福建省安溪一中、德化一中高三数学上学期摸底试卷 理（含解析）.doc

福建省安溪一中、德化一中联考2015届高三上学期摸底数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中只有一项符合要求1（5分）已知i为虚数单位，则 （1i）2的值等于（）a22ib2+2ic2id2i2（5分）“sinx=1”是“cosx=0”的（）a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件3（5分）exdx的值等于（）aeb1ece1d（e1）4（5分）已知a，br+且a+b=1，则ab的最大值等于（）a1bcd5（5分）等差数列an的前n项和sn满足sn=n2，则其公差d等于（）a2b4c2d46（5分）某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）af（x）=sinxbf（x）=cosxcf（x）=df（x）=x27（5分）已知（x，y）满足，则k=的最大值等于（）abc1d8（5分）已知一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体中相互垂直的棱共有（）a3对b4对c5对d6对9（5分）已知f1，f2分别是双曲线c：的左右焦点，以f1f2为直径的圆与双曲线c在第二象限的交点为p，若双曲线的离心率为5，则cospf2f1等于（）abcd10（5分）将y=lnx的图象绕坐标原点o逆时针旋转角后第一次与y轴相切，则角满足的条件是（）aesin=cosbsin=ecoscesin=ldecos=1二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分11（4分）在（1+x）6的展开式中，含x4的项的系数是12（4分）已知12=123，12+22=235，12+22+32=347，12+22+32+42=459，则12+22+n2=（其中nn*）13（4分）某次测量发现一组数据（xi，yi）具有较强的相关性，并计算得=x+1，其中数据（1，y0）因书写不清，只记得y0是0，3任意一个值，则该数据对应的残差的绝对值不大于1的概率为（残差=真实值预测值）14（4分）已知abc的三个内角a、b、c所对的边分别为a、b、c若abc的面积s=b2+c2a2，则tana的值是15（4分）定义在r上的函数f（x），其图象是连续不断的，如果存在非零常数（r），使得对任意的xr，都有f（x+）=f（x），则称y=f（x）为“倍增函数”，为“倍增系数”，下列命题为真命题的是（写出所有真命题对应的序号）若函数y=f（x）是倍增系数=2的倍增函数，则y=f（x）至少有1个零点；函数f（x）=2x+1是倍增函数，且倍增系数=1；函数f（x）=ex是倍增函数，且倍增系数（0，1）三、解答题：本大题共5小题，共80分解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤16（13分）已知函数f（x）=sin（x+）（0，0）为偶函数，且其图象上相邻两对称轴之间的距离为（）求函数f（x）的表达式（）若sin+f（）=，求的值17（13分）为适应2012年3月23日公安部交通管理局印发的加强机动车驾驶人管理指导意见，某驾校将小型汽车驾照考试科目二的培训测试调整为：从10个备选测试项目中随机抽取4个，只有选中的4个项目均测试合格，科目二的培训才算通过已知甲对10个测试项目测试合格的概率均为0.8；乙对其中8个测试项目完全有合格把握，而对另2个测试项目却根本不会（i）求甲恰有2个测试项目合格的概率；（）记乙的测试项目合格数力，求的分布列及数学期望e18（13分）如图，三棱柱adfbce中，除df、ce外，其他的棱长均为2，abaf，平面abcd平面abef，m，n分别是ac，bf上的中点（）求证：mn平面adf；（）求直线mn与平面abcd所成角的大小19（13分）如图，设椭圆c：+=1（ab0）的左右焦点为f1，f2，上顶点为a，点b，f2关于f1对称，且abaf2（）求椭圆c的离心率；（）已知p是过a，b，f2三点的圆上的点，若af1f2的面积为，求点p到直线l：xy3=0距离的最大值20（14分）已知函数f（x）=（xe）（lnx1）（e为自然对数的底数）（）求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（）若m是f（x）的一个极值点，且点a（x1，f（x1），b（x2，f（x2）满足条件：（1lnx1）（1lnx2）=1求m的值；若点p（m，f（m），判断a，b，p三点是否可以构成直角三角形？