高考数学第一轮总复习 2.4 指数函数课件（含高考真题和模拟题）新人教A版.ppt

第四节指数函数 知识梳理 1 根式 1 n次方根的定义 若 则x叫做a的n次方根 其中n 1且n n 式子叫做根式 这里n叫做根指数 a叫做被开方数 xn a 2 n次方根的性质 一个数a的奇次方根只有一个 即 n为奇数 a r 一个正数a的偶次方根有两个 即 n为非零偶数 0的偶次方根为 没有偶次方根 两个公式 0 负数 a a a a 2 有理数指数幂 1 分数指数幂的意义 正分数指数幂 a 0 m n n 且n 1 负分数指数幂 a 0 m n n 且n 1 0的正分数指数幂等于0 0的负分数指数幂 没有意义 2 有理数指数幂的运算性质 aras a 0 r s q ar s a 0 r s q ab r a 0 b 0 r q 上述有理数指数幂的运算性质 对于无理数指数幂也适用 ar s ars arbr 3 指数函数的定义 图象与性质 y ax x r 0 0 1 0 y 1 0 y 1 y 1 增函数 减函数 考点自测 1 思考 给出下列命题 都等于a n n 2a 2b 2ab 函数y 3 2x与y 2x 1都不是指数函数 若am0且a 1 则m n 函数y 2 x在r上为单调减函数 其中正确的是 a b c d 解析 选d 错误 当n为偶数 a1时 mn 正确 y 2 x 根据指数函数的性质可知函数在r上为减函数 2 2013 浙江高考 已知x y为正实数 则 a 2lgx lgy 2lgx 2lgyb 2lg x y 2lgx 2lgyc 2lgx lgy 2lgx 2lgyd 2lg xy 2lgx 2lgy 解析 选d 选项a 2lgx lgy 2lgx 2lgy 故a错误 选项b 2lgx 2lgy 2lgx lgy 2lg x y 故b错误 选项c 2lgx lgy 2lgx lgy 故c错误 3 2014 厦门模拟 函数y 2 x 的值域为 a 0 b 1 c 1 d 0 1 解析 选b 因为 x 0 所以2 x 20 1 即 y 1 4 2014 郑州模拟 已知函数f x 4 ax 1的图象恒过定点p 则点p的坐标是 a 1 5 b 1 4 c 0 4 d 4 0 解析 选a 由a0 1知 当x 1 0 即x 1时 f 1 5 即图象必过定点 1 5 5 函数y ax a 0 且a 1 的图象可能是 解析 选d 当a 1时 y ax 为增函数 且在y轴上的截距为0 1 1 排除a b 当0 a 1时 y ax 为减函数 且在y轴上的截距为1 0 故选d 6 指数函数y 2 a x在定义域内是减函数 则a的取值范围是 解析 由题意知 0 2 a 1 即1 a 2 答案 1 2 考点1指数幂的运算 典例1 化简 1 解题视点 1 将根式化为分数指数幂 负分数指数幂化为正分数指数幂 底数能化为指数幂的尽量化成指数幂 然后运用幂的运算性质进行计算 2 将根式化为分数指数幂 然后运用幂的运算性质进行计算 规范解答 1 原式 22 33 7 2 1 98 规律方法 指数幂运算的一般原则 1 有括号的先算括号里的 无括号的先做指数运算 2 先乘除后加减 负指数幂化成正指数幂的倒数 3 底数是负数 先确定符号 底数是小数 先化成分数 底数是带分数的 先化成假分数 4 若是根式 应化为分数指数幂 尽可能用幂的形式表示 运用指数幂的运算性质来解答 提醒 运算结果不能同时含有根号和分数指数 也不能既有分母又含有负指数 变式训练 化简下列各题 解析 1 原式 加固训练 已知 解析 因为 4 所以m m 1 2 16 所以m m 1 14 所以 考点2指数函数图象的应用 典例2 1 2013 新课标全国卷 若存在正数x使2x x a 1成立 则a的取值范围是 a b 2 c 0 d 1 2 k为何值时 方程 3x 1 k无解 有一解 有两解 解题视点 1 将2x x a 1 转化为x a 2 x 然后分别画出f x x a g x 2 x的图象 数形结合分析求解 2 在同一坐标系中分别作出函数y 3x 1 与y k的图象 数形结合求解 规范解答 1 选d 因为2x 0 所以由2x x a 0时 g x 2 x0 使2x x a 1 所以选d 2 函数y 3x 1 的图象是由函数y 3x的图象向下平移一个单位后 再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的 函数图象如图所示 当k 0时 直线y k与函数y 3x 1 的图象无交点 即方程无解 当k 0或k 1时 直线y k与函数y 3x 1 的图象有唯一的交点 所以方程有一解 当0 k 1时 直线y k与函数y 3x 1 的图象有两个不同的交点 所以方程有两解 互动探究 若将本例 2 变为函数y 3x 1 在 k 上单调递减 则k的取值范围如何 解析 由本例 2 作出的函数y 3x 1 的图象知 其在 0 上单调递减 所以k 0 易错警示 应用图象时应关注所画图象范围 形状的准确性应用指数函数的图象解决指数方程 不等式问题以及指数型函数的性质 要注意画出图象的准确性 否则数形结合得到的可能为错误结论 规律方法 指数函数图象可解决的两类热点问题及思路 1 求解指数型函数的图象与性质问题对指数型函数的图象与性质问题 单调性 最值 大小比较 零点等 的求解往往利用相应指数函数的图象 通过平移 对称变换得到其图象 然后数形结合使问题得解 2 求解指数型方程 不等式问题一些指数型方程 不等式问题的求解 往往利用相应指数型函数图象数形结合求解 