（江苏专用）高考数学大一轮复习 第九章 第51课 直线与平面的垂直要点导学.doc

【南方凤凰台】（江苏专用）2016届高考数学大一轮复习 第九章 第51课 直线与平面的垂直要点导学要点导学各个击破直线与平面垂直的判定(2014浙江卷)如图,在四棱锥a-bcde中,平面abc平面bcde,cde=bed=90,ab=cd=2,de=be=1,ac=.求证:de平面acd.(例1)思维引导要证de平面acd,可以首先证deac与dedc,然后利用线面垂直的判定定理证明,注意“线不在多,在于相交”.证明因为cde=bed=90,所以becd,又因为bcde,所以四边形bcde是直角梯形,所以bd=bc=.由ac=,ab=2,得ab2=ac2+bc2,即acbc.又因为平面abc平面bcde,从而ac平面bcde,所以acde.又因为dedc,acdc=c,所以de平面acd.如图,ab是圆o的直径,pa垂直圆o所在的平面,c是圆o上的点.求证:bc平面pac.(变式)证明由ab是圆o的直径,得acbc.由pa平面abc,bc平面abc,得pabc.又paac=a,pa平面pac,ac平面pac,所以bc平面pac.直线与平面垂直性质的应用如图,在四棱锥e-abcd中,底面abcd是矩形,abbc=1,o,f分别为cd,bc的中点,且eo平面abcd.求证:afef.(例2)思维引导在边长之比为1的矩形abcd中,要会寻求垂直关系.证明连接of,ao,设ab=2a,则bc=2a.因为四边形abcd为矩形,所以ao=3a.同理af=a,of=a.因为af2+of2=9a2=ao2,所以afo为直角三角形,所以afof.因为eo平面abcd,所以eoaf.因为ofoe=o,所以af平面oef,所以afef.如图,在四棱锥p-abcd中,pa底面abcd,bc=cd,acb=acd,求证:bd平面pac.(变式)证明因为bc=cd,即bcd为等腰三角形,又因为acb=acd,故bdac.因为pa底面abcd,bd平面abcd,所以pabd.因为paac=a,pa平面pac,ac平面pac,所以bd平面pac.【题组强化重点突破】1. 如图,在四棱锥p-abcd中,底面abcd为平行四边形,dab=60,ab=2ad,pd底面abcd.求证:pabd.(第1题)证明因为dab=60,ab=2ad,由余弦定理得bd=ad,从而bd2+ad2=ab2,故bdad.因为pd底面abcd,可得bdpd.又adpd=d,ad平面pad,pd平面pad,所以bd平面pad.又pa平面pad,故pabd.2. 如图,在四棱锥p-abcd中,底面abcd为矩形,pa底面abcd,m,n分别是ab,pc的中点.求证:mnab.(第2题)证明取cd的中点r,连接rn,rm.因为pa平面abcd,所以bapa.又baad,adpa=a,所以ba平面pad,所以bapd.因为n,r分别为cp,cd的中点,所以nrpd,所以banr.又abmr,mrnr=r,所以ab平面mnr,所以mnab.3. 如图,在四棱锥p-abcd中,底面abcd是矩形,侧棱pa底面abcd.e,f分别是ab,pc的中点,pa=ad.(第3题)(1) 求证:cdpd;(2) 求证:ef平面pcd.证明(1) 因为pa底面abcd,所以cdpa.在矩形abcd中,cdad,又adpa=a,所以cd平面pad,所以cdpd.(2) 取pd的中点g,连接ag,fg.因为g,f分别是pd,pc的中点,所以gfcd且gf=cd,所以gfae,所以四边形aefg是平行四边形,所以agef.因为pa=ad,g是pd的中点,所以agpd,所以efpd.因为cd平面pad,ag平面pad,所以cdag,所以efcd.因为pdcd=d,所以ef平面pcd.直线与平面垂直的探索问题如图,在四棱锥p-abcd中,pa平面abcd,ab=bc=2,ad=cd=,pa=,abc=120,g为线段pc上的点.