请说明理由本题21、22、23三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分7分，如果多做，则按所做的前两题计分选修4-2：矩阵与变换21（7分）如图，矩形oabc和平行四边形oa1b1c1的部分顶点坐标为：a（1，0），b（1，2），a1（，1），c1（2，0）（）求将矩形oabc变为平行四边形oa1b1c1的线性变换对应的矩阵m；（）矩阵m是否存在特征值？若存在，求出矩阵m的所有特征值及其对应的一个特征向量；若不存在，请说明理由选修4-4：坐标系与参数方程22（7分）在极坐标系中，圆c的圆心坐标为c（2，），半径为2以极点为原点，极轴为x的正半轴，取相同的长度单位建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）（）求圆c的极坐标方程；（）设l与圆c的交点为a，b，l与x轴的交点为p，求|pa|+|pb|选修4-5：不等式选讲23（）证明二维形式的柯西不等式：（a2+b2）（c2+d2）（ac+bd）2（a，b，c，dr）；（）若实数x，y，z满足x2+y2+z2=3，求x+2y2z的取值范围福建省安溪一中、德化一中联考2015届高三上学期摸底数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中只有一项符合要求1（5分）已知i为虚数单位，则 （1i）2的值等于（）a22ib2+2ic2id2i考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：由完全平方公式展开化简可得解答：解：化简可得（1i）2=12i+i2=2i故选：c点评：本题考查复数的代数形式的运算，属基础题2（5分）“sinx=1”是“cosx=0”的（）a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：计算题分析：由sin2x+cos2x=1可知当sinx=1时，可得cos2x=0，而由“cosx=0”可得sinx=1，由充要条件的定义可得答案解答：解：由sin2x+cos2x=1可知，当sinx=1时，可得cos2x=0，即由“sinx=1”可推得“cos x=0”；而由“cosx=0”可得sin2x=1，解得sinx=1，故不能推出“sinx=1”，故可知“sinx=1”是“cosx=0”的充分不必要条件故选a点评：本题考查充要条件的判断，涉及三角函数的运算，属基础题3（5分）exdx的值等于（）aeb1ece1d（e1）考点：定积分 专题：导数的概念及应用分析：根据微积分定理即可得到结论解答：解：exdx=ex|，故选：c点评：本题主要考查积分的计算，要求熟练掌握常见函数的积分公式，比较基础4（5分）已知a，br+且a+b=1，则ab的最大值等于（）a1bcd考点：基本不等式 专题：不等式的解法及应用分析：利用基本不等式的性质即可得出解答：解：a，br+且a+b=1，ab=，当且仅当a=b=时取等号ab的最大值等于故选：b点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题5（5分）等差数列an的前n项和sn满足sn=n2，则其公差d等于（）a2b4c2d4考点：等差数列的前n项和 专题：等差数列与等比数列分析：由sn=n2，求出a1，a2，由此能求出公差解答：解：等差数列an的前n项和sn满足sn=n2，a1=1，a2=41=3，d=31=2故选：a点评：本题考查公差的求法，是基础题，解题时要认真审题6（5分）某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）af（x）=sinxbf（x）=cosxcf（x）=df（x）=x2考点：选择结构 专题：算法和程序框图分析：根据流程图，依次判断4个选择项是否满足输出函数的条件即可得到答案解答：解：运行程序，有：a，f（x）=sinx，因为有f（x）=sin（x）=sinx=f（x），且存在零点故可以输出函数b，f（x）=cosx为偶函数，f（x）+f（x）=0不成立，由流程图可知，不能输出函数c，f（x）=没有零点，由流程图可知，不能输出函数d，f（x）=x2为偶函数，f（x）+f（x）=0不成立，由流程图可知，不能输出函数故答案为：a点评：本题主要考察程序框图和算法，属于基础题7（5分）已知（x，y）满足，则k=的最大值等于（）abc1d考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，则k的几何意义为点p（x，y）到定点a（1，0）的斜率，利用数形结合即可得到结论解答：解：k的几何意义为点p（x，y）到定点a（1，0）的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：则由图象可知ab的斜率最大，其中b（0，1），此时k=，故选：c点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义是解决本题的关键，利用数形结合是解决本题的突破8（5分）已知一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体中相互垂直的棱共有（）a3对b4对c5对d6对考点：由三视图求面积、体积 