§8.2椭圆的简单几何性质 例题(一)-(五)_136.doc

数学备课吧免费下载(一)例若椭圆的准线方程为，求实数m的取值集合，并写出此椭圆的焦点坐标与离心率的大小解：方程表示椭圆，则m椭圆的准线方程为，则椭圆的焦点在x轴上，于是有m，从而a，bm，解得m所以m的取值集合为3，并且椭圆方程为 ，焦点坐标为（，0），离心率为例如果椭圆的两个焦点把椭圆的对称轴上夹在两条准线之间的线段三等分，那么此椭圆的离心率等于解：社椭圆的方程为由于，两准线l、l之间的距离为，依题设条件：有所以从而椭圆的离心率例已知是椭圆在x轴上方的焦点，是此椭圆上任意一点，点分所成的比为，求动点的轨迹方程解：把已知椭圆变形为a2=25,b2=16从而焦点的坐标为（，）设点的坐标为(x,y)，点的坐标为（x，y），则由分所成比为，得：代入得：例已知焦点（，）的椭圆截直线所得弦的中点横坐标是，求椭圆标准方程解：由焦点（，）知椭圆焦点在y轴上，且（），故设椭圆方程为：将代入整理得：由韦达定理： 解得t=75所求椭圆方程为例已知椭圆，过右焦点的直线l交椭圆于、两点，若，求l方程分析：直线与椭圆相交问题，交点设而不求，应用韦达定理表示弦长，并注意分类讨论思想的应用解：c=54=1,F2(1,0)当k不存在时，l：x代入椭圆方程，k存在故设l：y=k（x），代入椭圆方程整理得：设（x1,y1）,B(x2,y2)由韦达定理：又k2=1,k=1所以或(二)例1求椭圆的长轴和短轴的长、焦点和顶点坐标.选题意图：用简单例题巩固椭圆的几何性质.解：把已知方程化成标准方程：这里a=5,b=1,所以.因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a=10和2b=2,两个焦点分别是、，椭圆的四个顶点是A1(0，-5)、A2(0，5)、B1(-1，0)和B2(1，0).例2已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长6，且，求椭圆的方程.选题意图：考查a、b、c的几何意义等基础知识.解：椭圆的长轴长是6，点A不是长轴的端点，椭圆的方程是或.说明：当焦点所在坐标轴不知道时，椭圆方程有两种情况.例3已知椭圆的长轴长是短轴的2倍，且椭圆过(-2，-4)点，求椭圆的标准方程.解：2a=22b,a=2b,当焦点在x轴上时，设椭圆的方程为点(-2，-4)在椭圆上，椭圆的标准方程为.当焦点在y轴上时，设椭圆的方程为点(-2，-4)在椭圆上， 椭圆的标准方程为(三)例1已知椭圆(ab0)的焦点坐标是F1(-c,0)和F2(c,0),P（x0,y0）是椭圆上的任一点，求证：PF1=a+ex0,PF2=a-ex0，其中e是椭圆的离心率.选题意图：考查椭圆第二定义的基本应用；考查转化基本思想方法，把两点距离计算问题转化为点到特殊直线距离计算问题.证明：椭圆 (ab0)的两焦点F1(-c,0)、F2(c,0),相应的准线方程分别是.椭圆上任一点到焦点的距离与它到相应准线的距离的比等于这椭圆的离心率.化简得：.说明：PF1、PF2都是椭圆上的点到焦点的距离，习惯称作焦点半径.称作焦半径公式，结合这两个公式，显然到焦点距离最远(近)点为长轴端点.例2求两对称轴都与坐标轴重合，离心率e=0.8，焦点与相应准线的距离等于的椭圆的方程.选题意图：本题考查椭圆的离心率，焦点坐标、准线方程等基础知识.解：设所求椭圆的方程为 (ab0)或 (ab0).由题意，得：解这个方程组，得：所求椭圆的方程为：.例3在椭圆上求一点P，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍.选题意图：训练到焦点距离与到准线距离之间的关系等基本知识.解：设P点的坐标为(x,y)，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点.椭圆的准线方程为, 把代入方程得.因此，P点的坐标为().说明：此题也可利用焦半径公式来求.(四)例1已知椭圆(a0，b0,为参数)上的点P(x,y)，求：(1)x、y的取值范围；(2)3x+4y的取值范围.选题意图：熟悉参数方程中各量的几何意义.解：(1)-1cos1,-1sin1,-aacosa,-bbsinb.-axa,-byb为所求范围.(2)(其中为第一象限角，且tan=).而-1sin（）1.即为所求.例2把参数方程(为参数).写成普通方程，并求出离心率.选题意图：考查椭圆的离心率及参数方程与普通方程的关系.解：由参数方程得：.平方相加得：为所求普通方程.椭圆的离心率.例3设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴、离心率,已知点到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标.选题意图：考查灵活运用椭圆参数方程解决问题的能力.解法1：设椭圆的参数方程为 (其中，)由.设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d，则： 如果即那么当时d取得最大值由此得矛盾.因此必有，此时当时，d取得最大值，解得所求椭圆的参数方程是由求得椭圆上到点P的距离等于的点是解法2：设所求椭圆的方程为（）由解得设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d.则其中-b，如果，则当y=-b时，d取得最大值.，解得矛盾.故必有b，当时d取得最大值解得b=1,a=2所求椭圆方程为由可求得到点的距离等于的点的坐标为（）.(五)例1已知椭圆的焦点是（，）和（，），直线y=4是椭圆的一条准线.(1)求椭圆的方程；(2)又设点P在这个椭圆上，且，求.解：(1)，又椭圆中心在原点，焦点在y轴上椭圆的方程为（）由解得又即.例2求与椭圆相交于A、B两点，并且线段AB的中点为M(1，1)的直线方程.解法1：由椭圆的对称性知垂直于x轴的直线与椭圆相交于两点，则交点间的线段的中点必然在x轴上，不可能是点M(1，1)，因此，所求的直线与x轴不垂直，设它的方程为，代入椭圆方程，整理得： 这个方程一定有两个不相等的实数根x1、x2，这两个实数根就是A、B两点的横坐标，由韦达定理得：k必须满足条件由解得经检验，也能使式成立，所求直线的方程为：解法2：设A、B的坐标分别为（x1,y1）,（x2,y2）.点A、B都在椭圆上，-，得：.AB的中点为M(1，1)，显然，即直线AB的斜率为-，所求直线方程为即4x+9y-13=0.检验知，符合题意.说明：与椭圆的弦的中点有关的问题，往往设出弦的端点的坐标，把端点的坐标代入椭圆的方程得到两个方程，然后相减.但这时也要注意到0. 例3已知椭圆（），、是椭圆上两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P(，)，证明.分析：要善于将已知条件进行转化，设（，），（，），的中点M（，）.（）点A、B在椭圆上，则 (2)线段AB的垂直平分线与x轴交于点（，）有两种等价方式()M为AB中点有 PM则，即 （），则 再从求证的结论看，是要求P点横坐标的范围，于是想到将用A、B坐标表示，而A、B坐标是有明确范围的，因此有两种解题方案，一种是由，出发，