江苏省徐州市诚贤中学高三数学上学期第二次质量检测试卷（含解析）苏教版.doc

2012-2013学年江苏省徐州市诚贤中学高三（上）第二次质量检测数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1（5分）（2010丹东一模）复数z=（x21）+（x1）i是纯虚数，则实数x=1考点：复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算专题：计算题分析：本题是一个概念题，所给的条件是一个复数是纯虚数，根据a+bi是纯虚数所满足的条件是a=0且b0，这两个条件要同时成立只要x21=0且x10，做出其中的x即可解答：解：复数z=（x21）+（x1）i是纯虚数，x21=0且x10，x=1且x1，x=1，故答案为：1点评：本题考查复数的实部和虚部，是一个概念题，在解题时用到复数常见的几种形式，是一个比较好的选择或填空题，可以出现在高考题的前几个题目中2（5分）（2013奉贤区一模）集合m=x|lgx0，n=x|x24，则mn=（1，2考点：交集及其运算专题：阅读型分析：根据对数函数的单调性求出集合m，解不等式x24求出集合n，再进行交集运算解答：解：lgx0x1，x242x2，mn=（1，2故答案是（1，2点评：本题考查集合的交集运算3（5分）在圆x2+y2=4所围成的区域内随机取一个点p（x，y），则|x|+|y|2的概率为考点：几何概型专题：计算题分析：本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出（x，y）对应图形的面积，及满足条件“区域m”的点对应的图形的面积，然后再结合几何概型的计算公式进行求解解答：解：如图所示，满足条件：“|x|+|y|2”的区域为图中正方形，r=2，圆的面积为4且圆内接正方形的对角线长为2r=4，圆内接正方形的边长为 2圆内接正方形的面积为8，则点落在正方形内的概率p=故答案为点评：几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关解决的步骤均为：求出满足条件a的基本事件对应的“几何度量”n（a），再求出总的基本事件对应的“几何度量”n，最后根据p=求解4（5分）（2013许昌二模）已知cos=，（，），则等于考点：两角和与差的正切函数专题：综合题分析：由cos的值及的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sin的值，进而求出tan的值，然后把所求的式子利用两角和与差的正切函数公式化简，把tan的值代入即可求出值解答：解：，sin=，tan=，则tan（+）=故答案为：点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的正切函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键，学生在求值时注意角度的范围5（5分）已知定义域为r的函数f（x）=是奇函数，则a=2考点：函数奇偶性的性质专题：函数的性质及应用分析：因已知奇函数，又是填空题，可以用特值法来求解解答：解：因为所给函数的定义域为r，所以f（1）=，f（1）=，因为所给函数是奇函数，所以f（1）=f（1），所以，解得：a=2，故答案为：2点评：本题考察函数的奇偶性，在利用函数奇偶性解决选择填空题时，我们常用特值法来求解析式中的参数，但是要先看定义域！6（5分）如图是一个算法的流程图，则输出s的值是7500考点：循环结构专题：图表型分析：先判断程序框图的结构为直到型循环结构，然后按照程序框图进行循环，直到第50次循环结束时输出s的值即可解答：解析：根据程序框图分析，本框图为直到型循环结构第1次循环：s=0+31=3 k=1+2=3第2次循环：s=31+33=12 k=3+2=5第3次循环：s=31+33+35=27 k=5+2=7以此类推，直到第50次循环，执行完毕后k=101时，s=31+35+37+399=3=7500此时经过判断满足k100，跳出循环故输出s=7500故答案为：7500点评：本题考查程序框图的理解和运算需要对程序框图进行若干次执行运算，当满足跳出循环条件时输出此时s值，属基础题7（5分）（2013普陀区一模）在abc中，若，则=3考点：平面向量数量积的运算；向量的模专题：平面向量及应用分析：两式相减，由向量的运算可得=9，解之即可解答：解：，=9，=3故答案为：3点评：本题考查向量的模长的运算，涉及向量的数量积的运算，两式相减是解决问题的关键，属中档题8（5分）在样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若第一个长方形的面积为0.02，前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差互为相反数，若样本容量为160，则中间一组（即第五组）的频数为36考点：频率分布直方图专题：计算题分析：设出公差，利用9个小长方形面积和为1，求出公差，然后求解中间一组的频数解答：解：设公差为d，那么9个小长方形的面积分别为0.02，0.02+d，0.02+2d，0.02+3d，0.02+4d，0.02+3d，0.02+2d，0.02+d，0.02，而9个小长方形的面积和为 