江苏2018版高考数学复习二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题教师用书理苏教版.docx

第七章 不等式 7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题教师用书 理 苏教版1.二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式AxByC0在平面直角坐标系中表示直线AxByC0某一侧所有点组成的平面区域.我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线.当我们在坐标系中画不等式AxByC0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线.(2)由于对直线AxByC0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入AxByC，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0By0C的符号即可判断AxByC0表示的直线是AxByC0哪一侧的平面区域.2.线性规划相关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的一次不等式线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值的函数线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题3.重要结论画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证.【知识拓展】1.利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域：对于AxByC0或AxByC0时，区域为直线AxByC0的上方；(2)当B(AxByC)0表示的平面区域一定在直线AxByC0的上方.()(3)点(x1，y1)，(x2，y2)在直线AxByC0同侧的充要条件是(Ax1By1C)(Ax2By2C)0，异侧的充要条件是(Ax1By1C)(Ax2By2C)0.()(4)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy解析因为A，B两点在直线x2y30的同侧，所以把点A(1,0)，B(2，m)代入可得x2y3的符号相同，即(1203)(22m3)0，解得m.2.(教材改编)如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是_.答案解析不等式y2x1表示直线y2x1下方的平面区域及直线上的点，不等式x2y4表示直线x2y4上方的平面区域，所以这两个平面区域的公共部分就是所表示的平面区域.3.(2016北京改编)若x，y满足则2xy的最大值为_.答案4解析不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.令z2xy，则y2xz，作直线2xy0并平移，当直线过点A时，截距最大，即z取得最大值，由得所以A点坐标为(1,2)，可得2xy的最大值为2124.4.(教材改编)若则zxy的最大值为_.答案1解析根据题意作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分所示(含边界).令z0，作直线l：yx0.当直线l向下平移时，所对应的zxy的函数值随之增大，当直线l经过可行域的顶点M时，zxy取得最大值.顶点M是直线xy1与直线y0的交点，解方程组得顶点M的坐标为(1,0)，代入zxy，得zmax1.5.(教材改编)投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米.现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为_(用x，y分别表示生产A，B产品的吨数，x和y的单位是百吨).答案解析用表格列出各数据AB总数产品吨数xy资金200x300y1 400场地200x100y900所以不难看出，x0，y0,200x300y1 400,200x100y900.题型一二元一次不等式(组)表示的平面区域命题点1不含参数的平面区域问题例1(1)不等式组所表示的平面区域的面积等于_.答案解析由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分，A(0，)，B(1,1)，C(0,4)，则ABC的面积为1.(2)(教材改编)画出二元一次不等式组表示的平面区域.解先画出直线xy50(画成虚线)，取O(0,0)代入xy550，原点不在xy50表示的平面区域内，即xy50表示直线xy50左上方点的集合，同理可得：xy0表示直线xy0上及其右上方点的集合，x3表示直线x3上及其左边的点的集合.故此二元一次不等式组表示的平面区域为图中阴影部分所示.命题点2含参数的平面区域问题例2(1)(2015重庆改编)若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为_.(2)若不等式组所表示的平面区域被直线ykx分为面积相等的两部分，则k的值是_.答案(1)1(2)解析(1)不等式组表示的平面区域如图，则图中A点纵坐标yA1m，B点纵坐标yB，C点横坐标xC2m，SABDSACDSBCD(22m)(1m)(22m)，m1或m3，又当m3时，不满足题意，应舍去，m1.