高中数学 5.3 不等式的证明 5.3.4 放缩法知识导航学案 苏教版选修45.doc_第1页
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5.3.4 放缩法自主整理 在证明不等式时,有时我们要把所证不等式的一边适当地_以利化简,并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显,从而得到欲证的不等式成立,这种方法称为_.高手笔记1.放缩法多借助于一个或多个中间量进行放大或缩小,如欲证ab,需通过bb1,b1b2bia(或aa1,a1a2aib),再利用传递性,达到证明的目的.2.放缩法的理论依据主要有:(1)不等式的传递性;(2)等量加不等量为不等量;(3)同分子(分母)、异分母(分子)的两个分式大小的比较;(4)基本不等式与绝对值不等式的基本性质;(5)三角函数的有界性.名师解惑使用放缩法时常用的技巧有哪些?剖析:放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一,放缩必须有目标,而且要恰到好处,目标往往要从证明的结论考察,常用的放缩方法有增项、减项,利用分式的性质,利用不等式的性质,利用已知不等式,利用函数的性质进行放缩,比如:(a+)2+1(a+)2, ,(k1)等变形.讲练互动【例1】已知(0,),求证:sinn+cosn1(n2且nn).分析:当n=2时,sin2+cos2=1,要证不等式成立,只需证sin2sinn,cos2cosn即可.证明:当n=2时,sin2+cos2=1.(0,),0sin1,0cos1.当n2时,cosncos2,sinnsin2.cosn+sinncos2+sin2=1.不等式成立.绿色通道 不等式的左边不易合并,但右边的“1”比较熟悉,联想到sin2+cos2=1,再利用指数函数的单调性将cosn放大为cos2,sinn放大为sin2即可合并.变式训练1.求证:()n+()n1(nn*).证明:()n,()n,()n+()n+=2时,求证:logn(n-1)logn(n+1)2,logn(n-1)0,logn(n+1)0,且logn(n-1)logn(n+1).logn(n-1)logn(n+1)2=22时,logn(n-1)logn(n+1)1成立.绿色通道 在进行对数之积运算时往往要利用基本不等式放大为对数之和进行运算,对照不等式的右边进行适当放缩.变式训练2.求证:lg9lg110,lg110,且lg9lg11,lg9lg11()2=()2()2=1,lg9lg110.,.=.a+bc,0.0+1+1.,即成立.【例4】求证:1+.分析:不等式的左边无法进行合并,观察到右边有2倍关系,可将改写为,即=2()进行放缩.证明:当n2时,=2(),即.,.各式左、右两边分别相加,得1+1+()+()+()=-1 ,即1+成立.绿色通道 放缩法证明不等式,变形技巧一般包括:缩小分母,扩大分子,分式值增大,缩小分子,扩大分母,分式值缩小;增项、减项;分子或分母有理化等.变式训练4.
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