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第二章 有理数及其运算1数怎么不够用了【知识梳理】像5，1.2，500，这样的数叫做 正数，它们比0大在正数前面加上“-”号的数叫做 负数，如-10，-3，-，-0.3145，它们比0小0既不是正数，也不是负数为了突出数的符号，也可以在正数前面加“+”号，如+5，+1.2，+，+500，有了正数和负数就可以表示相反意义的量了：3、有理数的概念：引进了负数，我们学过的数可以分为：和整数和分数统称为 有理数4、有理数的分类可有两种方式：（1）（2）注意，0是一个特别的数，它既不是正数，也不是负数，它是一个整数，也是我们在分类时很容易漏掉的数，在学习这节时要特别注意5、到现在为止，我们学过的数有：正整数（也叫自然数），如1，2，3，； 零，0； 负整数，如1，2，3，； 正分数，如12，5.3，23，; 负分数，如12，3.6，67，。 正整数、0、负整数统称整数，正分数、负分数统称分数。 整数和分数统称有理数。 重点：正负数的意义，有理数的分类。 难点：正、负数的意义以及在表示相反意义的量中的应用。例1、下面两题是有关“正”和“负”的概念，怎样表示出来。（1）在收入和支出两项目中，若把收入定为正的，那么元表示什么？（2）在前进和后退的军训操练中，若把后退定为负的，那么米表示什么？解：（1）元表示支出160元。 （2）米表示前进102米。例2、如果把向北的方向规定为正，那么走3.5千米，走-1.2千米，走0千米的意义各是什么？分析：规定“向北”的方向为正，那么“向南”的方向就为负；解：(1)走3.5千米就是向北走3.5千米；走-1.2千米就是向南走1.2千米；走0千米意即原地未动例3、把下列各数分别填在相应的表示集合的圈里分析：自然数包括正整数和0，非正数的集合包含负数和零应注意有限小数和无限循环小数都可以写成分数的形式，都是有理数一、 选择题：1、下面说法中正确的是 （）A“向东5米”与“向西10米”不是相反意义的量； B如果汽球上升25米记作+25米，那么-15米的意义就是下降-15米；C如果气温下降6记作-6，那么+8的意义就是零上8；D若将高1米设为标准0，高1.20米记作+0.20米，那么-0.05米所表示的高是0.95米2、0是（ ）A. 正数 B. 负数 C. 整数 D. 正有理数3、 下列说法中正确的是（ ）A. 整数又叫自然数B. 0是整数 C. 一个数不是正数就是负数D. 0不是自然数4、下面说法中，不正确的是 （）A在有理数中，零的意义仅表示没有；B0不是正数，也不是负数，但是有理数；C0是最小的整数；D0不是偶数二、 填空题：1、用正数或负数表示下列各题中的数量：(1)如果火车向东开出400千米记作+400千米，那么火车向西开出4000千米，记作_；(2)球赛时，如果胜2局记作+2，那么-2表示_；(3)若-4万表示亏损4万元，那么盈余3万元记作_；(4)+150米表示高出海平面150米，低于海平面200米应记作_；2、最小的自然数是 ，最大的负整数是 ，最小的非负整数是 。3. 将下列各数分别填入相应的大括号里：5，2003，6.8，0，。正数集合 整数集合 负数集合 分数集合 4. 不用负数，请讲出下列各题的意义。（1）某公司在2003年上半年营销情况是万元。（2）向西走了米。 （3）运走吨大米。三、 解答题：1、 把下列各数分别填在题后相应的集合中：，0，0.73，2，+28。（1）正数集合： （2）负数集合：（3）整数集合： （4）分数集合：（5）正整数集合： （6）负整数集合：（7）正分数集合：2、某地一天中午12时的气温是6C，傍晚5时的气温比中午12时下降了4C，凌晨4时的温度比傍晚5时还低4C，问傍晚5时的气温是多少？凌晨4时的气温是多少？2.2 数轴 【知识梳理】1、数轴的定义:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴.原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素。2、数轴的用处：在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大.，所以结合数轴，可以比较两个数的大小。在画数轴时，标注数就是按照数的大小顺序进行的，所以根据正负数在数轴上的位置，可以归纳有理数大小比较的规律：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。