(1) 求证:bd平面pac;(2) 若g满足pc平面bgd,求的值.(例3)思维引导(1) 易证bdpa,要借助abd=60与bac=30,说明bdac,即位置关系的判定要借助数量的运算关系.(2) 要求的值,即先分别求得pg,gc的值,这要借助勾股关系与方程思想.解答(1) 由ab=cb,ad=cd,bd=db得abdcbd,所以abd=cbd=60且bac=30,所以bdac.又因为pa平面abcd,bd平面abcd,所以bdpa.因为acpa=a,所以bd平面pac.(2) 由已知得pc=,因为pc平面bgd,gd平面bgd,所以pcgd.在pdc中,pd=,cd=,pc=.设pg=x,则cg=-x,所以10-x2=7-,解得x=,所以gc=,所以=.精要点评除常规的线面位置关系的判定与证明外,借助数量的运算关系来确定位置关系的题目也要适当了解与关注.数量运算主要还是体现在垂直上,即有勾股关系的适当介入.(2014南安模拟)如图,在四棱锥p-abcd中,底面abcd是正方形,pd平面abcd,pd=ab=2,e,f,g分别是pc,pd,bc的中点.在线段pb上确定一点q,使pc平面adq,并给出证明.(变式)解答当q为线段pb的中点时,pc平面adq.证明如下:如图,取pb的中点q,连接de,eq,aq,故eqbcad,所以adeq为平面四边形.由pd平面abcd,得adpd.又adcd,pdcd=d,所以ad平面pdc,所以adpc.又三角形pdc为等腰直角三角形,e为斜边中点,所以depc,又adde=d,所以pc平面adq.精要点评点或关系的存在性问题的探索是一种常见问题,这类问题可以先假设结论是成立的.若真成立,一般要严格证明;若不成立,则要结合反证法证明或举反例说明.如图(1),在三棱柱abc-a1b1c1中,已知ab=ac=2aa1,baa1=caa1=60,点d,e分别为ab,a1c的中点.(1) 求证:de平面bb1c1c;(2) 求证:bb1平面a1bc. 图(1) 图(2)(范题赏析)规范答题(1) 如图(2),取ac的中点m,连接dm,em.因为d为ab的中点,所以dmbc.因为dm平面bb1c1c,bc平面bb1c1c,所以dm平面bb1c1c.(3分)同理可证em平面bb1c1c.又dmem=m,所以平面dem平面bb1c1c.(5分)因为de平面dem,所以de平面bb1c1c.(7分)(2) 在aa1b中,设aa1=1,则ab=2.由余弦定理得a1b=,故a+a1b2=ab2,所以aa1a1b. (10分)同理可得aa1a1c.又a1ba1c=a1,所以aa1平面a1bc.(12分)因为aa1bb1,所以bb1平面a1bc.(14分)1. 若正方体abcd-a1b1c1d1的棱长为a,则三棱锥a-a1bd 的高为.答案a解析ac1平面a1bd,且三棱锥a-a1bd的高为ac1的三分之一.2. (2014上海模拟改编)如图,在四棱锥p- abcd中,底面四边形abcd是菱形,acbd=o, pac是等边三角形, pb=pd,求证:po底面abcd.(第2题)证明因为底面abcd是菱形,acbd=o,所以o为ac,bd的中点.又因为pac是等边三角形,pb=pd,所以poac,pobd,所以po底面abcd.3. (2014湖北模拟)如图,在四棱锥a-bcde中,底面bcde是等腰梯形,bcde,dcb=45,o是bc的中点,ao=,且bc=6,ad=ae=2cd=2.求证:ao平面bcd.(第3题)证明连接od,oe.在ocd中,oc=3,cd=,由余弦定理可得od=.因为ad=2,所以ao2+od2=ad2,所以aood.同理,aooe,又odoe=o,所以ao平面bcd.4. (2014珠海模拟)在边长为4cm的正方形abcd中,e,f分别为bc,cd的中点,m,n分别为ab,cf的中点,现沿ae,af,ef折叠,使b,c,d三点重