经济数学—微积分(函数的知识点及结论).doc

集合与简易逻辑一、集合：1、知识点归纳 定义：一组对象的全体形成一个集合特征：确定性、互异性、无序性表示法：列举法1,2,3,、描述法x|P韦恩图分类：有限集、无限集 、空集数集：自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、正整数集N、空集关系：属于、不属于、包含于(或)、真包含于、集合相等运算：交运算ABx|xA且xB；并运算ABx|xA或xB;补运算x|xA且xU，U为全集性质：AA； A； 若AB，BC，则AC；AAAAA； A；AA；ABAABBAB；ACA； ACAI；C ( CA)A；C (AB)(CA)(CB)方法： 数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决2、注意： 区别与、与、a与a、与、(1,2)与1,2； AB时，A有两种情况：A与A若集合A中有n个元素，则集合A的所有不同的子集个数为，所有真子集的个数是-1, 所有非空真子集的个数是空集是指不含任何元素的集合、和的区别；0与三者间的关系空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集条件为，在讨论的时候不要遗忘了的情况理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是函数值的取值？还是曲线上的点？可用列举法、数形结合等方法来理解集合中元素的意义海伦凯勒：“当一个人感觉到有高飞的冲动时，他将再也不会满足于在地上爬。”二、含绝对值的不等式及一元二次不等式知识点归纳 1绝对值不等式不等式的解集是;不等式的解集是不等式ax+b0的解集为 ;不等式ax+bc c0的解集为 两边都为非负数（或式）时，可两边平方含有多个绝对值不等式时，可用零点分段法含有两个绝对值的不等式可用几何意义解决。2分式不等式主要是转化为等价的一元一次、一元二次或者高次不等式来处理。注意分母不为零的情况。3高次不等式主要利用“序轴标根法”解奇穿偶不穿4利用函数的图象或单调性5一元二次不等式的解法步骤方程的根函数草图观察得解，对于a0情况解决注意：含参数的不等式axbxc0恒成立问题含参不等式axbxc0的解集是R；其解答分a0(验证bxc0是否恒成立)、a0三种情况不等式的无解有解恒成立问题：af(x) 恒成立 af(x) 恒成立 af(x)max 另：二次方程实数根的分布问题： 设实系数一元二次方程的两根为实根的正负问题：a0两个正根，则需满足，两个负根，则需满足，一正根和一负根，则需满足则：此外根的分布以a0为例根的情况只需条件根的情况只需条件三、简易逻辑1、知识点归纳 命题 可以判断真假的语句； 逻辑联结词 或、且、非； 简单命题 不含逻辑联结词的命题； 复合命题 由简单命题与逻辑联结词构成的命题 三种形式 p或q、p且q、非p真假判断 p或q，同假为假，否则为真；p且q，同真为真, 否则为假；非p，真假相反四种命题：原命题 若p则q；逆命题 若q则p；否命题 若p则q；逆否命题 若q则p；三种关系：互为逆命题，互为否命题，互为逆否关系命题，互为逆否的两个命题是等价的 反证法步骤 假设结论不成立推出矛盾假设不成立矛盾的来源：1、与原命题的条件矛盾；2、导出与假设相矛盾的命题；3、导出一个恒假命题。反证法适用与待证命题：当证明“若，则”感到困难时，改证它的等价命题“若则”成立，适用与待证命题的结论涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等字眼时。充要条件 条件p成立结论q成立，则称条件p是结论q的充分条件，结论q成立条件p成立，则称条件p是结论q的必要条件，条件p成立结论q成立，则称条件p是结论q的充要条件， 要求： 1当判断一个命题的真假有困难时，可转化为其等价命题（如逆否命题）来判断真假2判断复合的真假关键是对“或”的正确理解正面词语等于大于小于否定不等于小于或等于大于或等于正面词语是都是且否定不是不都是或注意：“非P”和“P的否命题”是不同的，“非P”只否定命题的结论，“P的否命题”则是分别否定命题的条件和结论；如P：两直线平行内错角相等，“非P”：两直线平行内错角不相等，“P的否命题”：两直线不平行内错角不相等。3对于一个给定的命题：（1）若原命题正确，而逆命题不正确，则原命题的条件是结论的充分不必要条件；（2）若原命题不正确，而逆命题正确，则原命题的条件是结论的必要不充分条件（3）若原命题正确，而逆命题正确，则原命题的条件是结论的充要条件，此时原命题的结论也是条件的充要条件（4）若原命题不正确，而逆命题不正确，则原命题的条件是结论的既不充分又不必要条件证明p是q的充要条件：充分性，把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q 必要性，把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p证明命题的充要关系有三种方法：定义法等价命题法利用集合间的包含关系若AB，则A是B的充分条件或B是A的必要条件，若 