落霞与孤鹜齐飞,秋水共长天一色--谈通性通法在数学教学中的应用.pdf

落霞与孤鹜齐飞 秋水共长天一色 谈通性通法在数学教学中的应用 江苏省丰县中学 曹 军 年 月笔者所在的学校进行了一次高三数 学抽测 内容为导数与函数 然而测试的结果却不尽 人意 有些问题学生为什么 懂而不会 会而不能 这 不得不引起笔者的重视 不得不对以往的教学进行反 思 究竟该怎样引领我们的学生提高高三的复习效率 呢 为此 笔者做了深刻的反思 解题教学要首选通性通法 笔者曾在文 中展示过一个例题 此题也是抽 测试卷的一道题 题目如下 例 已知 若对于任意实数 恒成立 求 的取 值范围 文 中给出的答案 试卷解析答案 为 当 时 不成立 当 时 对一切 恒成立 所以 的取值 范围是 现在想来 这个解法能教给学生吗 如果教给学 生 学生能学到什么 如果不能 那这样的答案又有什 么意义呢 笔者此刻意识到这样的答案技巧性太强 且被复制的可能性很小 所以这样的解题不宜灌输给 学生 因为这类解法所带来的倾向性令人担忧 这种倾 向就是 忽视了通性通法 月份数学抽测中 有几道 题得分低的主要原因就是学生未能较好的掌握通性通 法 而这一点 数学教师要负有很大的责任 因为有相 当一部分教师在教学中有意或无意显示自己在解题方 面的特殊技巧 而对这类问题的通性通法却不给予重 视 学生看后完全是 魔术师帽子里跑出一个兔子 只 能惊讶 欣赏 很难学会 想要再让他们能活用这些知 识 就只能是一种奢望了 因此 笔者认为教师教给学 生的解题方法是否好 其标准不是看解题是否简明 而 应该看其解法是否是通性通法 因为只有通性通法才 具有普遍的指导意义 否则 学生看到题目时首先考虑 的不是通性通法 解题时一旦遇阻就毫无章法 只能乱 做一气 不能从容得分 这也是学生为什么 懂而不会 的主要原因之一 该题目作为抽测试卷填空题的压轴题 经调查 笔 者熟知的学生中没有一个采用了上述解答 基本上都 采用了如下的一个解题思路 解 当 时 成立 此时 当 时 不等式 即不等式 对 恒成立 令 则 由 得 或 即 在 为增函数 由 得 或 即 在 为减函数 所以 的最 大值为 当 时 显然 有 当 时 所以 从而 即 综合 可知 的取值范 围是 说明 此法 分离参数法 思路清晰 为通性通 法 是学生解决问题的指导思想 课堂教学要给予重 视 在此问题解决过程中 求导 因式分解等计算让很 多学生望而却步 这也是此题低分的主要原因之一 再看一个学生的解答 由上述解法知 令 容易判断当 时 取最大值 也取最大值 即 此法在上述解法的基础之上 在通性通法的前提 下 采用了一定的解题技巧 并规避了大量的计算 这 不得不让笔者继续反思 在通性通法的准则下难道 特 殊技巧 特殊方法 就不要了吗 答案是否定的 首选通性通法 并不意味着淡化特殊技巧 特殊方 法 有关通性通法的文章很多 仅在中国知网输入 通 性通法 四个字 就会搜索出 篇中等教育的文章 在 篇文章中都或多或少提及 通性通法 的重要 性 遗憾的是对 通性通法 与 特殊技巧 特殊方法 之间关系的描述却少之又少 笔者认为 在通性通法的 中学数学杂志 年第 期 前提下 采取适当的 特殊技巧 特殊方法 不仅是可 行的 还是值得提倡的 在现行高三复习中有种现象 迫于高考压力 对通 性通法是拼命的讲 拼命的练 笔者参加的各级别的高 考研讨会也是同一呼声 同时也认为平时的讲 练 评 只能应对偏易 中档试题 而难题 是命题人精心设计 的创新题 只有依靠学生天生的悟性去解决 因此 一 些教师对成绩中等或偏下的学生 给出了 填空题最后 两道题不做 解答题最后两道题只做第一问 的锦囊 妙计 在这些认识下 日常的教学流程是学生先 做 老师先改后评 评的是学生做错的问题 然后再找 相似的问题 甚至是变换一下数据 再让学生练习 称 之为跟踪纠错 对学生做对的问题视而不见 见了也不 知道讲些什么 更谈不上如何讲了 长期傻练 学生思 维变的呆板 僵化 应变能力弱 此时 通性通法反而成 为了学生思维的桎梏 滋生了学生 懂而不会 再以 月份数学抽测中一题为例 例 已知函数 若对任意 恒有 求实数 的取值范围 在高三数学组组织命题的过程中 例 是笔者坚 持加入的试题之一 因为该题蕴含的数学思想具有代 表性 且也有普遍的指导意义 文 专门介绍了此题 从试卷反馈的信息看 大部分同学对这道题感到棘手 难以解决 通性通法也是落到了实处 学生们几乎无一 例外的都选择了分离参数法或者求函数 的最大 值 若选择分离参数法 乍一看似乎自然 也很简单 但 实际上由于导数的零点不存在 读者可以试一下 所 以采用这一方法行不通 此时 我们不得不重新审视通 性通法 通性通法一方面是解决具有相同性质数学问 题通用的基本方法 通性通法的发现发展就是数学的 发生发展 通性通法体现本原的数学思想 具有原创 性 另一方面 通性通法具有相对性 