高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ）2.2.2 对数函数及其性质教材梳理素材 新人教A版必修1.doc

2.2.2 对数函数及其性质疱丁巧解牛知识巧学升华一、对数函数及其性质1.对数函数 一般地，函数y=logax（a0，a1）叫对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+）. 因为对数函数是由指数函数变化而来的，对数函数的自变量x恰好是指数函数的函数值y，所以对数函数的定义域是（0，+），指数函数与对数函数的定义域和值域是互换的. 只有形如y=logax（a0，a1，x0）的函数才叫对数函数.像y=loga（x+1），y=2logax，y=logax+3等函数，它们是由对数函数变化而得到的，都不是对数函数.对数函数同指数函数一样都是基本初等函数，它来自于实践.2.对数函数的图象和性质 （1）下面先画指数函数y=log2x及y=log1/2x图象 列出x,y的对应值表，用描点法画出图象：x1/81/41/21248y=log2x-3-2-10123y=log1/2x3210-1-2-3 描点即可完成y=log2x，y=的图象，如下图. 0 1 2 4 8 x -1 -2 y=log1/2x -3s 由表及图可以发现： 我们可以通过函数y=log2x的图象得到函数y=log0.5x的图象利用换底公式可以得到：y=log0.5x=-log2x，点(x,y)与点(x,-y)关于x轴对称，所以y=log2x的图象上任意一点(x,y)关于x轴对称点(x,-y)在y=log0.5x的图象上，反之亦然根据这种对称性就可以利用函数y=log2x的图象画出函数y=log0.5x的图象 方法点拨 注意此处空半格作对数函数图象，其关键是作出三个特殊点（，-1），（1，0），（a，1）一般情况下，作对数函数图象有这三点就足够了.不妨叫做“三点作图法.”函数y=logax与y=的图象关于x轴对称.（2）对数函数y=logax在底数a1及0a1这两种情况下的图象和性质如下表所示：a10a1图 象定义域（0，+）值 域r性 质（1）过点（1，0），即x=1时，y=0（2）在（0，+）上是增函数，在（0，+）上是减函数，（3）当00(a-1)(b-1)0；logab0(a-1)(b-1)0，且a1）在r上是单调函数，它的反函数是对数函数y=logax（a0，且a1），反之对数函数的反函数是指数函数. 课本上只要求知道指数函数y=ax（a0且a1）和对数函数y=logax（a0且a1）互为反函数，不要求会求函数y=f（x）的反函数.4.指数函数与对数函数对照表名 称指数函数对数函数一般形式y=ax（a0，a1）y=logax（a0，a1）定义域（-，+）（0，+）值域（0，+）（-，+）函数值变化情况当a1时，ax当a1时，logax当0a1时，logax单调性当a1时，y=ax是增函数；当0a1时，y=logax是增函数；当0a1时，y=logax是减函数图 象y=ax与y=logax的图象关于直线y=x对称 联想发散 注意此处空半格(1)反函数也是函数，它具有函数的一切特性；反函数是相对于原函数而言的，函数与它的反函数互为反函数.(2)若是已知f（x）的解析式，求f-1（x0）的值，不必去求f-1（x），只需列方程f（x）=x0，得出x的值即为所求.(3)指数函数与对数函数互为反函数.它们的定义域与值域相互对称，单调性相同，图象关于直线y=x对称,由于对数函数是由指数函数关于直线y=x变化而得到的，也可以在用描点法作对数函数的图象时，对调同底数的指数函数的对应值里的x、y即可.所以在研究对数函数的图象和性质时，要紧扣指数函数的图象和性质.问题思路探究问题1 在同一坐标系中，画出函数y=log3x，y=，y=log2x，y=的图象，比一比，看它们之间有何区别与联系. 思路：利用对数函数的图象与性质可比较底数相同，真数不同的对数值的大小；可比较底数不同，真数相同的对数值的大小；也可比较底数与真数都不同的对数值的大小. 一般地，如果两对数的底数不同而真数相同，如y=x与y=x的比较（a10，a11，a20，a21）.当a1a21时，曲线y1比y2的图象（在第一象限）上升得慢，即当x1时，y1y2； 当0x1时，y1y2.而在第一象限内，图象越靠近x轴的对数函数的底数越大.当0a2a11时，曲线y1比y2的图象（在第四象限内）下降得快，即当x1时，y1y2；当0x1时，y1y2，即在第四象限内，图象越靠近x轴的对数函数的底数越小.当0a21a1时，曲线y1和y2的图象分布在不同象限. 