辽宁省沈阳二中高三数学上学期期中试题 文（含解析）.doc

2015-2016学年辽宁省沈阳二中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知全集u=r，a=y|y=2x+1，b=x|lnx0，则（ua）b=( )abx|x1cx|x1dx|0x12设复数z=1+i（i是虚数单位），则复数z+的虚部是( )abicdi3设a=20.5，b=log20152016，c=sin1830，则a，b，c的大小关系是( )aabcbacbcbcadbac4已知向量=（+1，1），=（+2，2），若（+）（），则=( )a4b3c2d15设，是两个不同的平面，m是直线且m，“m“是“”的( )a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充分不要条件d既不充分也不必要条件6已知sn是等差数列an的前n项和，若a7=9a3，则=( )a9b5cd7将函数y=sin（4x）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是( )abx=cx=dx=8某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为( )a4bcd89函数的图象大致是( )abcd10在abc中，a，b，c分别为a、b、c、的对边，若向量和平行，且，当abc的面积为时，则b=( )ab2c4d2+11定义在r上的奇函数f（x），当x0时，f（x）=，则关于x的函数f（x）=f（x）a（0a1）的所有零点之和为( )a3a1b13ac3a1d13a12如图，正五边形abcde的边长为2，甲同学在abc中用余弦定理解得，乙同学在rtach中解得，据此可得cos72的值所在区间为( )a（0.1，0.2）b（0.2，0.3）c（0.3，0.4）d（0.4，0.5）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上13设sin2=sin，（，），则tan的值是_14已知变量x，y满足，则的取值范围是_15如图数表，为一组等式：某学生根据上表猜测s2n1=（2n1）（an2+bn+c），老师回答正确，则ab+c=_16在直角梯形abcd中，abad，dcab，ad=dc=1，ab=2，e、f分别为ab、bc的中点点p在以a为圆心，ad为半径的圆弧上变动（如图所示），若=+，其中，r则2的取值范围是_三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17已知函数（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）abc内角a，b，c的对边分别为a，b，c，若，b=1，且ab，试求角b和角c18如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd为平行四边形，e为侧棱pa的中点（1）求证：pc平面bde；（2）若pcpa，pd=ad，求证：平面bde平面pab19设数列an的前n项和为sn，且2an=sn+2n+1（nn*）（）求a1，a2，a3；（）求证：数列an+2是等比数列；（）求数列nan的前n项和tn20“水资源与永恒发展”是2015年联合国世界水资源日主题近年来，某企业每年需要向自来水厂缴纳水费约4万元，为了缓解供水压力，决定安装一个可使用4年的自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费（单位：万元）与管线、主体装置的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数约为0.2为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水厂供水互补的用水模式假设在此模式下，安装后该企业每年向自来水厂缴纳的水费 c（单位：万元）与安装的这种净水设备的占地面积x（单位：平方米）之间的函数关系是c（x）=（x0，k为常数）记y为该企业安装这种净水设备的费用与该企业4年共将消耗的水费之和（） 试解释c（0）的实际意义，请建立y关于x的函数关系式并化简；（） 当x为多少平方米时，y取得最小值？最小值是多少万元？