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2.2.2 对数函数及其性质疱丁巧解牛知识巧学升华一、对数函数及其性质1.对数函数 一般地,函数y=logax(a0,a1)叫对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+). 因为对数函数是由指数函数变化而来的,对数函数的自变量x恰好是指数函数的函数值y,所以对数函数的定义域是(0,+),指数函数与对数函数的定义域和值域是互换的. 只有形如y=logax(a0,a1,x0)的函数才叫对数函数.像y=loga(x+1),y=2logax,y=logax+3等函数,它们是由对数函数变化而得到的,都不是对数函数.对数函数同指数函数一样都是基本初等函数,它来自于实践.2.对数函数的图象和性质 (1)下面先画指数函数y=log2x及y=log1/2x图象 列出x,y的对应值表,用描点法画出图象:x1/81/41/21248y=log2x-3-2-10123y=log1/2x3210-1-2-3 描点即可完成y=log2x,y=的图象,如下图. 0 1 2 4 8 x -1 -2 y=log1/2x -3s 由表及图可以发现: 我们可以通过函数y=log2x的图象得到函数y=log0.5x的图象利用换底公式可以得到:y=log0.5x=-log2x,点(x,y)与点(x,-y)关于x轴对称,所以y=log2x的图象上任意一点(x,y)关于x轴对称点(x,-y)在y=log0.5x的图象上,反之亦然根据这种对称性就可以利用函数y=log2x的图象画出函数y=log0.5x的图象 方法点拨 注意此处空半格作对数函数图象,其关键是作出三个特殊点(,-1),(1,0),(a,1)一般情况下,作对数函数图象有这三点就足够了.不妨叫做“三点作图法.”函数y=logax与y=的图象关于x轴对称.(2)对数函数y=logax在底数a1及0a1这两种情况下的图象和性质如下表所示:a10a1图 象定义域(0,+)值 域r性 质(1)过点(1,0),即x=1时,y=0(2)在(0,+)上是增函数,在(0,+)上是减函数,(3)当00(a-1)(b-1)0;logab0(a-1)(b-1)0,且a1)在r上是单调函数,它的反函数是对数函数y=logax(a0,且a1),反之对数函数的反函数是指数函数. 课本上只要求知道指数函数y=ax(a0且a1)和对数函数y=logax(a0且a1)互为反函数,不要求会求函数y=f(x)的反函数.4.指数函数与对数函数对照表名 称指数函数对数函数一般形式y=ax(a0,a1)y=logax(a0,a1)定义域(-,+)(0,+)值域(0,+)(-,+)函数值变化情况当a1时,ax当a1时,logax当0a1时,logax单调性当a1时,y=ax是增函数;当0a1时,y=logax是增函数;当0a1时,y=logax是减函数图 象y=ax与y=logax的图象关于直线y=x对称 联想发散 注意此处空半格(1)反函数也是函数,它具有函数的一切特性;反函数是相对于原函数而言的,函数与它的反函数互为反函数.(2)若是已知f(x)的解析式,求f-1(x0)的值,不必去求f-1(x),只需列方程f(x)=x0,得出x的值即为所求.(3)指数函数与对数函数互为反函数.它们的定义域与值域相互对称,单调性相同,图象关于直线y=x对称,由于对数函数是由指数函数关于直线y=x变化而得到的,也可以在用描点法作对数函数的图象时,对调同底数的指数函数的对应值里的x、y即可.所以在研究对数函数的图象和性质时,要紧扣指数函数的图象和性质.问题思路探究问题1 在同一坐标系中,画出函数y=log3x,y=,y=log2x,y=的图象,比一比,看它们之间有何区别与联系. 思路:利用对数函数的图象与性质可比较底数相同,真数不同的对数值的大小;可比较底数不同,真数相同的对数值的大小;也可比较底数与真数都不同的对数值的大小. 一般地,如果两对数的底数不同而真数相同,如y=x与y=x的比较(a10,a11,a20,a21).当a1a21时,曲线y1比y2的图象(在第一象限)上升得慢,即当x1时,y1y2; 当0x1时,y1y2.而在第一象限内,图象越靠近x轴的对数函数的底数越大.当0a2a11时,曲线y1比y2的图象(在第四象限内)下降得快,即当x1时,y1y2;当0x1时,y1y2,即在第四象限内,图象越靠近x轴的对数函数的底数越小.当0a21a1时,曲线y1和y2的图象分布在不同象限. 