专题：探究型；空间位置关系与距离分析：根据三视图可知，该几何体为底面为直角三角形，侧棱垂直于底面的三棱锥，由此可得结论解答：解：根据三视图可知，该几何体为底面为直角三角形，侧棱垂直于底面的三棱锥，故侧棱垂直于底面中的三条边有3对，底面中的直角边垂直与侧面的直角边与斜边有2对，共5对故选c点评：本题考查三视图，考查线面垂直，考查线线垂直，属于基础题9（5分）已知f1，f2分别是双曲线c：的左右焦点，以f1f2为直径的圆与双曲线c在第二象限的交点为p，若双曲线的离心率为5，则cospf2f1等于（）abcd考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设|pf1|=n，|pf2|=m，则由双曲线的定义可得 mn=2a ，再由m2+n2=4c2 ，以及=5 可得 m=8a，故cospf2f1 =，运算求得结果解答：解：设|pf1|=n，|pf2|=m，则由双曲线的定义可得 mn=2a ，且三角形pf1f2为直角三角形，故有m2+n2=4c2 再由=5 可得 c=5a把和联立方程组解得 m=8a，故cospf2f1 =，故选c点评：本题主要考查双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于中档题10（5分）将y=lnx的图象绕坐标原点o逆时针旋转角后第一次与y轴相切，则角满足的条件是（）aesin=cosbsin=ecoscesin=ldecos=1考点：坐标系的选择及意义；函数的图象与图象变化 专题：函数的性质及应用分析：设y=lnx的图象的切线的斜率为k，切点坐标为（x0，y0），由题意可得 k=，求得x0=e再由tan=x0=e，得出结论解答：解：设y=f（x）=lnx的图象的切线的斜率为k，设切点坐标为（x0，y0），则由题意可得，切线的斜率为 k=，再由导数的几何意义可得 k=f（x0）=，=，x0=e再由的意义可得，lnx的图象的切线逆时针旋转角后落在了y轴上，故有tan=x0=e，sin=ecos，故选：b点评：本题主要考查函数的导数的意义及其应用，直线的斜率公式，函数图象的变化，属于基础题二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分11（4分）在（1+x）6的展开式中，含x4的项的系数是15考点：二项式定理 专题：二项式定理分析：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于4，求得r的值，即可求得展开式中的含x4的项的系数解答：解：由于（1+x）6的展开式的通项公式为 tr+1=xr，故含x4的项的系数是=15，故答案为：15点评：本题主要考查二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题12（4分）已知12=123，12+22=235，12+22+32=347，12+22+32+42=459，则12+22+n2=（其中nn*）考点：归纳推理 专题：探究型；推理和证明分析：观察所给等式，注意等式的左边与右边的特征，得到猜想解答：解：由于所给的等式的左边，是非0自然数的平方和，右边是倍的连续的两个自然数n，（n+1）与一个2n+1的积，所以，猜想：12+22+32+n2=故答案为：点评：本题考查归纳推理，归纳推理推出猜想是解题的关键13（4分）某次测量发现一组数据（xi，yi）具有较强的相关性，并计算得=x+1，其中数据（1，y0）因书写不清，只记得y0是0，3任意一个值，则该数据对应的残差的绝对值不大于1的概率为（残差=真实值预测值）考点：回归分析 专题：计算题；概率与统计分析：求出预测值，再求出该数据对应的残差的绝对值不大于1时y0的取值范围，用几何概型解答解答：解：由题意，其预估值为1+1=2，该数据对应的残差的绝对值不大于1时，1y03，其概率可由几何概型求得，即该数据对应的残差的绝对值不大于1的概率p=故答案为：点评：本题考查了几何概型的概率公式，属于基础题14（4分）已知abc的三个内角a、b、c所对的边分别为a、b、c若abc的面积s=b2+c2a2，则tana的值是4考点：余弦定理 