21设函数的图象在点（x，f（x）处的切线的斜率为k（x），且函数为偶函数若函数k（x）满足下列条件：k（1）=0；对一切实数x，不等式恒成立（）求函数k（x）的表达式；（）求证：（nn*）22已知函数f（x）=x2+2lnx（）求函数f（x）的最大值；（）若函数f（x）与g（x）=x+有相同极值点，（i）求实数a的值；（ii）若对于“x1，x2，3，不等式1恒成立，求实数k的取值范围2015-2016学年辽宁省沈阳二中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知全集u=r，a=y|y=2x+1，b=x|lnx0，则（ua）b=( )abx|x1cx|x1dx|0x1【考点】补集及其运算；交集及其运算 【专题】计算题【分析】本题求集合的交集，由题设条件知可先对两个集合进行化简，再进行交补的运算，集合a由求指数函数的值域进行化简，集合b通过求集合的定义域进行化简【解答】解：由题意a=y|y=2x+1=y|y1，b=x|lnx0=x|0x1，故cua=y|y1 （cua）b=x|0x1 故选d【点评】本题考查补集的运算，解题的关键是理解掌握集合的交的运算与补的运算，运用指数函数与对数函数的知识对两个集合进行化简，本题是近几年高考中的常见题型，一般出现在选择题第一题的位置考查进行集合运算的能力2设复数z=1+i（i是虚数单位），则复数z+的虚部是( )abicdi【考点】复数代数形式的乘除运算 【专题】计算题；方案型；函数思想；方程思想；综合法；数系的扩充和复数【分析】直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可【解答】解：复数z=1+i（i是虚数单位），则复数z+=1+i+=1+i+=复数z+的虚部是：故选：a【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，是基础题3设a=20.5，b=log20152016，c=sin1830，则a，b，c的大小关系是( )aabcbacbcbcadbac【考点】对数值大小的比较 【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出【解答】解：1a=20.5=，b=log201520161，c=sin1830=sin30=，bac，故选：d【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题4已知向量=（+1，1），=（+2，2），若（+）（），则=( )a4b3c2d1【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系 【专题】平面向量及应用【分析】利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出【解答】解：，=（2+3，3），=0，（2+3）3=0，解得=3故选b【点评】熟练掌握向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系是解题的关键5设，是两个不同的平面，m是直线且m，“m“是“”的( )a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充分不要条件d既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【专题】简易逻辑【分析】m并得不到，根据面面平行的判定定理，只有内的两相交直线都平行于，而，并且m，显然能得到m，这样即可找出正确选项【解答】解：m，m得不到，因为，可能相交，只要m和，的交线平行即可得到m；，m，m和没有公共点，m，即能得到m；“m”是“”的必要不充分条件故选b【点评】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念6已知sn是等差数列an的前n项和，若a7=9a3，则=( )a9b5cd【考点】等差数列的性质 【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】利用等差数列的通项及求和公式，即可得出结论【解答】解：等差数列an，a7=9a3，a1+6d=9（a1+2d），a1=d，=9，故选：a【点评】本题考查等差数列的通项及求和公式，考查学生的计算能力，属于中档题7将函数y=sin（4x）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是( )abx=cx=dx=【考点】函数y=asin（x+）的图象变换 【专题】三角函数的图像与性质【分析】利用函数y=asin（x+）的图象变换，可求得变换后的函数的解析式为y=sin（8x），利用正弦函数的对称性即可求得答案【解答】解：将函数y=sin（4x）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到的函数解析式为：g（x）=sin（2x），再将g（x）=sin（2x）的图象向左平移个单位（纵坐标不变）得到y=g（x+）=sin2（x+）=sin（2x+）=sin（2x+），由2x+=k+（kz），得：x=+，kz当k=0时，x=，即x=是变化后的函数图象的一条对称轴的方程，故选：a【点评】本题考查函数y=asin（x+）的图象变换，求得变换后的函数的解析式是关键，考查正弦函数的对称性的应用，属于中档题8某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为( )a4bcd8【考点】由三视图求面积、体积 