对数与对数函数-知识点与题型归纳.doc

高考明方向1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点3.知道对数函数是一类重要的函数模型4.了解指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数(a0，且a1)备考知考情通过对近几年高考试题的统计分析可以看出，本节内容在高考中属于必考内容，且占有重要的分量，主要以选择题的形式命题，也有填空题和解答题主要考查对数运算、换底公式等及对数函数的图象和性质对数函数与幂、指数函数结合考查，利用单调性比较大小、解不等式是高考的热点.一、知识梳理名师一号P27注意：知识点一 对数及对数的运算性质1.对数的概念 一般地，对于指数式abN，我们把“以a为底N的对数b”记作logaN，即blogaN(a0，且a1)其中，数a叫做对数的底数，N叫做真数，读作“b等于以a为底N的对数”注意：(补充)关注定义-指对互化的依据2对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a0且a1，M0，N0，那么loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM(nR)；logamMnlogaM.(2)对数的性质alogaNN；logaaNN (a0，且a1)(3)对数的重要公式换底公式：logbN(a，b均大于零且不等于1)；logab，推广logablogbclogcdlogad.注意：(补充)特殊结论:知识点二 对数函数的图象与性质1.对数函数的图象与性质（注意定义域!） a1 0a0，a1，N0)练习:(补充)已知求答案: 例3.名师一号P28 高频考点 例1(2)已知函数f(x)则f(f(1)f的值是()A5B3C1D.因为f(1)log210，所以f(f(1)f(0)2.因为log30，所以f3131213.所以f(f(1)f235.二、对数函数的图象及性质的应用例1. (补充)求下列函数的定义域 (1)y. (2)ylog(x1)(164x)解析：(1)由函数定义知： 即x1.故原函数的定义域是x|x1(2)由函数有意义知即1x2，且x0.故原函数的定义域为x|1x0，或0x0恒成立，a24a04a0，即a的范围为(4,0)例2.名师一号P27 对点自测5(2014重庆卷)函数f(x)log2log (2x)的最小值为_解析根据对数运算性质，f(x)log2log (2x)log2x2log2(2x)log2x(1log2x)(log2x)2log2x2，当x时，函数取得最小值.注意：换元后“新元”的取值范围练习：1、求下列函数的值域（1）ylog(x22x4) 答案1，)（2）f(x)logx3log2x22解析令tlog2x，x21t1.函数化为yt26t2(t3)271t1.当t1，即x时，ymax9.当t1，即x2时，ymin3，函数的值域为3,9.2、已知集合 求实数a的取值范围分析当且仅当f(x)x2axa的值能够取遍一切正实数时，ylog2(x2axa)的值域才为R.而当0恒成立，仅仅说明函数定义域为R，而f(x)不一定能取遍一切正实数(一个不漏)要使f(x)能取遍一切正实数，作为二次函数，f(x)图像应与x轴有交点(但此时定义域不再为R)正解要使函数ylog2(x2axa)的值域为R，应使f(x)x2axa能取遍一切正数，要使f(x)x2axa能取遍一切正实数，应有a24a0，a0或a4，所求a的取值范围为(，40，)例3. （1）名师一号P27 对点自测4已知a0且a1，则函数yloga(x2 015)2的图象恒过定点_解析令x2 0151，即x2 014时，y2，故其图象恒过定点(2 014,2)练习: 无论a取何正数(a1)，函数恒过定点 【答案】注意：对数函数图象都经过定点(1, 0) 例3. （2） (补充)如右下图是对数函数ylogax，ylogbx，ylogcx，ylogdx的图象，则a、b、c、d与1的大小关系是 ()Aab1cd Bba1dcC1abcd Dab1dc【答案】B在上图中画出直线y1，分别与、交于A(a,1)、B(b,1)、C(c,1)、D(d,1)，由图可知cd1a0，且a1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是() 答案： B.例4.名师一号P28 高频考点 例3已知函数f(x)log4(ax22x3)(1)若f(1)1，求f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由解析:(1)f(1)1，log4(a5)1，因此a54，a1.这时f(x)log4(x22x3)由x22x30得1xbc Bbac Cacb Dcab【规范解答】方法1：在同一坐标系中分别作出函数ylog2x，ylog3x，ylog4x的图象，如图所示由图象知：log23.4log3log43.6.方法2：log3log331，且3.4，log3log33.4log23.4.log43.61，log43.6log3log43.6.由于y5x为增函数，故acb.注意：名师一号P28 问题探究 问题3比较幂、对数大小有两种常用方法：数形结合；找中间量结合函数单调性练习:1、若0xy1，则()A3y3x Blogx3logy3Clog4xlog4y D. xy解析：0xy1，由y3u为增函数知3x3y，排除A；log3u在(0,1)内单调递增，log3xlog3ylogy3，B错由ylog4u为增函数知log4xy，排除D.答案：C2、对于0a1，给出下列四个不等式loga(1a)loga(1)；a1aa.其中成立的是()A与 B与C与 D与答案：D 解析：由于0a1a1aloga(1)，a1aa.选D.四、对数方程与不等式例1.(1)(补充)方程log3(x210)1log3x的解是_答案x5解析原方程化为log3(x210)log3(3x)，由于log3x在(0，)上严格单增，则x2103x，解之得x15，x22.要使log3x有意义，应有x0，x5.注意： 依据对数函数恒单调求解。例1.(2) 温故知新P32 第9题 已知函数，且关于的方程有且只有一个实根，则实数的取值范围是 练习：温故知新P31 第5、6题 温故知新P29 第10题例2.（1） (补充)已知0a1，loga(1x)logax则()A0x1 Bx C0x D.x1分析：底数相同，真数不同，可利用对数函数ylogax的单调性脱去对数符号转化为整式不等式求解解析：0a1时，ylogax为减函数，原不等式化为，解得0x.例2.(2)(补充)设0a1，函数f(x)loga(a2x2ax2)，则使f(x)0的x取值范围是()A(，0) B(0，)C(，loga3) D(loga3，)解析：0a1loga(a2x2ax2)1a2x2ax30ax3或ax1(舍)xloga3，故选C.注意： 关于含对数式(或指数式)的不等式求解， 一般都是用单调性或换元法求解例2.（3）名师一号P28 高频考点 例2(2)当0x时，4xlogax，则a的取值范围是()A. B. C(1，) D(，2)解析：由题意得，当0a1时，要使得4xlogax，即当0x时，函数y4x的图象在函数ylogax图象的下方又当x时，42，即函数y4x的图象过点，把点代入函数ylogax，得a，若函数y4x的图象在函数ylogax图象的下方，则需a1时，不符合题意，舍去所以实数a的取值范围是.答案： B.练习:当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是_。xy012y1=(x-1)2y2=logaxP (2,1)分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，图象是抛物线，右边为常见的对数函数的图象，故可以通过观察图象求解。解：设，则的图象为右图所示的抛物线，要使对一切，恒成立，, 观察图象得：只需即可。故，取值范围是。变式: 名师一号P28 变式思考2(2)不等式logax(x1)2恰有三个整数解，则a的取值范围为()A， B， )C(1， D(1, 解析:不等式logax(x1)2恰有三个整数解，画出示意图可知a1，其整数解为2,3,4，则应满足得a0.原方程有两个实数解，即方程t22t3k10有两个正实数解，则，解得k. 练习3:对任意的恒成立，求的范围.解： 由题意即对任意的恒成立 即对任意的恒成立 练习4:已知函数的定义域为，（1）求 （2）当 时，求 的最小值.解 (1) (2) =,，,