即当x1时, y200y1探究:从图象可以看到:所有图象都跨越一、四象限,任何两个图象都是交叉出现的,交叉点是(1,0),当a1时,图象向下与y轴的负半轴无限靠拢,在点(1,0)的右侧,函数值恒大于0,对同一自变量x而言,底数越大,函数值越小,在点(1,0)的左侧,函数值恒小于0,对同一自变量x而言,底数越大,函数值越大;当0a1时,图象向上与y轴的正半轴无限靠拢,在点(1,0)的左侧,函数值恒大于0,对同一自变量x而言,底数越大,函数值越大,在点(1,0)的右侧,函数值恒小于0,对同一自变量x而言,底数越大,函数值越小;由此我们知道,对于对数函数y=logax,当y=1时,x=a,而a恰好又是对数函数的底数,这就启发我们,不妨作直线y=1,它同各个图象相交,交点的横坐标恰好就是对数函数的底数,以此可比较底数的大小.同时,根据不同图象间的关系,也可比较真数相同,底数不同的对数函数值的大小,如log23log1.53,log20.5 log0.62等. 问题2 怎样画对数函数y=logax(a0, a1)的图象?至少要描出哪几个关键点?思路:(1)要善于对照指数函数与对数函数的关系来画图象;(2)从联系的角度研究画对数函数图象的方法,对深化理解对数函数的图象与性质很有帮助.探究:画对数函数y=logax(a0, a1)的图象依据它与指数函数y=ax(a0, a1)的图象关于直线y=x对称,用找对称点作对称图形的方法来画,也可以用列表、描点、连线的方法来画画图象时首先要分清底数a1还是0a log66=1, log76log76;(2)因为log38 log31=0, log20.7log20.7. 深化升华 注意此处空半格利用对数函数的增减性比较两个对数的大小,当不能直接比较时,经常在两个对数中间插入1或0等,间接比较两个对数值的大小.利用对数的单调性可解简单的对数不等式.例2 已知(1)log2(2x-1)1,(2)已知log1/2(2x-1)0,试分别求x的取值范围.思路解析:利用对数的单调性可解简单的对数不等式.解:(1)log2(2x-1)1,即log2(2x-1)log22,2x-12,解得x, 即x的范围是x(,+).(2)由已知得log2(2x-1)lg1,02x-11,0x1. 误区警示 注意此处空半格解对数不等式的关键是善于把真数视为一个整体,用对数函数的单调性构造不等式.但一定要注意真数大于零这一隐含条件.例3 求函数y=的定义域.思路解析:定义域是使解析式的各部分有意义的交集.解:要使函数有意义,必须且只即-3x-2,或-2x1.函数的定义域为(-3,-2)(-2,1. 深化升华 注意此处空半格求函数定义域时,常见的限制条件有:分母不为零,开偶次方时被开方数非负,对数的真数大于零,底数大于零且不等于1等.例4 试求满足不等式2(log0.5x)2+9log0.5x+90的x的范围.思路解析:把log0.5x看作一个变量t,原不等式即变为关于t的一元二次不等式,可求出t的取值范围,进而再求出x的取值范围.解:令t=log0.5x,则原不等式可化为2t2+9t+90,解得-3t-, 即-3log0.5x-.又-3=log0.50.5-3,-=.x0.5-3,即2x8. 深化升华 注意此处空半格求复合函数的最值时,一般要注意函数有意义的条件,来决定中间变量的取值范围,并综合运用求最值的各种方法求解.例5 求函数y=log0.3(2x+8-x2)的单调区间和值域.思路解析:利用复合函数的单调性法则(同增异减),而求值域的关键是先求出对数的真数的取值范围,再由对数函数的单调性求得对数值的范围.解:因为2x+8-x20,即x2-2x-80,解得-2x4,所以此函数的定义域为(-2,4), 又令u=2x+8-x2,则y=log0.3u.因为y=log0.3u为定义域上的减函数, 所以y=log0.3(2x+8-x2)的单调性与u=2x+8-x2的单调性相反. 对于函数u=2x+8-x2,x(-2,4). 当x(-2,1时为增函数;当x1,4)时为减函数. 所以函数y=log0.3(2x+8-x2)的增区间为1,4),减区间为(-2,1, 又因为u=2x+8-x2=-(x-1)2+9, 所以当x(-2,4)时, 0uqlog0.3ulog0.39, 即函数y=log0.3(2x+8-x2)的值域为 log0.39,+) 拓展延伸 注意此处空半格考查对数函数与其他函数组成的复合函数时,要注意利用复合函数的单调性法则和函数单调性的定义;考查对数函数的值域问题时,要注意只有当对数的真数取到所有的正数时,对数值才可能取到所有的实数.例6 作出下列各函数的图象,并说明它们的图象可由y=log3x的图象经过怎样变换得到:(1) y=log3|x|;(2)y=|log3x|.思路解析:作含绝对值符号的函数图象,可先由绝对值定义去绝对值,写成分段函数的形式,也可依翻折变换的规律变换得出.解:(1)原函数可化为y=它的图象如图(1)所示. 先作出函数y=log3x的图象,再将所得图象沿y轴对称到y轴左侧,所得
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