(2)不等式组表示的平面区域如图所示.由于直线ykx过定点.因此只有直线过AB中点时，直线ykx能平分平面区域.因为A(1,1)，B(0,4)，所以AB中点D.当ykx过点时，所以k.思维升华(1)求平面区域的面积：首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可.(2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解.(1)若函数y2x图象上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为_.(2)(2016江苏徐州四校模拟)若不等式组表示的平面区域是一个三角形及其内部，则a的取值范围是_.答案(1)1(2)5,7)解析(1)在同一直角坐标系中作出函数y2x的图象及所表示的平面区域，如图阴影部分所示.由图可知，当m1时，函数y2x的图象上存在点(x，y)满足约束条件，故m的最大值为1.(2)不等式xy50和0x2表示的平面区域如图所示.因为原不等式组表示的平面区域是一个三角形及其内部，所以由图可知5a0，x，y满足约束条件若z2xy的最小值为1，则a_.答案(1)2(2)解析(1)不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.易知A(2,0)，由得B(1,1).由zaxy，得yaxz.当a0时，显然不满足题意；当a0时，zaxy在A(2,0)处取得最大值，z2a4，a2，满足题意.(2)作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分).易知直线z2xy过交点A时，z取最小值，由得zmin22a1，解得a.思维升华(1)先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值.(2)当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义：表示点(x，y)与原点(0,0)的距离，表示点(x，y)与点(a，b)的距离；表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率，表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率.(3)当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件.(1)(2016江苏大港中学质检)设m1，在约束条件下，目标函数zx5y的最大值为4，则m的值为_.(2)(2016江苏天一中学月考) 已知x，y满足约束条件如果(2，)是zaxy取得最大值时的最优解，则实数a的取值范围是_.答案(1)3(2)，)解析(1)作出可行域.把目标函数化为yx，显然只有yx在y轴上的截距最大时z值最大，根据图形，目标函数在点A处取得最大值，由得A，代入目标函数，即4，解得m3.(2)画出可行域如图，将目标函数化为直线的斜截式方程yaxz，当目标函数的斜率大于等于3yx2的斜率时，直线yaxz在点(2，)处截距最小，即a时，(2，)是目标函数zaxy取得最大值时的最优解.题型三线性规划的实际应用问题例6某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时.若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元.(1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润(元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？解(1)依题意每天生产的伞兵个数为100xy，所以利润5x6y3(100xy)2x3y300.(2)约束条件为整理得目标函数为2x3y300，作出可行域，如图所示，作初始直线l0：2x3y0，平移l0，当l0经过点A时，有最大值，由得最优解为A(50,50)，此时max550元.故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，且最大利润为550元.思维升华解线性规划应用问题的一般步骤(1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系.(2)设元：设问题中起关键作用(或关联较多)的量为未知量x，y，并列出相应的不等式组和目标函数.(3)作图：准确作出可行域，平移找点(最优解).(4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值).(5)检验：根据结果，检验反馈.某电视机厂计划在下一个生产周期内生产两种型号电视机，每台A型和B型电视机所得利润分别为6和4个单位，而生产一台A型和B型电视机所耗原料分别为2和3个单位，所需工时分别为4和2个单位，如果允许使用的原料为100个单位，工时为120个单位，且A型和B型电视机产量分别不低于5台和10台，应当生产每种类型电视机多少台，才能使利润最大？解设生产A型电视机x台，B型电视机y台，则根据已知条件知线性约束条件为即线性目标函数为z6x4y.根据约束条件作出可行域如图中阴影部分整点所示，作直线l0：3x2y0，当直线l0平移至点A时，z取最大值，解方程组得所以生产两种类型电视机各20台时，所获利润最大.7.