1，可得0.18+16d=1 可以求得d=中间一组的频数为：160（0.02+4d）=36故答案为：36点评：本题考查频率分布直方图的应用，考查计算能力9（5分）已知b为双曲线（a0，b0）的左准线与x轴的交点，点a（0，b），若满足=2的点p在双曲线上，则该双曲线的离心率为考点：双曲线的简单性质专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由题意可得b（，0），由=2可得b为pa的中点，设p（x0，y0），由中点坐标公式可得，解之，代入双曲线的方程化简可得解答：解：由题意可得b（，0），由=2可得b为pa的中点，设p（x0，y0），由中点坐标公式可得，解得，代入双曲线的方程可得=1，即，解得故答案为：点评：本题为双曲线的离心率的求解，由已知得出关于a，c的等量关系是解决问题的关键，属基础题10（5分）已知变量a，r，则（a2cos）2+（a52sin）2的最小值为9考点：三角函数的最值；三角函数的恒等变换及化简求值专题：直线与圆分析：设点a（a，a5）、b（2cos，2sin），易知本题即求|ab|2 的最小值点a在直线l：xy5=0上，点b在圆c：x2+y2=4 上，先求出圆心到直线的距离d，可得|ab|的最小值dr，从而得到|ab|2 的最小值解答：解：可设点a（a，a5）、b（2cos，2sin），易知本题即求|ab|2 的最小值由于点a在直线l：xy5=0上，点b在圆c：x2+y2=4 上数形结合可知，由圆心o（0，0）向直线l作垂线，|ab|的最小值就是夹在圆与直线间的部分由于圆心到直线的距离d=5，|ab|min=dr=3，|ab|2 的最小值为9，故答案为 9点评：本题主要考查直线和愿的位置关系，点到直线的距离公式、两点间的距离公式的应用，属于中档题11（5分）（2012辽宁）已知等比数列an为递增数列，且，则数列an的通项公式an=2n考点：数列递推式专题：计算题分析：通过，求出等比数列的首项与公比的关系，通过2（an+an+2）=5an+1求出公比，推出数列的通项公式即可解答：解：，a1=q，2（an+an+2）=5an+1，2（1+q2）=5q，解得q=2或q=（等比数列an为递增数列，舍去）故答案为：2n点评：本题主要考查等比数列的通项公式，转化思想和逻辑推理能力，属于中档题12（5分）将一个长宽分别a，b（0ab）的长方形的四个角切去四个相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体形的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则的取值范围为考点：函数模型的选择与应用专题：计算题；压轴题分析：设出减去的正方形边长为x，表示出外接球的直径，对直径的平方的表示式求导，使得导函数等于0，得到最小值，根据自变量的范围求出结论解答：解：设减去的正方形边长为x，其外接球直径的平方r2=（a2x）2+（b2x）2+x2 求导得（r2）=18x4（a+b）=0x=（a+b）因为ab有x属于（0，）所以0（a+b）1故答案为：（1，）点评：本题考查函数的模型的选择与应用，本题解题的关键是写出直径的平方的表示式，并且对解析式求导做出直径的最小值13（5分）（2011新余二模）在平面直角坐标系x0y中，抛物线y2=2x的焦点为f，若m是抛物线上的动点，则的最大值为考点：抛物线的简单性质专题：计算题；压轴题分析：设m 到准线x= 的距离等于d，由抛物线的定义可得 =，化简为，令m=t，则m=t+，=，利用基本不等式求得最大值解答：解：焦点f（，0），设m（m，n），则n2=2m，m0，设m 到准线x= 的距离等于d，则 =令 m=t，t，则 m=t+，=（当且仅当 t= 时，等号成立）故的最大值为 ，故答案为 点评：本题考查抛物线的定义、简单性质，基本不等式的应用，体现了换元的思想，把化为，是解题的关键和难点，属于中档题14（5分）设等差数列an的前n项和为sn，若对任意的等差数列an及任意的正整数n都有不等式+a成立，则实数的最大值为考点：数列与不等式的综合专题：等差数列与等比数列分析：由等差数列an前n项之和是sn，我们利用等差数列的前n项和公式，可将不等式+进行变形，配方后，根据实数的性质，易得实数的最大值解答：解：sn=n，+可以变形成：+a1an+（）0，即（an+a1）2+（）0，若不等式+对任意an和正整数n恒成立，仅需要即可，则实数的最大值为故答案为：点评：数列是一种定义域为正整数的特殊函数，我们可以利用研究函数的方式研究它，特别是等差数列对应的一次函数，等比数列对应的指数型函数，我们要善于通过数列的通项公式、前n项和公式，或数列相关的一些性质，在解数列相关的不等式时