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3.1.2 两角和与差的正弦课堂探究探究一 给值求值在解三角函数题目时,角度变换是三角恒等变换的首选方法,但具体怎样变换,我们主要是分析它们之间的和、差、倍、分关系,以便通过角度变换,减少角的个数其中,寻找一个或几个基本量是快速定位这类题目解法的关键【例1】 已知,cos(),sin(),求sin 2分析:注意变角思想(已知角与未知角之间的内在联系)解:因为,所以0,又cos(),sin(),所以sin(),cos()所以sin 2sin()()sin()cos()cos()sin()探究二 利用两角和与差的正弦公式化简化简三角函数式的标准和要求:(1)能求出值的应求出值;(2)使三角函数式的种数、项数及角的种类尽可能少;(3)使三角函数式的次数尽可能低;(4)使分母中尽量不含三角函数式和根式【例2】 化简下列各式:(1)sin2sincos;(2)2cos()分析:(1)各式中角的形式无法统一,且没有明显的拼角关系,所以只能利用两角和与差的公式展开后寻求解决办法(2)观察三个角之间的关系,知2(),所以首先考虑角的代换,再利用两角和与差公式化复角为单角解:(1)原式sin xcoscos xsin2sin xcos2cos xsincoscos xsinsin xsin xcos xsin xcos xcos xsin xsin xcos x0(2)原式探究三 两角和与差的公式在三角形中的应用判定三角形的形状,充分利用角的变换,借助abc,即abc,因而有sin(ab)sin c,cos(ab)cos c,sincos,cossin【例3】 在abc中,已知tan a,试判断abc的形状解:因为tan a,所以所以sin asin csin asin bcos acos bcos acos c,所以cos acos csin asin ccos acos bsin asin b,所以cos(ac)cos(ab),所以acab或acba,即bc或2abc所以abc为等腰三角形或为a等于60的三角形方法规律判断三角形的形状,关键是找出角a,b,c的关系本题的巧妙之处在于角的和与差的公式的逆用,这也是解这类题的一条重要途径同时,注意隐含条件abc的限制作用探究四 三角函数形式的转化研究形如f(x)asin xbcos x的函数的性质,都要先把其化为整体角的正弦函数或余弦函数的形式,方法是提取,逆用公式s,c,特别注意角的范围对三角函数值的影响【例4】 已知函数f(x)sin xcos x,xr(1)求f(x)的最小正周期与值域;(2)求f(x)的单调递增区间分析:对于此类问题可把asin xbcos x化简成sin(x)的形式来求解解:f(x)sin xcos x22sin,xr(
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