【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】由三视图知几何体为四棱锥与三棱锥的组合体，画出其直观图，由三视图可得sc平面abcd，ab平面bcse，sc=4，be=2四边形abcd为边长为2的正方形，把数据代入棱锥的体积公式计算可得答案【解答】解：由三视图知几何体为四棱锥与三棱锥的组合体，其直观图如图：其中sc平面abcd，ab平面bcse，又sc=4，be=2四边形abcd为边长为2的正方形，几何体的体积v=v四棱锥+v三棱锥abse=224+222=+=故选b【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键9函数的图象大致是( )abcd【考点】余弦函数的图象 【专题】数形结合【分析】由函数的解析式可以看出，函数的零点呈周期性出现，且法自变量趋向于正无穷大时，函数值在x轴上下震荡，幅度越来越小，而当自变量趋向于负无穷大时，函数值在x轴上下震荡，幅度越来越大，由此特征对四个选项进行判断，即可得出正确选项【解答】解：函数函数的零点呈周期性出现，且法自变量趋向于正无穷大时，函数值在x轴上下震荡，幅度越来越小，而当自变量趋向于负无穷大时，函数值在x轴上下震荡，幅度越来越大，a选项符合题意；b选项振幅变化规律与函数的性质相悖，不正确；c选项是一个偶函数的图象，而已知的函数不是一个偶函数故不正确；d选项最高点离开原点的距离的变化趋势不符合题意，故不对综上，a选项符合题意故选a【点评】本题考查余弦函数的图象，解题的关键是根据余弦函数的周期性得出其零点周期性出现，再就是根据分母随着自变量的变化推测出函数图象震荡幅度的变化，由这些规律对照四个选项选出正确答案10在abc中，a，b，c分别为a、b、c、的对边，若向量和平行，且，当abc的面积为时，则b=( )ab2c4d2+【考点】向量在几何中的应用 【分析】利用向量共线的充要条件得a，b，c的关系，利用三角形的面积公式得到a，b，c的第二个关系，利用三角形的余弦定理得到第三个关系，解方程组求出b【解答】解：由向量和共线知a+c=2b，由，由cba知角b为锐角，联立得b=2故选项为b【点评】本题考查向量共线的充要条件，三角形的面积公式及三角形中的余弦定理11定义在r上的奇函数f（x），当x0时，f（x）=，则关于x的函数f（x）=f（x）a（0a1）的所有零点之和为( )a3a1b13ac3a1d13a【考点】函数的零点与方程根的关系 【专题】函数的性质及应用【分析】利用奇偶函数得出当x0时，f（x）=，x0时，f（x）=，画出图象，根据对称性得出零点的值满足x1+x2，x4+x5的值，关键运用对数求解x3=13a，整体求解即可【解答】解：定义在r上的奇函数f（x），f（x）=f（x），当x0时，f（x）=，当x0时，f（x）=，得出x0时，f（x）=画出图象得出：如图从左向右零点为x1，x2，x3，x4，x5，根据对称性得出：x1+x2=42=8，x4+x5=24=8，log（x3+1）=a，x3=13a，故x1+x2+x3+x4+x5=8+13a+8=13a，故选：b【点评】本题综合考察了函数的性质，图象的运用，函数的零点与函数交点问题，考查了数形结合的能力，属于中档题12如图，正五边形abcde的边长为2，甲同学在abc中用余弦定理解得，乙同学在rtach中解得，据此可得cos72的值所在区间为( )a（0.1，0.2）b（0.2，0.3）c（0.3，0.4）d（0.4，0.5）【考点】解三角形；余弦函数的定义域和值域 【专题】综合题；压轴题【分析】根据题意，建立方程，再构造函数利用零点存在定理，确定零点所在区间【解答】解：根据题意可得构造函数1，x所在区间为（0.3，0.4）即cos72的值所在区间为（0.3，0.4）故选c【点评】本题考查解三角形，考查函数思想，考查函数零点的判断，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上13设sin2=sin，（，），则tan的值是【考点】二倍角的余弦；同角三角函数间的基本关系 【专题】三角函数的求值【分析】依题意，利用二倍角的正弦可得cos=，又（，），可求得的值，继而可得tan的值【解答】解：sin2=2sincos=sin，cos=，又（，），=，tan=故答案为：【点评】本题考查同角三角函数间的基本关系与二倍角的正弦，属于基础题14已知变量x，y满足，则的取值范围是，【考点】简单线性规划 