5和-5，和这样的两个数只有符号不同，像这样的两个数是相反数一般地，如果两个数只有符号不同，那么我们就说其中一个是另一个的相反数，也说这两个数互为相反数我们也特别规定，0的相反数是0互为相反数的两个数在数轴上的位置是在原点的两侧，且到原点的距离相等我们也说，数轴上表示互为相反数的两个数的点关于原点对称注意，相反数是成对的，不能说单独的一个数是相反数，只能说一个数是另一个数的相反数重点：数轴的画法，用数轴上的点表示有理数，互为相反数的概念，用数轴比较数的大小。难点：数轴的画法，相反数的理解。例1、把下列各数用数轴上的点表示出来，并用“”号把它们连接起来：6，0， 4 。解：例2 指出下列数轴上A、B、C、D、E、各点分别表示的是什么数，并指出各数的相反数。一、 选择题：1、下列说法正确的是（ ）A. 的相反数是5 B. 是相反数 C. 和是相反数D. 和是相反数2、下列图中为数轴是（ ）A. B. C. D. 3、若一个数的相反数是非负数，则这个数一定是（）A、负数B、正数C、非负数D、非正数4、数轴上与原点距离为3的点表示的是（）A、3B、3C、3D、65、A、B、C三点在数轴上的位置如图所示，则它们分别表示a、b、c是（）A、a、b、c都表示正数B、a、b、c都表示负数C、a、b表示正数，c表示负数D、a、b表示负数，c表示正数。二、 填空题：1、数轴上原点左边的点表示 数，原点右边的点表示 数， 点表示02、比5小的正整数有 ；比5大的负整数有 3、的相反数是 ； 的相反数是04、用“”、“a0c Bab0c Cba0c Dabc06比较2，0，0.02的大小，正确的是（ ）A200.02 B-200.02 C-20.020 D0-20.027数轴上表示3的点在原点_侧，距原点的距离是_；7.3在原点的_侧，距原点的距离是_。8若一点P在数轴上且到原点的距离为2，则点P表示的数是_。93的相反数是_；_的相反数是1.2；1与_互为相反数。10若a3.2，则a_；若a，则a_；若a1，则a_；若a2，则a_。11不大于4的非负整数有_；不小于3的负整数有_。12如图，一只蚂蚁从原点O出发，它先向右爬了2个单位长度到达点A，再向右爬了3个单位长度到达点B，然后向左爬了9个单位长度到达点C。（1）写出A，B，C三点表示的数；（2）根据C点在数轴上的位置回答蚂蚁实际上是从原点出发，向什么方向爬行了几个单位长度？13画一条数轴，然后在数轴上画出表示下列各数的点；并比较大小。 1，2，3，2.7，1，3，014数轴上A，B两点分别表示和，这两点间的点表示的有理数能有多少个？试写出其中五个。15已知有理数a，b，c如图数轴所示，试比较a，a，b，b，c，c，0的大小，并用符号“m1,则m_1. 若|x|=|4|,则x=_.若|x|=|,则x=_.二、选择题1.|x|=2,则这个数是（ ）A.2B.2和2 C.2D.以上都错2.|a|=a，则a一定是（ ）A.负数B.正数 C.非正数 D.非负数3.一个数在数轴上对应点到原点的距离为m，则这个数为（ ）A.mB.m C.mD.2m4.如果一个数的绝对值等于这个数的相反数，那么这个数是（ ）A.正数B.负数 C.正数、零D.负数、零5.下列说法中，正确的是（ ）A.一个有理数的绝对值不小于它自身 B.若两个有理数的绝对值相等，则这两个数相等C.若两个有理数的绝对值相等，则这两个数互为相反数 D.a的绝对值等于a三、判断题1.若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等.（ ）2.若两个数相等，则这两个数的绝对值也相等.（ ）3.若xy0,则|x|y|.（ ）四、解答题1.若|x2|+|y+3|+|z5|=0计算: （1）x,y,z的值. （2）求|x|+|y|+|z|的值.2.若2ab，则ab0（）三、 计算题1、（1）(1)57；(2)(5)(5) （3）（23）（1）（4）882、（36）（25）（+36） 3、3015（15）（7）4、5、6、（3）84四、 解答题：1、 北京某日早晨气温是零下2C，中午上升了8C，半夜又下降了6C，半夜时气温是多少？2、有八箱苹果，每箱质量如下（单位：千克）：25,24,26，23,25,27,26，28.你能较快的算出它的总质量吗？2.6 有理数的加减混合运算1、如何进行有理数的加减混合运算？