专题：解三角形分析：利用余弦定理、三角形的面积计算公式可得=2bccosa，再利用同角三角函数基本关系式即可得出解答：解：b2+c2a2=2bccosa，又abc的面积s=b2+c2a2，=2bccosa，化为tana=4故答案为：4点评：本题考查了余弦定理、三角形的面积计算公式、同角三角函数基本关系式，考查了计算能力，属于基础题15（4分）定义在r上的函数f（x），其图象是连续不断的，如果存在非零常数（r），使得对任意的xr，都有f（x+）=f（x），则称y=f（x）为“倍增函数”，为“倍增系数”，下列命题为真命题的是（写出所有真命题对应的序号）若函数y=f（x）是倍增系数=2的倍增函数，则y=f（x）至少有1个零点；函数f（x）=2x+1是倍增函数，且倍增系数=1；函数f（x）=ex是倍增函数，且倍增系数（0，1）考点：命题的真假判断与应用 专题：新定义；函数的性质及应用分析：函数y=f（x）是倍增系数=2的倍增函数，知f（x2）=2f（x），由此得到y=f（x）至少有1个零点，知正确；由f（x）=2x+1是倍增函数，知2（x+）+1=（2x+1），故由=1，知不正确；由f（x）=ex是倍增函数，得到=（0，1）知正确解答：解：函数y=f（x）是倍增系数=2的倍增函数，f（x2）=2f（x），当x=0时，f（2）+2f（0）=0，若f（0），f（2）任一个为0，函数f（x）有零点；若f（0），f（1）均不为零，则f（0），f（2）异号，由零点存在定理，在（2，0）区间存在x0，f（x0）=0，即y=f（x）至少有1个零点，故正确；f（x）=2x+1是倍增函数，2（x+）+1=（2x+1），=1，故不正确；f（x）=ex是倍增函数，e（x+）=ex，=，=（0，1），故正确故答案为：点评：本题考查命题的真假判断，解题时要认真审题，仔细解答，注意新定义的合理运用，合理地地进行等价转化三、解答题：本大题共5小题，共80分解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤16（13分）已知函数f（x）=sin（x+）（0，0）为偶函数，且其图象上相邻两对称轴之间的距离为（）求函数f（x）的表达式（）若sin+f（）=，求的值考点：三角函数的周期性及其求法；同角三角函数基本关系的运用 专题：综合题分析：（i）函数是偶函数，求出，利用图象上相邻两对称轴之间的距离为，求出，即可求得函数f（x）的表达式（ii）利用两角和的正弦以及弦切互化，化简为sincos，应用，求出所求结果即可解答：解：（i）f（x）为偶函数sin（x+）=sin（x+）即2sinxcos=0恒成立cos=0，又0，（3分）又其图象上相邻对称轴之间的距离为t=2=1f（x）=cosx（6分）（ii）原式=（10分）又，（11分）即，故原式=（12分）点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，同角三角函数基本关系的运用，考查计算能力，是基础题17（13分）为适应2012年3月23日公安部交通管理局印发的加强机动车驾驶人管理指导意见，某驾校将小型汽车驾照考试科目二的培训测试调整为：从10个备选测试项目中随机抽取4个，只有选中的4个项目均测试合格，科目二的培训才算通过已知甲对10个测试项目测试合格的概率均为0.8；乙对其中8个测试项目完全有合格把握，而对另2个测试项目却根本不会（i）求甲恰有2个测试项目合格的概率；（）记乙的测试项目合格数力，求的分布列及数学期望e考点：离散型随机变量的期望与方差；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；离散型随机变量及其分布列 专题：综合题分析：（i）设甲的测试项目合格数为x，则xb（4，0.8），从而可求甲恰有2个测试项目合格的概率为p（x=2）；（）记乙的测试项目合格数力，可能取值为2，3，4，则服从超几何分布，由此可求相应的概率，即可得到的分布列及数学期望e解答：解：（i）设甲的测试项目合格数为x，则xb（4，0.8），甲恰有2个测试项目合格的概率为p（x=2）=；（）记乙的测试项目合格数力，可能取值为2，3，4，则服从超几何分布p（=2）=，p（=3）=，p（=4）=的分布列为 2 3 4 p数学期望e=2+3+4=3.2点评：本题考查二项分布、超几何分布，离散型随机变量的分布列与数学期望，考查运用概率知识解决实际问题，属于中档题18（13分）如图，三棱柱adfbce中，除df、ce外，其他的棱长均为2，abaf，平面abcd平面abef，m，n分别是ac，bf上的中点（）求证：mn平面adf；（）求直线mn与平面abcd所成角的大小考点：直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（）取ab中点g，连接ng，mg，容易证明平面mng平面adf，所以mn平面adf；（）容易说明角nmg是直线mn与平面abcd所成角，所以在rtmng中，ng=mg=1，所以nmg=45解答：证明：（）如图，取ab中点g，连接mg，ng，n是bf中点，ngaf，且ng=，af平面adf，ng