2015年全国高中数学联赛福建赛区预赛.pdf

2 0 1 6年第 3期 2 7 2 0 1 5年全国高中数学联赛福建赛区预赛 中图分 类号 G 4 2 4 7 9 文献标识 码 A 文章编 号 1 0 0 5 6 4 1 6 2 0 1 6 0 3 0 0 2 7 0 5 一 填空题 每小题 6分 共 6 0分 1 设 集 合 l x 4 z 从 集 合 A中随机抽取一个元素 记 则随 机变量 的数学期望 E 2 已知 厂 g 其 中 g 是定 义在 R上 最小正周期为 2的函数 若f 在区间 2 4 上的最大值为 1 则厂 在区间 1 0 1 2 上的最大值为一 3 设 F 为椭圆 C 1 a b o a D 的左 右焦点 若椭 圆 c上存在一点 P 使得 P F 上 P 则椭 圆离心率 e 的取值 范 围是 4 已知实数 满足 2 y 2 3 z 2 2 4 则 2 y 3 的最小值为 5 已 知 函 数 2c s 等 在 数 列 中 a n n 1 n Z 贝 0 数列 a 的前 1 0 0项之和 S 6 如图 1 在四面体 A B C D中 D A D B D C 2 D A 上 D B D A 上 DC 且 D A与平面 A B C所A 成角的余 弦值为 则 3 该 四面 体 外 接 球 半 径 图1 C R 7 在复平 面内 复数 Z 2 的对应点 分别为 z z 若 I z l I I z 2 l 2 O Z l O Z 2 0 I 石 1 2一 l 1 则 l 的取值范围是一 8 已知函数 厂 e 一 a e 恰有两个 极值点 9 0 F2 AO i 4 5 c 6 c e 0 则当 0 当 i n 时 g 0 即 0 口 时 g 0 恰有两个不同的 实根 其也为厂 0的实根 从 而 的 取 值 范 围 是 f o 1 9 0 4 设 tf 0 则 1 2 研 7孔 1 0 flO m O 础 n n 从而 方程 n 0的解集 A为方 程 础 0的解集 B的子集 若 A 则 A t t2 4 n 0 0 4 若 则 A B 0 因此 0 吾 时 易 知 0 从而 fix 2 x 在区间 3 上 为 增 函 数 于 是 当 詈 时 的 最 小 值 为 当 时 2 4 x 4 3 0 中 等 数 学 一2一 二 4 一1 一 1 0 一 2 k 2 且 故 k 一 2 一 u 一 u 2 2 设 A Y B Y 则 2 一4 z z 瓣 又 F 2 2 0 于是 I A F 2 I l 一 2 Y 一 4 x 1 4 3 x 一 3 l 2 l 一1 l I B l l 2 x 2 1 1 注意到 2 x l 一1 2 2 1 4 x 1 2 2 x 1 2 1 4 1 3 3 一 则当 k 3 时 2 x l 一1 2 x 2 1 3 舍去 k 1 当3 0 I A I I B l I 2 l一1 I l 2 2 1 l l l 1 2 1 I 2 I x 1 2 1 I 2 J 由 I F 2 I I B I 6 2 l 一 I 6 一 2 或 寻 或 均 不 合 题 意 舍去 综上 k 的值为 1 或 一 1 1 3 1 设o oD的半径分别为 r 尺 如图 4 作 上 4 B于点 P D Q上 B于 点 Q 尸 B Q 4 则 I P r 由条件知 A D三点共线 厄 上 B C D F 上 B C 故 旭 D F r 2 设 D的中点为 则 由 饱 D F M 为 E F的中点知 M N I E D F M N D F I E A l I E A I l E 由 A D A D AI DF I E A l I E Al I E 一 一 2 DN 2 MN DN NM 又 4 D N M 故 A I E D N M E A I MD N 2 0 1 6年第 3期 3 l A E D M 1 4 不妨设点 A在第一象限 设 x O I 则 t a n 7 t a n 一 手 寻 4 0 一 j 由4 B为整点 设 4 1 3 1 B 3 t 2 4 t 2 t 1 t 2 Z 于是 I O A l 5 t J O B l 5 t 2 记 O A B内切圆的半径为 则 r C 1 01 1 S 2 5 2 01 5 5 2 O 1 5 I O A l I OB f I f 义 一 j I l l OA I I D曰I一2 r IA B I I O A I I O B I 一 2 r l 0 A l I O B I j 5 t 1 5 t 2 2 5 2 0 1 5 2 5 t 2 5 t j t 1 t 2 2 X 2 0 1 5 t 22 设 t l 2 0 1 5 t 2 Y 2 0 1 5 贝 0 Y 2 0 1 5 Y 2 0 1 5 j 2 01 5 x 2 01 5 y 2 01 5 一 2 0 1 5 Y一2 0 1 5 2 X 2 0 1 5 2 5 X 1 3 X 31 由l O A I 2 r l O B I 2 r 知 一 2 0 1 5 Y一2 0 1 5 Z 注意到 2 X 5 1 3 X 3 1 的正 因数有 2 3 3 3 5 4 个 于是 符合条件的 Y 有 5 4组 从而 符合条件的三角形有 5 4个 1 5 考虑 m 1 时的集合 1 2 1 0 0 的 6 7 元子集 其元素为偶数及被 3 整除的奇 数 即 P 2 4 1 0 0 3 9 9 9 显然 集合 P中不存在三个两两互素的 元素 于是 n 6 7不符合要求 下面证明 n 6 8 符合要求 先证明一个引理 引理对任意的正整数 集合 m 1 5 的任意五元子集中 总有三个元素两两互素 证明 设 4为集合 m 1 m 5 的一个五元子集 注意到 m m 1 m 5这六个数三 奇三偶 且恰有一个为 5的倍数 于是 若集合 A中含有三个奇数 则这三 个奇数必两两互素 结论成立 若集合 中元素为两奇三偶 由于三个 偶数中至多有一个为 3的倍数 至多有一个 为 5的倍数 因此 三个偶数中必有一个数既 不为 3的倍数 也不为 5的倍数 它与两个奇 数两两互素 结论成立 回到原题 对任意的正整数 m 将集合 m 1 m 9 9 划分成如下 1 7个集合 A m 6 i 一1 l 0 1 5 i 1 2 l 6 A 1 7 m 9 6 m 9 7 m 9 8 m 9 9 设 为集合 m m 1 m 9 9 的 6 8 元子集 1 若集合 有四个元素来 自集合 由于 m为奇数时 m 9 6 m 9 7 m 9 8两 两互素 m为偶数 时 m 9 7 m 9 8 m 9 9 两两互素 因此 集合 M 中至少有三个元素 两两互 素 2 若集合 至多有三个元素来 自集合 则集合 至少有 6 5 个元素来 自集合 2 1 6 根据抽屉原理 知集合