，也可以利用配方法、放缩法等解不等式的方法二、解答题：本大题共9小题，共90分15（14分）（2013崇明县二模）已知函数f（x）=sin2xcos2x，xr（1）求函数f（x）的最小值和最小正周期；（2）设abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c且c=，f（c）=0，若sinb=2sina，求a，b的值考点：解三角形；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法专题：计算题分析：（1）将f（x）解析式第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域得出f（x）的最小值，找出的值，代入周期公式，即可求出f（x）的最小正周期；（2）由（1）确定的f（x）解析式及f（c）=0，求出sin（2c）=1，由c的范围，求出2x的范围，利用特殊角的三角函数值及正弦函数的图象求出c的度数，由sinb=2sina，利用正弦定理得到b=2a，再利用余弦定理得到c2=a2+b22abcosc，将c与cosc的值代入得到关于a与b的方程，记作，联立即可求出a与b的值解答：解：（1）f（x）=sin2xcos2x=sin2x=sin2xcos2x1=sin（2x）1，1sin（2x）1，f（x）的最小值为2，又=2，则最小正周期是t=；（2）由f（c）=sin（2c）1=0，得到sin（2c）=1，0c，2c，2c=，即c=，sinb=2sina，由正弦定理得b=2a，又c=，由余弦定理，得c2=a2+b22abcos，即a2+b2ab=3，联立解得：a=1，b=2点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦、余弦定理，正弦函数的定义域与值域，二倍角的余弦函数公式，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键16（8分）如图，在四棱锥pabcd中，侧面pad底面abcd，侧棱papd，底面abcd是直角梯形，其中bcad，bad=90，ad=3bc，o是ad上一点（）若cd平面pbo，试指出点o的位置；（）求证：平面pab平面pcd考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的性质专题：证明题；综合题分析：（）cd平面pbo，推出bocd得到ad=3bc，点o的位置满足ao=2od（）要证平面ab平面pcd，只需证明平面pcd内的直线pd，垂直平面pabpd内的两条相交直线ab、pa即可解答：（）解：因为cd平面pbo，cd平面abcd，且平面abcd平面pbo=bo，所以 bocd又 bcad，所以四边形bcdo为平行四边形，则bc=do，而ad=3bc，故点o的位置满足ao=2od（）证：因为侧面pad底面abcd，ab底面abcd，且ab交线ad，所以ab平面pad，则abpd又papd，且pa平面pab，ab平面pab，abpa=a，所以pd平面pab，pd平面pcd，所以：平面pab平面pcd点评：本题考查平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的性质，考查逻辑思维能力，是中档题17（14分）如图所示，一辆载着重危病人的火车从o地出发，沿射线oa行驶（北偏东角），其中，在距离o地5a km（a为正数）北偏东角的n处住有一位医学专家，其中现110指挥部紧急征调离o地正东p km的b处的救护车赶往n处载上医学专家全速追赶载有重危病人的火车，并在c处相遇，经测算当辆车行驶路线与ob围成的三角形obc面积s最小时，抢救最及时（1）求s关于p的函数关系；（2）当p为何值时，抢救最及时？考点：函数模型的选择与应用专题：计算题；应用题分析：（1）由已知中射线oa行驶（北偏东角），其中，在距离o地5a km（a为正数）北偏东角的n处住有一位医学专家，其中我们可能建立直角坐标系，分别求出直线的方程和点的坐标，进而可以得到s关于p的函数关系；（2）p为何值时，抢救最及时，可转化为求函数的最小值，根据（1）中的函数解析式，利用基本不等式，可求出函数的最小值，进而得到答案解答：解：（1）建立如图所示的直角坐标系，n点的坐标为（3a，4a）又射线oa的方程为y=3x，又b（p，0），直线bn的方程为（4分）当p=3a时，c（3a，9a），当p3a时，方程组，解为点c的坐标为对p=3a也成立（8分）（2）由（1）得令，当且仅当，即，此时，上式取等号，当km时，s有最小值，即抢救最及时（14分）点评：本题考查的知识点是函数模型的选择与应用，其中解答的关键是建立平面直角坐标系，将题目中的相关直线、点的方程或坐标具体化，进而拟合出函数模型18（8分）已知双曲线左右两焦点为f1，f2，p是右支上一点，pf2f1f2，ohpf1于h，（1）当时，求双曲线的渐近线方程；（2）求双曲线的离心率e的取值范围；（3）当e取最大值时，过f1，f2，p的圆的截y轴的线段长为8，求该圆的方程考点：双曲线的简单性质；圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题专题：计算题分析：（1）由相似三角形得到比例式，找出a、b的关系，把值代入求的值，进而得到双曲线的渐近线方程；（2）用表示离心率的平方，据的范围求出离心率平方得最值，可得离心率的范围，（3）确定圆心位置及直径，进而得到半径，写出圆的标准方程解答：解：由相似三角形知，2a2+b2=b2，2a2=b2（1），（1）当时，a=b，y=x（2）=，在上单调递增函数时，e2最大3，时，e2最小，（3）当时，b2 =2a2pf2f1f2，pf1是圆的直径，圆心是pf1的中点再由弦的性质可得圆心还在线段f1f2的中垂线（y轴）上，在y轴上截得的弦长就是直径，pf1=8又，故圆心c（0，2），半径为4，故所求的圆的方程为 x2+（y2）2=16点评：本题考查圆的标准方程、双曲线的性质、直线和圆锥曲线的关系，属于中档题19（8分）（2008湖北）已知数列an和bn满足：a1=，其中为实数，n为正整数（）对任意实数，证明数列an不是等比数列；（）试判断数列bn是否为等比数列，并证明你的结论；（）设0ab，sn为数列bn的前n项和是否存在实数，使得对任意正整数n，都有asnb？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由考点：等比关系的确定专题：压轴题分析：（1）这种证明数列不是等比数列的问题实际上不好表述，我们可以选择反证法来证明，假设存在推出矛盾（2）用数列an构造一个新数列，我们写出新数列的第n+1项和第n项之间的关系，发现的取值影响数列的性质，所以要对进行讨论（3）根据前面的运算写出数列的前n项和，把不等式写出来观察不等式的特点，构造新函数，根据函数的最值进行验证，注意n的奇偶情况要分类讨论解答：解：（）证明：假设存在一个实数，使an是等比数列，则有a22=a1a3，即，矛盾所以an不是等比数列（）解：因为bn+1=（1）n+1an+13（n+1）+21=（1）n+1（an2n+14）=（1）n（an3n+21）=bn又b1=（+18），所以当=18，bn=0（nn+），此时bn不是等比数列：当18时，b1=（+18）0，由上可知bn0，（nn+）故当18时，数列bn是以（+18）为首项，为公比的等比数列（）由（）知，当=18，bn=0，sn=0，不满足题目要求18，故知bn=（+18）（）n1，于是可得sn=，要使asnb对任意正整数n成立，即a（+18）1（）nb（nn+）得当n为正奇数时，1f（n）；当n为正偶数时，f（n）的最大值为f（1）=，f（n）的最小值为f（2）=，于是，由式得a（+18）当ab3a时，由b18=3a18，不存在实数满足题目要求；当b3a存在实数，使得对任意正整数n，都有asnb，且的取值范围是（b18，3a18）点评：这道题目的难度要高于高考题的难度，若函数题是一套卷的压轴题，可以出到这个难度，否则本题偏难，本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想，考查综合分析问题的能力和推理认证能力20（8分）（2012山东）已知函数为常数，e=2.71828是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与x轴平行（）求k的值；（）求f（x）的单调区间；（）设g（x）=xf（x），其中f（x）为f（x）的导函数证明：对任意x0，g（x）1+e2考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程专题：综合题；压轴题；探究型；转化思想分析：（）由题意，求出函数的导数，再由曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与x轴平行可得出f（1）=0，由此方程即可解出k的值；（ii）由（i）知，=，x（0，+），利用导数解出函数的单调区间即可；（iii）先给出g（x）=xf（x），考查解析式发现当x1时，g（x）=xf（x）01+e2一定成立，由此将问题转化为证明g（x）1+e2在0x1时成立，利用导数求出函数在（0，1）上的最值，与1+e2比较即可得出要证的结论解答：解：（i）函数为常数，e=2.71828是自然对数的底数），=，x（0，+），由已知，k=1（ii）由（i）知，=，x（0，+），设h（x）=1xlnxx，x（0，+），h（x）=（lnx+2），当x（0，e2）时，h（x）0，当x（ e2，1）时，h（x）0，可得h（x）在x（0，e2）时是增函数，在x（ e2，1）时是减函数，在（1，+）上是减函数，又h（1）=0，h（e2）0，又x趋向于0时，h（x）的函数值趋向于1当0x1时，h（x）0，从而f（x）0，当x1时h（x）0，从而f（x）0综上可知，f（x）的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，+）（iii）由（ii）可知，当x1时，g（x）=xf（x）01+e2，故只需证明g（x）1+e2在0x1时成立当0x1时，ex1，且g（x）0，设f（x）=1xlnxx，x（0，1），则f（x）=（lnx+2），当x（0，e2）时，f（x）0，当x（ e2，1）时，f（x）0，所以当x=e2时，f（x）取得最大值f（e2）=1+e2所以g（x）f（x）1+e2综上，对任意x0，g（x）1+e2点评：本题考查利用导数研究函数的最值及曲线上某点处的切线方程，解题的关键是灵活利用导数工具进行运算及理解导数与要解决问题的联系，此类题运算量大，易出错，且考查了转化的思想，判断推理的能力，综合性强，是高考常考题型，学习时要严谨认真，注意总结其解题规律21（20分）选做题在a、b、c、d四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分a选修41：几何证明选讲如图，延长o的半径oa到b，使oa=ab，de是圆的一条切线，e是切点，过点b作de的垂线，垂足为点c求证：acb=oacb选修42：矩阵与变换已知矩阵a=，向量求向量，使得a2=c选修43：坐标系与参数方程已知椭圆c的极坐标方程为2=，焦距为2，求实数a的值d选修44：不等式选讲已知函数f（x）=（xa）2+（xb）2+（xc）2+（a，bc为实数）的最小值为m，若ab+2c=3，求m的最小值考点：特征值、特征向量的应用；弦切角；简单曲线的极坐标方程专题：计算题；不等式的解法及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：a连接oe，ae，并过点a作afde于点f，由de是切线，知oedc，由bcde，知oeafbc，由此能够推导出acb=oacb由a=，知a2=，设=，则，由此能求出向量，使得a2=c由椭圆c的极坐标方程得到，由此能求出ad由f（x）=（xa）2+（xb）2+（xc）2+=3（x）2+a2+b2+c2知x=时，f（x）取最小值a2+b2+c2，即m=a2+b2+c2，由此利用柯西不等式能求出m的最小值解答：解：a证明：连接oe，ae，并过点a作afde于点f，de是圆的一条切线，e是切点，oedc，又bcde，oeafbc，caf=acb，fae=aeo，oa=oe，aeo=eao，eao=fae，又点a是ob的中点，点f是ec的中点，ae=ac，caf=fae，eao=fae=caf，acb=oacba=，a2=，设=，则，=，解得x=1，y=2，c椭圆c的极坐标方程为2=，焦距为2，由=1，得a=12df（x）=（xa）2+（xb）2+（xc）2+=3x22（a+b+c）x+a2+b2+c2+=3（x）2+a2+b2+c2x=时，f（x）取最小值a2+b2+c2，即m=a2+b2+c2，ab+2c=3，由柯西不等式得12+（1）2+22（a2+b2+c2）（ab+2c）2=9，m=a2+b2+c2，当且仅当，即a=，b=，c=时等号成立，m的最小值为点评：本题考查与圆有关的比例线段的应用，考查矩阵与变换的应用，考查椭圆的极坐标方程，考查柯西不等式的应用，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用22（10分）在平面直角坐标系xoy中，已知点a（1，1），p是动点，且三角形poa的三边所在直线的斜率满足kop+koa=kpa（ i）求点p的轨迹c的方程；（）若q是轨迹c上异于点p的一个点，且，直线op与qa交于点m，问：是否存在点p使得pqa和pam的面积满足spqa=2spam？若存在，求出点p的坐标；若不存在，说明理由考点：向量在几何中的应用；与直线有关的动点轨迹方程；轨迹方程专题：综合题分析：（）设点p（x，y）为所求轨迹上的任意一点，则由kop+koa=kpa得，从而就可以得到轨迹c的方程；（）方法一、设，由可知直线pqoa，则kpq=koa，可得x2+x1=1，由o、m、p三点共线可知，与共线，从而可得，这样，我们可以求出m的横坐标，由spqa=2spam，得到qa=2am，因为pqoa，所以op=2om，从而可求p的坐标；方法二、设，确定直线op方程、直线qa方程，我们可以得出点m的横坐标为定值，由spqa=2spam，得到qa=2am，因为pqoa，所以op=2om，从而可求p的坐标解答：解：（）设点p（x，y）为所求轨迹上的任意一点，则由kop+koa=kpa得，整理得轨迹c的方程为y=x2（x0且x1）（4分）（）方法一、设，由可知直线pqoa，则kpq=koa，故，即x2+x1=1，（6分）由o、m、p三点共线可知，与共线，由（）知x10，故y0=x0x1，（8分）同理，由与共线，即（x2+1）（x0+1）（x21）（y01）=0，由（）知x11，故（x0+1）（x21）（y01）=0，（10分）将y0=x0x1，x2=1x1代入上式得（x0+1）（2x1）（x0x11）=0，整理得2x0（x1+1）=x1+1，由x1得