解析几何与平面向量.doc

专题测试解析几何与平面向量近几年平面向量与解析几何交汇试题考查方向为：（1）考查学生对平面向量的概念、加减运算、坐标运算、数量积及学生对平面向量知识的简单运用，如向量共线、垂直、定比分点. （2）考查学生把向量作为工具的运用能力，如求轨迹方程，圆锥曲线的定义，标准方程和几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系.向量具有代数与几何形式的双重身份，故它是联系多项知识的媒介，成为中学数学知识的一个交汇点，数学高考重视能力立意，在知识网络的交汇点上设计试题，因此，解析几何与平面向量的融合交汇是今后高考命题改革的发展方向和创新的必然趋势. 要注意以平面向量作为工具，综合处理有关长度、角度、共线、平行、垂直射影等问题以及圆锥曲线中的轨迹、范围、最值、定值对称等典型问题.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分. 满分为150分，考试时间为120分钟.第卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1将椭圆x2+6y2-2x-12y-13=0按向量a平移，使中心与原点重合，则a的坐标是（ ）A（-1，1） B（1，-1） C（-1，-1） D（1，1）2平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1），B（-1，3），若点C满足，其中、R，且+=1，则点C的轨迹方程为（ ）A3x+2y-11=0 B(x-1)2+(y-2)2=5C2x-y=0 Dx+2y-5=03（理）某抛物线形拱桥的跨度是20m，拱高是4m，在建桥时每隔4m需用一柱支撑，其中最长的支柱是（ ）A4m B3.84m C1.48m D2.92m（文）一抛物线型拱桥，当水面离桥顶2m时，水面宽4m，若水面下降1m时，则水面宽为（ ）Am B2m C4.5m D9m4已知P是以F1、F2为焦点的椭圆（ab0）上一点，若，tanPF1F2=，则椭圆的离心率为（ ）A B C D5在ABC中，则ABC的面积最大值为（ ）A B C D6从坐标原点O引圆(x-m)2+(y-2)2=m2+1的切线y=kx，当m变化时，则切点P的轨迹方程为（ ）Ax2-y2=3 Bx2+y2=3Cx2+y2=5 Dx+y=57若直线l：ax+y+2=0与连结点A（-2，3）和点B（3，2）的线段有公共点，则a的取值范围为（ ）A BC D8已知直线y=(a+1)x-1与曲线y2=ax恰有一个公共点，则实数a的值为（ ）Aa=0或-1 B-1或Ca=0或 Da=0或-1或9已知向量（2，0），（2，2），=（cos，sin），则向量 与的夹角范围为（ ）A BC D10（理）已知椭圆，则其内接三角形面积的最大值为（ ）A B C D12（文）过点A（1，-1），B（-1，1），且圆心在直线上的圆方程是A BC D11M是抛物线上一点，N是圆上的动点，则|MN|的最小值是（ ）A B C D12已知曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）A B C D第卷（非选择题） 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上.13已知双曲线的右准线为x=4，右焦点F（10，0），离心率e=2，则双曲线方程为 .14已知向量a=(2cos，2sin)，b=(3cos，3sin)，其向量a与b的夹角为60，则直线与圆的位置关系是 .15一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是. 在杯内放入一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃的半径r的范围为 .16设，M是双曲线上位于第一象限的点，对于命题；以线段MP1为直径的圆与圆相切；存在常数b，使得M到直线的距离等于. 其中所有正确命题的序号是 .三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（本小题满分10分）如图，四边形MNPQ是C的内接梯形，C是圆心，C在MN上，向量与的夹角为120，（1）求C的方程；（2）求以M、N为焦点且过点P、Q的椭圆的方程.18（本小题满分12分）已知椭圆中心在原点，焦点在y轴上，焦距为4. 离心率为.（1）求椭圆方程；（2）设椭圆在y轴正半轴上的焦点为M，又点A和点B在椭圆上，且M分有向线段所成的比为2，求线段AB所在直线的方程.19（本小题满分12分）（理）已知有三个居民小区A、B、C构成ABC，AB=700m、BC=800m、AC=300m. 现计划在与A、B、C三个小区距离相等处建造一个工厂，为不影响小区居民的正常生活和休息，需在厂房的四周安装隔音窗或建造隔音墙. 据测算，从厂房发出的噪音是85分贝，而维持居民正常生活和休息时的噪音不得超过50分贝.每安装一道隔音窗噪音降低3分贝，成本3万元，隔音窗不能超过3道；每建造一堵隔音墙噪音降低15分贝，成本10万元；距离厂房平均每25m噪音均匀降低1分贝.（1）求C的大小；（2）求加工厂与小区A的距离. （精确到1m）；（3）为了不影响小区居民的正常生活和休息且花费成本最低，需要安装几道隔音窗，建造几堵隔音墙？（计算时厂房和小区的大小忽略不计）（文）根据我国汽车制造的现实情况，一般卡车高3m，宽1.6m. 