【专题】数形结合；数形结合法；不等式的解法及应用【分析】作出可行域，变形目标函数可得=1+表示可行域内的点与a（2，1）连线的斜率与1的和，数形结合可得【解答】解：作出所对应的区域（如图阴影），变形目标函数可得=1+，表示可行域内的点与a（2，1）连线的斜率与1的和，由图象可知当直线经过点b（2，0）时，目标函数取最小值1+=；当直线经过点c（0，2）时，目标函数取最大值1+=；故答案为：，【点评】本题考查简单线性规划，涉及直线的斜率公式，准确作图是解决问题的关键，属中档题15如图数表，为一组等式：某学生根据上表猜测s2n1=（2n1）（an2+bn+c），老师回答正确，则ab+c=5【考点】归纳推理 【专题】规律型；方程思想；简易逻辑【分析】利用所给等式，对猜测s2n1=（2n1）（an2+bn+c），进行赋值，即可得到结论【解答】解：由题意，ab+c=5，故答案为：5【点评】本题考查了归纳推理，根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理16在直角梯形abcd中，abad，dcab，ad=dc=1，ab=2，e、f分别为ab、bc的中点点p在以a为圆心，ad为半径的圆弧上变动（如图所示），若=+，其中，r则2的取值范围是1，1【考点】向量在几何中的应用 【专题】综合题；平面向量及应用【分析】建立如图所示的坐标系，则a（0，0），e（1，0），d（0，1），f（1.5，0.5），p（cos，sin）（090），用参数进行表示，利用辅助角公式化简，即可得出结论【解答】解：建立如图所示的坐标系，则a（0，0），e（1，0），d（0，1），f（1.5，0.5），p（cos，sin）（090），=+，（cos，sin）=（1，1）+（1.5，0.5），cos=+1.5，sin=+0.5，=（3sincos），=（cos+sin），2=sincos=sin（45）090，454545，sin（45），1sin（45）12的取值范围是1，1故答案为：1，1【点评】本题考查平面向量知识的运用，考查学生的计算能力，正确利用坐标系是关键三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17已知函数（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）abc内角a，b，c的对边分别为a，b，c，若，b=1，且ab，试求角b和角c【考点】正弦定理的应用；两角和与差的正弦函数 【专题】解三角形【分析】（1）将f（x）解析式第一项利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的递增区间为2k，2k+，xz列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到f（x）的递增区间；（2）由（1）确定的f（x）解析式，及f（）=，求出sin（b）的值，由b为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出b的度数，再由b与c的值，利用正弦定理求出sinc的值，由c为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出c的度数，由a大于b得到a大于b，检验后即可得到满足题意b和c的度数【解答】解：（1）f（x）=cos（2x）cos2x=sin2xcos2x=sin（2x），令2k2x2k+，xz，解得：kxk+，xz，则函数f（x）的递增区间为k，k+，xz；（2）f（b）=sin（b）=，sin（b）=，0b，b，b=，即b=，又b=1，c=，由正弦定理=得：sinc=，c为三角形的内角，c=或，当c=时，a=；当c=时，a=（不合题意，舍去），则b=，c=【点评】此题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，正弦定理，正弦函数的单调性，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键18如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd为平行四边形，e为侧棱pa的中点（1）求证：pc平面bde；（2）若pcpa，pd=ad，求证：平面bde平面pab【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定 【专题】证明题；空间位置关系与距离【分析】（1）连结ac，交bd于o，连结oe，e为pa的中点，利用三角形中位线的性质，可知oepc，利用线面平行的判定定理，即可得出结论；（2）先证明pade，再证明paoe，可得pa平面bde，从而可得平面bde平面pab【解答】证明：（1）连结ac，交bd于o，连结oe因为abcd是平行四边形，所以oa=oc因为e为侧棱pa的中点，所以oepc因为pc平面bde，oe平面bde，所以pc平面bde（2）因为e为pa中点，pd=ad，所以pade因为pcpa，oepc，所以paoe因为oe平面bde，de平面bde，oede=e，所以pa平面bde因为pa平面pab，所以平面bde平面pab（14分）【点评】本题考查线面平行的判定，考查面面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题19设数列an的前n项和为sn，且2an=sn+2n+1（nn*）（）求a1，a2，a3；（）求证：数列an+2是等比数列；（）求数列nan的前n项和tn【考点】数列的求和；数列的函数特性；等比关系的确定 