平面adf；同理可得mg平面adf，ngmg=g，平面mng平面adf，mn平面mng，mn平面adf；（）平面abcd平面abef，平面abcd平面abef=ab，afab，af平面abef，af平面abcd；ngaf，ng平面abcd；nmg是直线mn与平面abcd所成角，由（）知mg=，又ng=1，在rtmng中，nmg=45；即直线mn与平面abcd所成角的大小为45点评：考查线面平行的判定定理，面面平行的判定定理，面面平行的性质，线面角的定义及求解19（13分）如图，设椭圆c：+=1（ab0）的左右焦点为f1，f2，上顶点为a，点b，f2关于f1对称，且abaf2（）求椭圆c的离心率；（）已知p是过a，b，f2三点的圆上的点，若af1f2的面积为，求点p到直线l：xy3=0距离的最大值考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）由abaf2及勾股定理可知，即9c2+b2+a2=16c2，由此能示出椭圆离心率（）由（）可知af1f2是边长为a的正三角形，所以，解得，由此求出abf的外接圆圆心为f1（1，0），半径r=2，f1（1，0）到直线l的距离为d=2，由此能求出p到直线l：xy3=0距离的最大值解答：解：（）由题意，（2分）由abaf2及勾股定理可知，即9c2+b2+a2=16c2（4分）因为b2=a2c2，所以a2=4c2，解得（6分）（）由（）可知af1f2是边长为a的正三角形，所以解得（8分）由abaf2可知直角三角形abf2的外接圆以f1（1，0）为圆心，半径r=2即点p在圆（x+1）2+y2=4上，（10分）因为圆心f1到直线的距离为（12分）故该圆与直线l相切，所以点p到直线l的最大距离为2r=4（13分）点评：本题考查椭圆的离心率的求法，考查点到直线的距离的最大值的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用20（14分）已知函数f（x）=（xe）（lnx1）（e为自然对数的底数）（）求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（）若m是f（x）的一个极值点，且点a（x1，f（x1），b（x2，f（x2）满足条件：（1lnx1）（1lnx2）=1求m的值；若点p（m，f（m），判断a，b，p三点是否可以构成直角三角形？请说明理由考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值 专题：计算题；导数的综合应用分析：（）求出导数和切线的斜率，及切点，运用点斜式方程，即可得到切线方程；（）求出导数，讨论当0xe时，当xe时，导数的符号，即可判断极值点，求出p点；讨论若x1=e，若x1=x2，与条件不符，从而得x1x2计算向量pa，pb的数量积，即可判断papb解答：解：（），f（1）=e，又f（1）=e1，曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y（e1）=e（x1），即ex+y2e+1=0 （）对于，定义域为（0，+）当0xe时，lnx1，；当x=e时，f（x）=11=0；当xe时，lnx1，f（x）存在唯一的极值点e，m=e，则点p为（e，0）若x1=e，则（1lnx1）（1lnx2）=0，与条件（1lnx1）（1lnx2）=1不符，从而得x1e同理可得x2e若x1=x2，则，与条件（1lnx1）（1lnx2）=1不符，从而得x1x2由上可得点a，b，p两两不重合=（x1e）（x2e）+（x1e）（x2e）（lnx11）（lnx21）=（x1e）（x2e）（lnx1lnx2lnx1x2+2）=0从而papb，点a，b，p可构成直角三角形点评：本题考查导数的综合应用：求切线方程和求极值，考查运用向量的数量积为0，证明线段垂直的方法，属于中档题本题21、22、23三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分7分，如果多做，则按所做的前两题计分选修4-2：矩阵与变换21（7分）如图，矩形oabc和平行四边形oa1b1c1的部分顶点坐标为：a（1，0），b（1，2），a1（，1），c1（2，0）（）求将矩形oabc变为平行四边形oa1b1c1的线性变换对应的矩阵m；（）矩阵m是否存在特征值？若存在，求出矩阵m的所有特征值及其对应的一个特征向量；若不存在，请说明理由考点：特征值与特征向量的计算；几种特殊的矩阵变换 专题：计算题；矩阵和变换分析：（）设m=，依题意得c（0，2），依题意得=，由矩阵乘法解出a，b，c，d即可；（ii）由矩阵的特征多项式f（）=，令它为0，即可得到特征值和特征向量解答：解：（）设m=，依题意得c（0，2）依题意得=，即，所以所以m=；（ii）因为矩阵m的