变式训练 1 2014 宜昌模拟 函数f x ax b的图象如图 其中a b为常数 则下列结论正确的是 a a 1 b1 b 0c 00d 0 a 1 b 0 解析 选d 由f x ax b的图象可以观察出 函数f x ax b在定义域上单调递减 所以0 a 1 函数f x ax b的图象是在y ax的基础上向左平移得到的 所以b 0 故选d 2 2014 天津模拟 若函数y 2 x 1 m的图象不经过第一象限 则m的取值范围是 解析 y m 函数y 的图象如图所示 则要使其图象不经过第一象限 则m 2 答案 m 2 加固训练 1 在同一坐标系中 函数y 2x与y 的图象之间的关系是 a 关于y轴对称b 关于x轴对称c 关于原点对称d 关于直线y x对称 解析 选a 由y 2 x 知其与y 2x图象关于y轴对称 2 函数f x 2x x 2的零点个数为 解析 令f x 0得2x x 2 在同一坐标系中分别作出函数y 2x与y x 2的图象知 其有一个交点 则函数f x 有一个零点 答案 1 考点3指数函数性质的应用 考情 指数函数的性质主要是其单调性 特别受到高考命题专家的青睐 常以选择题 填空题的形式出现 考查幂值大小比较 解简单指数不等式 判断指数型函数单调性 区间 以及求指数型函数最值 值域 等问题 高频考点通关 典例3 1 2014 宁波模拟 设y1 40 7 y2 80 45 y3 则 a y3 y1 y2b y2 y1 y3c y1 y2 y3d y1 y3 y2 2 2014 石家庄模拟 若集合a 则函数y 2x 2 x x a 的值域为 解题视点 1 利用指数幂的运算性质 分别将y1 y2 y3化为同底数的幂 再利用单调性比较大小 2 先利用幂的运算性质将a中指数幂化为同底数幂 并利用单调性求得集合a 再根据y 2x 2 x的单调性求其值域 规范解答 1 选a 因为y1 40 7 21 4 y2 80 45 21 35 y3 21 5 又函数y 2x在r上为增函数 且1 35 1 4 1 5 所以21 35 21 4 21 5 即y2 y1 y3 2 a x x2 x 4 2x x x2 3x 4 0 4 1 又因为函数y 2x 2 x在 4 1 上单调递增 所以2 4 24 y 2 2 1 故y 答案 通关锦囊 特别提醒 在研究指数型函数的单调性时 当底数与 1 的大小关系不明确时 要分类讨论 通关题组 1 2012 天津高考 已知a 21 2 b c 2log52 则a b c的大小关系为 a c b ab c a bc b a cd b c a 解析 选a 因为b 20 8 21 2 a c 2log52 log522 log55 1 20 8 b 所以c b a 所以选a 2 2014 漳州模拟 设函数f x 若f a 1 则实数a的取值范围是 a 3 b 1 c 3 1 d 3 1 解析 选c 若a 0 则由f a 1得 7 1 即所以 3 a 0 若a 0 则由f a 1得 1 所以0 a 1 综上 a的取值范围是 3 a 1 即 3 1 3 2014 张家界模拟 函数f x 的图象 a 关于原点对称b 关于直线y x对称c 关于x轴对称d 关于y轴对称 解析 选d f x f x 所以f x 是偶函数 图象关于y轴对称 4 2012 山东高考 若函数f x ax a 0 a 1 在 1 2 上的最大值为4 最小值为m 且函数g x 1 4m 在 0 上是增函数 则a 解析 若a 1 有a2 4 a 1 m 此时a 2 m 此时g x 为减函数 不合题意 若0 a 1 有a 1 4 a2 m 故检验知符合题意 答案 加固训练 1 2014 海口模拟 函数f x 的定义域为 值域为 单调减区间为 单调增区间为 解析 依题意x2 5x 4 0 解得x 4或x 1 所以f x 的定义域是 1 4 因为 0 所以f x 30 1 所以函数f x 的值域是 1 令所以当x 1 时 u是减函数 当x 4 时 u是增函数 而3 1 所以由复合函数的单调性可知 f x 在 1 上是减函数 在 4 上是增函数 答案 1 4 1 1 4 2 2014 北京模拟 已知函数f x a 0且a 1 1 求f x 的定义域 2 讨论f x 的奇偶性 3 讨论f x 的单调性 解析 1 f x 的定义域是r 2 因为f x f x 所以f x 是奇函数 3 f x 设x1 x2是r上任意两个实数 且x1 x2 则f x1 f x2 因为x1 x2 所以当a 1时 0 从而所以f x1 f x2 0 即f x1 f x2 f x 为r上的增函数 当0 a 1时 0 从而所以f x1 f x2 0 即f x1 f x2 f x 为r上的减函数 巧思妙解1 巧用换元法求解指数型函数 方程 不等式问题 典例 2014 长沙模拟 函数f x 在x 3 2 上的值域是 常规解法 因为x 3 2 所以当时 f x min 当 8时 f x max 57 所以函数f x 的值域为答案 解法分析 1 利用幂的运算性质将函数整理为以为变量的函数 然后求解 这是同时含有ax与a2x a 0且a 1 的函数 方程 不等式问题的常规解法 2 解法体现了转化与化归思想 但计算量较大 求解中易出错 巧妙解法 因为x 3 2 若令t 则t y t2 t 1 当t 时 ymin 当t 8时 ymax 57 答案 妙解分析 1 阴影处用换元法 把函数f x 转化为y t2 t 1 其中t 将问题转化为求二次函数在闭区间上的最值 值域 问题 从而减少了运算量 2 对于