小值，又由介值定理得，对任意的，都有所以有 故 又由介值定理得，至少存在一点，使得 。6. 证明 假设在区间上的值变号，即存在，不妨设，使得异号，在区间上连续，且，由介值定理得，至少存在一点，使得。这与已知条件相矛盾。故在区间上的值不变号。7. 证明 考虑辅助函数，在区间上连续，且，由介值定理得，至少存在一点，使得，即 。第三章 导数、微分、边际与弹性 自测题一、填空题1. A 2. 充分 3. 4. 5. 6. 7. 8. ，。 9. 0.110601，0.11 10. ， 11. 460， 4.6，2.3，2.3 12. 增加，0.82二、解答题1. 解 (1) 。 (2) 。(3) 。(4) 。 (5) 。(6) ，所以有. (7) (8) . (9) . (10) (11) . (12) . (13) (14) . (15) (16) (17) (18) 2. 解 (1) ，所以。(2) ，所以，故。3. 解 根据导数的定义以及在处连续，我们有.4. 解 利用左右导数， 我们可以求得 5. 解 因为，利用极限与无穷小的关系，我们有其中。由于在处连续，在上式两端取极限，可得利用导数的定义，我们有.6. 解 直线的斜率为，曲线在的切线的斜率为由已知条件，解得。所以切点的坐标为，切线方程为，即 。7. 解 求一阶导数、二阶导数得 ，相减，得8. 解 (1) ，所以(2) 设，则，利用Leibniz公式，得(3) (4) ，所以9. 解 (1) ，。(2) ， (3) ， 10. 解 (1) 由得 ，所以(2) 11. 解 当时，。因为，所以。12. 解 取，。由于得13. 解 边际函数为，弹性函数为。14. 解 (1) 需求弹性函数为。 (2) 。(3) ，所以价格上涨1%，总收益将会增加。收益函数为，所以当时，若价格上涨1%，总收益将增加0.67%.15. 解 (1) 边际需求为，当时，价格增加一个单位，需求量近似地减少24个单位。(2) 需求弹性为，。说明需求变动的幅度大于价格变动的幅度，当时，价格上涨1%，需求减少1.85%。(3) ，所以价格下降2%，总收益将会增加。所以当时，价格下降2%，总收益将会增加0.84%。第四章 中值定理及导数的应用 自测题一、填空题1. 2. 3. , 4. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 大，小 12. 13. 大 14. , 必要15. 一，二、求解题1. 解 (1) 。(2) 。(3) 设，则，两取极限，得，所以，。(4) 令，则。2. 解 因为在是右连续的，而所以在是左连续的，故在是连续的。3. 解 由于，所以极限存在。 因为求导以后的极限不存在，所以不能用罗必塔法则。4. 解 (1) +00+极小值极大值(2) ，0+极大值5. 解 (1) ，令得驻点为。二阶导数,我们有,所以，为函数的极大值且，为函数的极小值且。(2) ，当时，；当时，。所以是函数的极大值点且极大值为。6. 解 ，容易验证是曲线的拐点，相应的函数值为，相应的切线的斜率为，从而得到相应的法线方程为，。由于法线过坐标原点，所以有。7. 解 ，函数二阶可导，且点为的拐点，所以有，即有关系式 。8. 解 求函数一阶、二阶导数得 ，列表如下：1(1,2)200凸增极小凸减拐点凹减因为，所经曲线有水平渐近线9. 解 (1) ， 凸增极大值凸减拐点凹减极小值凹增极大值为，极小值为。拐点坐标为渐近线：。图形如下：(2) ，凸减拐点凹减极大值凹增凹减拐点坐标为：，极大值为：，铅直渐近线：,水平渐近线。图形略。10. 解 (1) ，在上的驻点为，计算可得：，所以函数在上的最大值为，最小值。(2) ，在的范围内有一个驻点，且为函数唯一的驻点，又为函数的极小值点，所以也是函数的最小值点，即。函数无最大值。(3) ，在的范围内有一个驻点，且为函数唯一的驻点，又为函数的极大值点，所以也是函数的最大值点，即。函数无最小值。11. 解 (1) 利润.求导得，解得驻点为，即当商品的价格为时，有最大利润，最大利润为。(2) 收益函数，求导得，解得驻点为，即当产量为时，收益最大，最大收益为，此时的价格为(3) 平均成本函数为，求导得(4) 由于商品分批购进，一年的采购费用为元。每批量为万件，由于销售是均匀的，库存量由万件均匀地减少到0件，平均库存量为万件，每年每万件的库存费用为500元，一年的库存总费用为元。于是总费用为令，解得。即分5批采购才能使总费用最小，最小费用为10000元。(5) 设分批购进商品，采购费为元。每批量为件，需贷款元，利率为元。(6) 设征税额为，利润为那么，令，解得，此时企业的利润最大，若按生产，征税额为令，解得，当时，征税额最大。三、证明题1. 证明 在区间上满足Lagrange定理的条件，应用Lagrange定理得因为，所以 。2. 证明 对函数在区间上分别应用Rolle定理，得 与 对函数在区间应用Rolle定理，得3. 证明 引入辅助函数，显然在区间上连续，在内可导，且，由Rolle定理，至少存在一点，使得即 。4. 证明 函数在区间应用Lagrange定理，得至少存在一点，使即 。5. 证明 在区间上考虑函数，由介值定理得，至少存在一点，使得，即至少有一个正根。 设有两个正根，因为，应用Rolle定理得，存在一点，使得，显然这样的是不存在的。故只有一个正根。6. 证明 作辅助函数，。，所以 ，特别 ，由此得。故。7. 证明 （1）在处二阶导数存在且连续，利用二次LHospital法则，可得 (2) 在处二阶导数存