【专题】计算题【分析】（i）根据2an=sn+2n+1，分别取n=1，2，3，可求出a1，a2，a3的值；（ii）因为2an=sn+2n+1，所以有2an+1=sn+1+2n+3成立，两式相减可得an+1+2=2（an+2），然后根据等比数列定义可得结论；（iii）先求出数列nan的通项公式，然后利用错位相消法进行求和即可【解答】（本小题满分13分）（i）解：由题意，当n=1时，得2a1=a1+3，解得a1=3当n=2时，得2a2=（a1+a2）+5，解得a2=8当n=3时，得2a3=（a1+a2+a3）+7，解得a3=18所以a1=3，a2=8，a3=18为所求（）证明：因为2an=sn+2n+1，所以有2an+1=sn+1+2n+3成立两式相减得：2an+12an=an+1+2所以an+1=2an+2（nn*），即an+1+2=2（an+2）所以数列an+2是以a1+2=5为首项，公比为2的等比数列（）解：由（） 得：an+2=52n1，即an=52n12（nn*）则nan=5n2n12n（nn*）设数列5n2n1的前n项和为pn，则pn=5120+5221+5322+5（n1）2n2+5n2n1，所以2pn=5121+5222+5323+5（n1）2n1+5n2n，所以pn=5（1+21+22+2n1）5n2n，即pn=（5n5）2n+5（nn*）所以数列nan的前n项和tn=，整理得，tn=（5n5）2nn2n+5（nn*）（13分）【点评】本题主要考查了等比关系的确定，以及利用错位相消法求和，同时考查了计算能力，属于中档题20“水资源与永恒发展”是2015年联合国世界水资源日主题近年来，某企业每年需要向自来水厂缴纳水费约4万元，为了缓解供水压力，决定安装一个可使用4年的自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费（单位：万元）与管线、主体装置的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数约为0.2为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水厂供水互补的用水模式假设在此模式下，安装后该企业每年向自来水厂缴纳的水费 c（单位：万元）与安装的这种净水设备的占地面积x（单位：平方米）之间的函数关系是c（x）=（x0，k为常数）记y为该企业安装这种净水设备的费用与该企业4年共将消耗的水费之和（） 试解释c（0）的实际意义，请建立y关于x的函数关系式并化简；（） 当x为多少平方米时，y取得最小值？最小值是多少万元？【考点】函数模型的选择与应用；函数解析式的求解及常用方法 【专题】应用题；函数的性质及应用【分析】（）c（0）的实际意义是不安装设备时每年缴纳的水费为4万元，依题意，c（0）=4，可求得k，从而得到y关于x的函数关系式；（）利用基本不等式即可求得y取得的最小值及y取得最小值时x的值【解答】解：（） c（0）表示不安装设备时每年缴纳的水费为4万元 c（0）=4，k=1000； y=0.2x+=0.2x+，x0（） y=0.2（x+5+）10.2201=7当x+5=，即x=15时，ymin=7当x为15平方米时，y取得最小值7万元 【点评】本题考查函数最值的应用，着重考查分析与理解能力，考查基本不等式的应用，属于中档题21设函数的图象在点（x，f（x）处的切线的斜率为k（x），且函数为偶函数若函数k（x）满足下列条件：k（1）=0；对一切实数x，不等式恒成立（）求函数k（x）的表达式；（）求证：（nn*）【考点】综合法与分析法(选修）；函数奇偶性的性质；函数恒成立问题；利用导数研究曲线上某点切线方程 【专题】证明题【分析】（）由已知得：k（x）=f（x），根据g（x）的奇偶性求出b，根据k（1）=0，求出，再由对一切实数x恒成立，解得a、c的值，即得函数k（x）的表达式（）根据，即证，把代入要证不等式的左边化简即可证得不等式成立【解答】解：（）由已知得：k（x）=f（x）=ax2+bx+c由为偶函数，得为偶函数，显然有又k（1）=0，所以ab+c=0，即又因为对一切实数x恒成立，即对一切实数x，不等式恒成立显然，当时，不符合题意当时，应满足，注意到，解得 所以 （）证明：因为，所以要证不等式成立，即证因为，所以=所以成立（14分）【点评】本题主要考查函数的奇偶性的应用，函数的恒成