现要设计横断面为抛物线型的双向二车道的公路隧道，为保障双向行驶安全，交通管理条例规定汽进入隧道后必须保持距离中线0.4m的距离行驶. 已知拱口AB宽恰好是拱高OC的4倍，若拱宽为a m.求能使卡车安全通过的a的最小整数值.20（本小题满分12分）如图，已知椭圆，经过椭圆C的右焦点F且斜率为k（k0）的直线l交椭圆C于A、B两点，M为线段AB的中点，设O为椭圆的中心，射线OM交椭圆于N点.（1）是否存在k，使对任意m0，总有成立？若存在，求出所有k的值；（2）若，求实数k的取值范围.21（本小题满分12分）（理）设抛物线的焦点为F，准线与x轴交点为Q，过Q点的直线l交抛物线于A、B两点.（1）直线l的斜率为，求证：.（2）设直线FA、FB的斜率为、探究与之间的关系并说明理由.（文）若F1，F2为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，P在双曲线左支上，M在右准线上，且满足（1）求此双曲线的离心率；（2）若此双曲线过点，求双曲线的方程；（3）B1，B2（B1在y轴的正半轴上），过B2作直线AB与双曲线交于A，B两点，求时，直线的方程.22（本小题满分12分）如图，过抛物线的对称轴上一点P（0，m）(m0)作直线l与抛物线交于A(x1，y1),B(x2，y2)两点，点Q是P关于原点的对称点，以P、Q为焦点的椭圆为C2.（1）求证：x1x2=-4m；（2）若l的方程为x-2y+4=0，且C1、C2以及直线l有公共点，求C2的方程；（3）设P分有向线段所成的比为，若，求证：.参考答案1C 椭圆方程变形为. 需按a=(-1，-1)平移，中心与原点重合.2D C点满足且，A、B、C三点共线. C点的轨迹是直线AB.3（理）B 建立适当的直角坐标系，设抛物线方程为，由题意知其过定点（10，-4），代入，得. . 当x0=2时，最长支柱长为（m）.（文）B 建立适当的直坐标系，设抛物线方程为，由题意知，抛物线过点（2，-2），. p=1. . 当时，得. 水面宽为（m）.4D 设c为椭圆半焦距，又tan， ，解得：. 选D.5A ，又，. 故ABC的面积（当且仅当=2时取等号）.ABC的面积的最大值是，故选A.6B 根据题意画出示意图，设圆心为C，切点P的坐标为P(x，y)，则发现图中隐含条件.，故点P的轨迹方程为7C 由方程可知直线恒过定点C(0，-2)，又A(-2，3)，B(3，2)，如图连结AC、BC，则，故直线l的斜率应满足，即或8D 联立方程，（1）当a=0时，此方程组恰有一组解. （2）当时，消去x得，若，即a=-1时，方程变为一元一次方程. 此时方程组恰有一组解，若，即时，令，解之得. 此时直线与曲线相切，只有一个公共点. 综上所述，当时，直线与曲线只有一个公共点.9D ，B（2，0），C（2，2）， 点A的轨迹是以C（2，2）为圆心，为半径的圆. 过原点O作此圆的切线，切点分别为M，N，连结CM、CN（MOB3通过解不等式，结合问题的实际意义和要求得到a的值，值得注意的是这种思路在与最佳方案有关的应用题中是常用的.20（1）椭圆，即c=m.F(m，0)，直线，即，设，则，设，则.若存在k，使，M为ON的中点，即N点坐标为，由N点在椭圆上，则，即，（舍去），故存在.（2）由，得，即思路点拨 本题考查了直线和椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系以及向量的运算和不等式、方程的知识，考查了数形结合的思想方法和方程的思想方法. 解（1）时关键在对M点的使用，从而建立O、N两点与A、B两点的关系，解（2）时要注意分离变量及消元的思想方法.命题动向 本题借用平面向量的语言叙述解析几何的背景，利用平面向量的知识将问题（1）得到简捷的解题途径，这些正是体现考试大纲所强调“在知识网络汇设计试题”的命题要求. 问题（2）是一道探索性的开放题目，这类以向量为背景的解析几何题目是每年高考的热点问题，体现了考试大纲对能力的要示，因此我们必须熟悉掌握解答这类题目的方法技巧（利用平行、垂直、点乘或点与直线的关系等）.21（理）（1），直线l的方程为：，由消去x得：，解得：，而.故，.（2）.因直线l与抛物线交于A、B两点，故直线l方程：，由消去x得，设，则，.命题动向 本题考查了抛物线的方程和性质、直线的方程、直线与抛物线的位置关系，考查运算能力、分析推理能力.（文）（1）由知四边形是平行四边形，又由知OP平分，四边形PF1OM上菱形，设焦半距为c，则有，由双曲线第二定义可知，e=2（e=-1舍去）.（2），又双曲线过点，即，所求双曲线的方程为（3）由题意知，则设直线AB的方程为，则由可得双曲线的渐近线为，当时，AB与双曲线只有一个交点，即，又，即，直线AB的方程为.方法探究 平面向量兼有代数和几何特性，是数学应用最广泛的数学工具之一，解析几何是高中数学的传统重点内容，是高考中的重头戏，而平面向量与解析几何交汇命题是近三年来新高考的一个新亮点. 这类综合问题大致可分三类：（1）平面向量与圆锥曲线符号层面上的整合问题：这类题目是平面向量和圆锥曲线的简单拼盘；（2）平面向量与圆锥曲线知识层面上的整合问题：用平面向量语言包装解析几何中元素的关系，试题情境新颖，结合点选取恰到好处，命题手法日趋成熟，如本例求解过程中，明确向量式“”与“”的含义，还原几何元素“菱形PF1OM”是求解关键；（3）平面向量与圆锥曲线应用层面上的整合问题：以平面向量作为工具，综合处理有关长度、角度、垂直、射影等问题以及