方法一、只要先把减法都化为加法，再按加法的法则来计算就可以了方法二、我们还可以将上述计算写成省略括号和加号的形式， “6+79+3”可以读作“6、+7、9、+3的和”，也可以读作“6加7减9加3”由以上两种方法可以看出方法二中的算法比方法一中的步骤更简洁，符号变少，更不容易犯错2、进行有理数加减混合运算应该注意什么？直接运用交换律时，需注意将这个数及数前面的符号一起移动例1 计算：例2、 计算（1）； （2）例3、某气象员为了掌握一周内天气的变化情况，测量了一周内的气温下表是一周内气温变化情况(用正数表示比前一日上升数，用负数记下降数字)星期一二三四五六日气温度化/21242.510.5试分析这个星期气温的总体变化情况解：2(1)(2)4(2.5)10.52()答：这星期气温上升了21、计算：（1）59+3； （2）1017+8； （3）34+1911；（4）8+1216232计算：(1)-4.2+5.7-8.4+10； (2)6.1-3.7-4.9+1.8；3计算：（1）（36）（25）（+36）+（+72）； （2）（8）（3）+（+5）（+9）；（3）；（4）9+（3）+3；4计算：（1）12（18）+（7）15； （2）4028（19）+（24）（32）；（3）4.7（8.9）7.5+（6） 2.8 有理数的乘法1、有理数的乘法法则：两个有理数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘任何数与0相乘，积仍为02、几个有理数相乘，如何确定结果的符号？记住：几个有理数相乘，因数都不为0时，若负数有奇数个，结果为负；若有偶数个负数，结果为正若因数中有0，结果为03、有理数的乘法运算律：原来在小学学的乘法加换律、结合律、分配律仍然成立。4、倒数(1)定义：乘积为1的两个有理数互为倒数即：ab1a、b互为倒数(2)倒数是它本身的数有：1和1 (3)0的倒数：0没有倒数 (4)互为倒数的两个数的特征乘积为1符号相同例1 计算：（1）；（2）；（3）（4）（24）0例2、(1)()() (2)()48例3、如果a，b满足，则下列式子正确的是（ ）A. B. C. 当，时，D. 当，时，一、填空题：1. 若，且，则 0。 2. 若，且a、b异号，则 。3. 当n是奇数时， 。 4. 计算 。5. 绝对值小于8的所有的整数的和是 。 6. 的相反数是 ，倒数是 。7. 的倒数的相反数是 。 8. 的相反数是 ，倒数是 。二. 选择题：1. 下列说法正确的是（ ）A. 两个数的积大于每一个因数 B. 两个有理数的积的绝对值等于这两个数的绝对值的积C. 两个数的积是0，则这两个数都是0 D. 一个数与它的相反数的积是负数2. 两个有理数的积是负数，和为零，则这两个有理数（ ）A. 一个为零，另一个为正数 B. 一个为正数，另一个为负数 C. 一个为零，另一个为负数 D. 互为相反数3. 一个数的倒数是它本身，则这个数是（ ） A. 1 B. C. 0 D. 4. 若，则的值是（ ） A. 1 B. C. 0 D. 不能确定5. 下列说法错误的是（ ）A. 有理数m的倒数是 B. 两个数互为倒数，则这两个数的积是1C. 两个数互为负倒数，则这两个数的积是 D. 0乘以任何数都等于0.三. 解答题：1. 计算：（1）（+14）（6）；（2）（12）（）；（3）2；（4）（2）（7）（+5）；（5）（6）（12）（15）0（）；（7）（125）28.8（）（）（8）2、计算：（1）（6）（+8）（5）（9）； （2）（3） （4）（810.4+3）；（5）2.9 有理数的除法1、有理数除法法则：两个有理数相除，同号得正，异号得负，绝对值相除0除以任何非0的数都得0 （注意：0不能作除数）2、除法的法则也可以这样说，除以一个数，就等于乘以这个数的倒数 （注意：0没有倒数，即0不能作除数）3、如何求一个数的倒数互为倒数的两个数乘积为1，所以知道其中一个数，求它的倒数就用1除以这个数即可4几个非0的有理数相除，商的符号由负数的个数决定：例1、 计算：（1）42（6）；（2）例2、求下列各数的倒数，并用“”连接，2，|，3，1例3、计算：(5)(7)(15)例4、计算：72(8)(12)一、填空题：1、2的倒数是；0.2的倒数是，负倒数是。2. 被除数是，除数是的倒数，则商是 。3. 若，则a 0。 4. 若，则b 0。5、一个数的相反数是5，则这个数的倒数是。 6、若a（5），则a。二、解答题：（1）（0.1）10； （2）（2）（）； （3）（2.5）（4）（10）（8）（0. 