A=B则A是B的充要条件四、函数1、函数的概念主要知识：对应、映射、象和原象、函数的定义；函数的三要素及表示法主要方法：对映射有两个关键点：一是有象，二是象惟一，缺一不可；对函数三要素及其之间的关系给以深刻理解，这是处理函数问题的关键；理解函数和映射的关系，函数式和方程式的关系二、函数的解析式及定义域（一）主要知识：1函数解析式的求解；2函数定义域的求解（二）主要方法：1求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；（2）已知求或已知求：换元法、配凑法；（3）已知函数图像，求函数解析式；（4）满足某个等式，这个等式除外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；（5）应用函数性质如单调性、奇偶性、周期性等（6）赋值法（7）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等2求函数定义域一般有三类问题：（1）给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；（2）实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义；（3）已知的定义域求的定义域或已知的定义域求的定义域：掌握基本初等函数（尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数）的定义域；若已知的定义域，其复合函数的定义域应由解出三、函数的值域（一）主要知识：1函数的值域的定义；2确定函数的值域的原则；3求函数的值域的方法（二）主要方法： 求函数的值域的方法常用的有：直接法，配方法，转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：的形式；判别式法，分子分母形如二次三项式且自变量的取值为R换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，形如的用三角换元有界法：如转化为只含、等，运用函数有界性来求值域；基本不等式法：转化成型如：，利用均值不等式公式来求值域；分离常数法 单调性、奇偶性法：函数为单调性、奇偶性函数，可根据函数的单调性、奇偶性求值域。数形结合：根据函数的几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；利用数型结合的方法来求值域导数法；函数的最值 （一）主要知识：1函数最值的意义； 2求函数最值的常用方法：（1）配方法：主要适用于可化为二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的范围；（2）判别式法：主要适用于可化为关于的二次方程的函数在由及二次项系数不为零，求出的值后，要检验这个最值在定义域内是否有相应的的值；（3）不等式法：利用基本不等式求最值时一定要注意应用的条件；（4）换元法有代数换元和三角换元：用换元法时一定要注意新变元的取值范围；（5）数形结合法：对于图形较容易画出的函数的最值问题可借助图象直观求出；（6）利用函数的单调性：要注意函数的单调性对函数最值的影响，特别是闭区间上函数的最值（7）有界法（8）分离常数法（9）导数（二）主要方法：1函数的最值问题实质上是函数的值域问题，因此求函数值域的方法，也是求函数的值域的方法，只是答题的方式有所差异； 2无论用什么方法求最值，都要考查“等号”是否成立，不等式法及判别式法尤其如此五、函数的奇偶性 （一）主要知识： 1函数的奇偶性的定义； 2性质：奇偶函数定义域关于原点对称；偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于原点对称；为偶函数若奇函数f(x)的定义域包含0，则f(0)=0函数是奇函数又是偶函数=0设f(x)，g(x)的定义域分别是D1D2，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶 偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇（二）主要方法：1定义法：判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响；判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：， 2图象法牢记奇偶函数的图象特征，有助于判断函数的奇偶性；3性质法六、函数的单调性 （一）主要知识： 1函数单调性的定义； 2判断函数的单调性的方法；求函数的单调区间； 3复合函数单调性的判断（二）主要方法：1讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集； 2判断函数的单调性的方法有：（1）用定义（作差（商），变形，判断，下结论；（2）用已知函数（包括复合函数）的单调性；（3）利用函数的导数若在某个区间A内有导数，则如果，则f(x)在A内为增函数；如果，则在A内为减函数.（4）图象3求单调区间方法：定义法图象法导数法 步骤：（1）求函数的定义域（2）求函数的导数（3）令f(x)0以及f(x)10a0时，y1;x0时，0y0时，0y1;x1.（5）在 R上是增函数（5）在R上是减函数对数函数（一）主要知识：1对数函数的概念、图象和性质； 2同底的指数函数与对数函数互为反函数；（二）主要方法：1解决与对数函数有关的问题，要特别重视定义域； 2指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于1还是小于1，要注意对底数的讨论；.3比较几个数的大小的常用方法有：以和为桥梁；利用函数的单调性；作差，对数恒等式4对数的运算法则如果有5对数换底公式：( a 0 ,a 1 ，m 0 ,m 1,N0) 6两个常用的推论:， （ a, b 0且均不为1）7注意：取对数法的应用十函数零点的求法：直接法（求的根）；图象法；二分法.(4)零点定理：若y=f(x)在a,b上满足f(a)f(b)0 , 则y=f(x)在（a,b)内至少有一个零点。十一导数 导数