数学的发展就是 在一步步提高通性通法的层次 拓展通性通法的适用 范围和领域 直至发明新的通性通法 因此 文 中的 观点 通性通法为解题首选方法 淡化解题技巧 就显 得有些言之过激 解 由题可知 因为当 时 所以 不符合题意 当 时 把不 等式 化为 设 则 设 若 则 所以 在 上单调递增 又 所以 所以 符合题意 若 则 所以存在 使得 对任意的 则 在 上单调递减 又 所以当 时 不符合要求 综合 可知 分离参数法是解决不等式恒成立问题的通性通法 之一 但是 近年来的相关试题用分离参数法亦非万 能 屡屡难以奏效 分离参数不行 那就分离函数 例 通过 分离出 最终变成 从而使问题顺利解决 事实上 在函数有关问题 中 经常会碰到诸如指数函数 对数函数等比较复杂的 函数 如果将这些较为复杂的函数 如 等 分离 出来 则往往能使问题迎刃而解 这种分离函数的技巧 是一种较新的技巧 这种技巧在解决有关问题时是经 常使用的 也是具有普遍指导意义的 所以这种技巧很 实用 很重要 应该引起重视 因此 我们在通性通法 分离参数法 的基础之上 采用相应的解题技巧得到 了新的通性通法 分离函数法 这也是解决学生 会 而不能 的重要途径之一 为了对分离函数的技巧有更 深的认识 下面再举一例 例 年北京卷 设 为曲线 在 点 处的切线 求 的方程 证明 除切点 之外 曲线 在直线 的下方 解法 的方程为 令 则除切点之外 曲线 在直线 的下方等价于 对于 且 恒成立 满足 且 当 时 所以 故 在 上为减函数 当 时 所以 故 在 为增 函数 所以 从而除切点 之外 曲线 在直线 的下方 解法 的方程为 原命题等价于 即 对于 且 恒 成立 令 则 易 判断 在 上为减函数 在 为增函 中学数学杂志 年第 期 数 又 所以 对于 且 恒 成立 从而除切点 之外 曲线 在直线 的下方 说明 解法 是一种通性通法 这种想法很自然 但判断 的符号着实需要好好探讨一番 因为无 论是 还是 都是不容 易求解的 需要学生有一定的观察能力 解法 通过不 等式 分离出 使问题的解决更加简单 直 白 可见这种分离函数的 通性通法 是行得通的 是 具有普遍指导意义的 总之 通性通法 是解决某类问题的基本方法 具有普遍的指导意义 我们在教学中强调 通性通法 为的是有利于学生掌握相关知识内容最本质的东西 有利于学生形成基础的知识结构和网络 也易于消除 多数学生对数学的恐惧心理 增强学生学好数学的信 心 与此同时 在教学中强调 通性通法 并不意味着 淡化 特殊技巧 特殊方法 随着时代的发展 数学试 题的出现也会日新月异 而现有的 通性通法 并不一 定与之完全吻合 所以 在原有的 通性通法 层面寻求 新的生长点就会显得尤为重要 笔者相信 随着时间的 推移 新的 特殊技巧 特殊方法 就会出现 一旦它们 被证明具有了普遍的指导意义 我们就可以称之为新 的 通性通法 还有一点我们要清楚地认识到 特殊 技巧 特殊方法 抓住问题最具 个性 的特质 能够融 会贯通地运用所学知识 且思维具有一定的发散性 能 对学生进行创造思维训练 有利于调动学生学习的兴 趣和积极性 因此 教学中我们要尽量挖掘解决问题的 最本质 最基本的方法 即要提倡和重视 通性通法 适应个性选择 倡导积极主动 勇于探索的学习方式 也是新课程的重要理念 教学中也应适度进行求异 发 散思维训练 给学生提供展示个性的舞台 通性通法 与 特殊技巧 特殊方法 兼顾 努力使每个学生都获 得相应的发展 只有这样 学生才能从数学解题中找到 成功的快感 才能热爱数学 这也是消除学生 懂而不 会 会而不能 现象的最大内驱力 参考文献 曹军 五大意识助力不等式恒成立 中学数学教学 参考 吴成强 例谈一种分离函数技巧的应用 中学数学 教学参考 上旬 曹军 通性通法 应为解题首选方法 数学通报 作者简介 曹军 男 年出生 中教二级 主要研究 中学数学解题研究 课堂教学 最近三年在 中学数学杂志 等期刊发表论文 篇 一线一圆 刍议解析几何的通性通法 江苏省锡山高级中学数学名师工作室 吴宝莹 数学解题方法一般分为通法与巧法 通法着眼基 础 巧法着眼提高 对学生来说 前者是雪中送炭 后者 是锦上添花 在目前的数学解题教学中 大多师生对通 性通法推崇有加 而对特技巧法敬而远之 甚至谈 巧 色变 久而久之 我们的学生习惯于套用解题的固有套 路与程式死算硬推 思维毫无创新色彩 韧 性有余而 灵 性不足 这就违背了数学教育根本价值 尤其在解 析几何方面这个问题尤为突出 经常听数学老师说 不繁就不叫解析几何 这里要给通性通法 泼点冷 水 在解题教学中我们既要着眼基础 守住通法 雪 中送炭 锤炼学生思维之 韧 更要适当提高 催生巧 法 锦上添花 激发学生思维之 灵 解析几何的通性通法是直线与圆锥曲线方程联 立 得到一元二次方程 在判别式 的前提下 应 用韦达定理 中点坐标公式 弦长