即当x1时， y200y1探究:从图象可以看到：所有图象都跨越一、四象限，任何两个图象都是交叉出现的，交叉点是（1，0），当a1时，图象向下与y轴的负半轴无限靠拢，在点（1，0）的右侧，函数值恒大于0，对同一自变量x而言，底数越大，函数值越小，在点（1，0）的左侧，函数值恒小于0，对同一自变量x而言，底数越大，函数值越大；当0a1时，图象向上与y轴的正半轴无限靠拢，在点（1，0）的左侧，函数值恒大于0，对同一自变量x而言，底数越大，函数值越大，在点（1，0）的右侧，函数值恒小于0，对同一自变量x而言，底数越大，函数值越小；由此我们知道，对于对数函数y=logax，当y=1时，x=a，而a恰好又是对数函数的底数，这就启发我们，不妨作直线y=1，它同各个图象相交，交点的横坐标恰好就是对数函数的底数，以此可比较底数的大小.同时，根据不同图象间的关系，也可比较真数相同，底数不同的对数函数值的大小，如log23log1.53，log20.5 log0.62等. 问题2 怎样画对数函数y=logax(a0, a1)的图象？至少要描出哪几个关键点？思路：（1）要善于对照指数函数与对数函数的关系来画图象;（2）从联系的角度研究画对数函数图象的方法，对深化理解对数函数的图象与性质很有帮助.探究:画对数函数y=logax(a0, a1)的图象依据它与指数函数y=ax(a0, a1)的图象关于直线y=x对称，用找对称点作对称图形的方法来画，也可以用列表、描点、连线的方法来画画图象时首先要分清底数a1还是0a log66=1, log76log76；(2)因为log38 log31=0, log20.7log20.7. 深化升华 注意此处空半格利用对数函数的增减性比较两个对数的大小,当不能直接比较时,经常在两个对数中间插入1或0等,间接比较两个对数值的大小.利用对数的单调性可解简单的对数不等式.例2 已知（1）log2（2x-1）1，（2）已知log1/2（2x-1）0，试分别求x的取值范围.思路解析：利用对数的单调性可解简单的对数不等式.解：（1）log2（2x-1）1，即log2（2x-1）log22，2x-12，解得x， 即x的范围是x（，+）.（2）由已知得log2（2x-1）lg1，02x-11，0x1. 误区警示 注意此处空半格解对数不等式的关键是善于把真数视为一个整体，用对数函数的单调性构造不等式.但一定要注意真数大于零这一隐含条件.例3 求函数y=的定义域.思路解析：定义域是使解析式的各部分有意义的交集.解：要使函数有意义，必须且只即-3x-2，或-2x1.函数的定义域为（-3，-2）（-2，1. 深化升华 注意此处空半格求函数定义域时，常见的限制条件有：分母不为零，开偶次方时被开方数非负，对数的真数大于零，底数大于零且不等于1等.例4 试求满足不等式2（log0.5x）2+9log0.5x+90的x的范围.思路解析：把log0.5x看作一个变量t，原不等式即变为关于t的一元二次不等式，可求出t的取值范围，进而再求出x的取值范围.解：令t=log0.5x，则原不等式可化为2t2+9t+90，解得-3t-， 即-3log0.5x-.又-3=log0.50.5-3，-=.x0.5-3，即2x8. 深化升华 注意此处空半格求复合函数的最值时，一般要注意函数有意义的条件，来决定中间变量的取值范围，并综合运用求最值的各种方法求解.例5 求函数y=log0.3（2x+8-x2）的单调区间和值域.思路解析：利用复合函数的单调性法则(同增异减),而求值域的关键是先求出对数的真数的取值范围,再由对数函数的单调性求得对数值的范围.解：因为2x+8-x20，即x2-2x-80,解得-2x4，所以此函数的定义域为（-2,4）， 又令u=2x+8-x2,则y=log0.3u.因为y=log0.3u为定义域上的减函数, 所以y=log0.3（2x+8-x2）的单调性与u=2x+8-x2的单调性相反. 对于函数u=2x+8-x2,x（-2,4）. 当x（-2，1时为增函数;当x1，4)时为减函数. 所以函数y=log0.3（2x+8-x2）的增区间为1，4),减区间为（-2，1， 又因为u=2x+8-x2=-（x-1）2+9， 所以当x（-2,4）时, 0uqlog0.3ulog0.39, 即函数y=log0.3（2x+8-x2）的值域为 log0.39,+) 拓展延伸 注意此处空半格考查对数函数与其他函数组成的复合函数时,要注意利用复合函数的单调性法则和函数单调性的定义;考查对数函数的值域问题时,要注意只有当对数的真数取到所有的正数时,对数值才可能取到所有的实数.例6 作出下列各函数的图象,并说明它们的图象可由y=log3x的图象经过怎样变换得到：(1) y=log3|x|;（2）y=|log3x|.思路解析：作含绝对值符号的函数图象,可先由绝对值定义去绝对值,写成分段函数的形式,也可依翻折变换的规律变换得出.解：（1）原函数可化为y=它的图象如图(1)所示. 先作出函数y=log3x的图象,再将所得图象沿y轴对称到y轴左侧,所得