25）； （5） （6）0（5）100；（7）3.5（；（8）2.10 有理数的乘方【知识梳理】1乘方的有关概念(1)求n个相同因数a的积的运算叫乘方，乘方的结果叫幂a叫底数，n叫指数，an读作：a的n次幂(a的n次方)(2)乘方的意义：an表示n个a相乘(3)写法的注意：当底数是负数或分数时，底数一定要打括号，不然意义就全变了如：()2()()，表示两个相乘而，表示2个2相乘的积除以3的相反数2an与an的区别3乘方运算的符号规律(1)正数的任何次幂都是正数 (2)负数的奇次幂是负数(3)负数的偶次幂是正数 (4)0的奇数次幂，偶次幂都是0所以，任何数的偶次幂都是正数或04乘方如何运算？乘方运算就是根据乘方的意义把它转化为乘法进行计算 如：33333275. 把一个大于 10 的数记成 a10 的形式，其中 a 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫做科学记数法。 注意:一个数的科学记数法中，10 的指数比原数的整数位数少 1，如原数有 8 位整数，指数就是7。例1、 计算：（1）35；（2）(2)4；（3）24；（4）(4)2（5）352例2、计算：（1）323（2）（23）3 (3)(-32)3注意：运算顺序是：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号的，要先算括号里面的。例3、有一张厚度是01毫米的纸，将它对折1次后，厚度为201毫米(1)对折2次后，厚度多少毫米？ (2)对折20次后，厚度为多少毫米？分析：要求每次对折后纸的厚度，应先求出每次折叠后纸的层数，再用每张纸的厚度纸的层数即可纸的对折次数与纸的层数关系如下：对折次数123420纸的层数2122242382416220解：(1)012204(毫米)(2)22001毫米说明：此题的关键是将纸的层数化为幂的形式，找出这些事与对折次数的对应关系一、填空题：（1）一个数的平方等于36，则这个数为 （2）一个数的平方等于它本身，这个数是 （3）一个数的立方等于它本身，这个数是 （4）23 (2)3(填“”、“”或“0,b3,则_.二、选择题16. 下列说法中,正确的是( )(A)相反数等于它本身的有理数只有0; (B)倒数等于它本身的有理数只有1(C)绝对值等于它本身的有理数只有0; (D)平方结果等于它本身的有理数只有117. 下列式子正确的是( )(A) (B) (C)(D) 8607000保留三个有效数字的近似数是867.18. 把78536000经四舍五入保留三个有效数字可写成( )(A) (B)78500000 (C)78600000 (D) 19. 把0.082457表示成四个有效数字的近似数是( )(A) 0.08246 (B) 0.082 (C) 0.0824 (D)0.082520. 张玲身高h,由四舍五入后得到的近似数为1.5米,正确表示h的值是( )(A) h=1.43米 (B) h=1.56米 (C)1.41 h 1.51 (D) 1.41 h 1.5521. 已知则边长为51.4 cm的正方形面积 ( 保留两个有效数字 )为( )(A)2600 (B)2642 (C) 2.6103 (D)2.4610322. 若a+b0,且ab0,b0 (B)a,b异号,且负数的绝对值较大 (C)a,b异号 (D) a0,b0三、用简便方法计算1、 2、 3、4、 5、6、7、 8、9、 10、11、 12、13、五、解答下列各题23. 某物的30%与-3的和是-3的倒数,求某数.24. 用代数式表示a 、b两数的差的平方除以a 、b两数平方差的商,并求当a =3，b=5时代数式的值.25. 已知x的倒数为5,y的相反数为2,求代数式(4x2+2x+)y2的值.26. 若|3x+1|与(y+1)2是互为相反数,求:xy的值 ，的值。六、利用计算器计算：27. 用代数式表示如图中阴影部分的面积，当a、b分别为0.38米与0.16米时,面积是?(取3.14,结果保留两个有效数字已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，求代数式|a|-|a+b|+|c-a|+|b-c|的值。 28. 若m和n是不为零的互为相反数,x和y互为倒数,c的绝对值是2,求(xy - )5+(c4)-( )100(m+n)10的值.有理数混合运算习题一、填空题1.如果提高10分表示+10分，那么下降8分表示_，不升不降用_表示.2. n为正整数，则（1）2n=_,(1) 2n+1=_.3. 大于5.1的所有负整数为_.4.某地气象站测得某天的四个时刻气温