含参数的线性规划问题典例(1)在直角坐标系xOy中，若不等式组表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是_.(2)已知x，y满足约束条件若zaxy的最大值为4，则a_.错解展示解析(1)如图，直线yk(x1)1过点(1，1)，作出直线y2x，当k1或0k2时，不等式组表示一个三角形区域.(2)由不等式组表示的可行域，可知zaxy在点A(1,1)处取到最大值4，a14，a3.答案(1)(，1)(0,2)(2，)(2)3现场纠错解析(1)直线yk(x1)1过定点(1，1)，当这条直线的斜率为负值时，该直线与y轴的交点必须在坐标原点上方，即直线的斜率为(，1)，只有此时可构成三角形区域.(2)作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.由得A(1,1).zaxy等价于yaxz，因为z的最大值为4，即直线yaxz的纵截距最大为4.若zaxy在A(1,1)处取得最大值，则纵截距必小于2，故只有直线yaxz过点(2,0)且a0所表示的平面区域内，则m的取值范围是_.答案(1，)解析由2m350，得m1.2.(2016江苏苏州暑期检测)已知变量x，y满足约束条件则目标函数z2xy的最大值是_.答案7解析作出可行域，如图：由图可知，当目标函数过点A(5,3)时，z取最大值，所以zmax2537.3.直线2xy100与不等式组表示的平面区域的公共点有_个.答案1解析由不等式组画出可行域的平面区域如图(阴影部分).直线2xy100恰过点A(5,0)，且其斜率k2kAB，即直线2xy100与平面区域仅有一个公共点A(5,0).4.若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是_.答案(0,1解析不等式组表示的平面区域如图(阴影部分)，求A，B两点的坐标分别为和(1,0)，若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是0a1或a.5.(2016天津改编)设变量x，y满足约束条件则目标函数z2x5y的最小值为_.答案6解析由约束条件作出可行域如图所示，目标函数可化为yxz，在图中画出直线yx，平移该直线，易知经过点A时z最小.又知点A的坐标为(3,0)，zmin23506.6.设x，y满足约束条件则z2xy的最大值为_.答案8解析画出可行域如图所示.由z2xy，得y2xz，欲求z的最大值，可将直线y2x向下平移，当经过区域内的点，且满足在y轴上的截距z最小时，即得z的最大值，如图，可知当过点A时z最大，由得即A(5,2)，则zmax2528.7.(2016江苏)已知实数x，y满足则x2y2的取值范围是_.答案解析已知不等式组所表示的平面区域如下图.x2y2表示原点到可行域内的点的距离的平方.解方程组得A(2,3).由图可知(x2y2)min2，(x2y2)maxOA2223213.8.(2017苏北三市质检)若实数x，y满足约束条件则|3x4y10|的最大值为_.答案解析作出实数x，y在约束条件下的平面区域(如图所示)，令z3x4y10，则平移直线3x4y0经过点A(1,0)时，zmax3107；平移直线3x4y0经过点B(，)时，zmin310，即z3x4y107，从而7|3x4y10|，所求的|3x4y10|的最大值为.*9.已知变量x，y满足约束条件若zx2y的最大值与最小值分别为a，b，且方程x2kx10在区间(b，a)上有两个不同实数解，则实数k的取值范围是_.答案(，2)解析作出可行域，如图所示，则目标函数zx2y在点(1,0)处取得最大值1，在点(1,1)处取得最小值3，a1，b3，从而可知方程x2kx10在区间(3，1)上有两个不同实数解.令f(x)x2kx1，则k0，令t|2xy2|6x3y|，当2xy20时，tx2y4.点(x，y)可取区域内的点(含边界).通过作图可知，当直线tx2y4过点A(，)时，t取最小值，tmin43.当2xy28343.综上，tmin3，即|2xy2|6x3y|的最小值是3.*13.给定区域D：令点集T(x0，y0)D|x0，y0Z，(x0，y0)是zxy在D上取得最大值或最小值的点，则T中的点共确定_条不同的直线.答案6解析作出图形可知，ABF所围成的区域即为区域D，其中A(0,1)是z在D上取得最小值的点，B，C，D，E，F是z在D上取得最大值的点，则T中的点共确定AB，AC，AD，AE，AF，BF共6条不同的直线.14.已知D是以点A(4,1)，B(1，6)，C(3，2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部).如图所示.(1)写出表示区域D的不等式组；(2)设点B(1，6)，C(3,2)在直线4x3ya0的异侧，求a的取值范围.解(1)直线AB，AC，BC的方程分别为7x5y230，x7y110,4xy100.原点(0,0)在区域D内，故表示区域D的不等式组为(2)根据题意有4(1)3(6)a4(3)32a0，即(14a)(18a)0，解得18a14.故a的取值范围是(18,14).15.某客运公司用A、B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次.A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆.若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？解设A型、B型车辆分别为x、y辆，相应营运成