2018_19届高中数学第3章三角恒等变换3.3几个三角恒等式学案苏教版.docx

3.3几个三角恒等式学习目标1.理解积化和差、和差化积、万能公式的推导过程.2.掌握积化和差、和差化积、万能公式的结构特征.3.能利用所学三角公式进行三角恒等变换知识点一积化和差与和差化积公式思考1如何用sin()，sin()表示sincos和cossin？答案sin()sin()2sincos，即sincossin()sin()同理得cossinsin()sin()思考2若，则如何用，表示，？答案，.梳理(1)积化和差公式sin cossin()sin()cossin sin()sin()coscoscos()cos()sin sin cos()cos()(2)和差化积公式sinsin2sincos.sinsin2cossin.coscos2coscos.coscos2sinsin.知识点二万能代换公式思考结合前面所学倍角公式，能否用tan表示sin？答案sin2sincos，即sin.梳理万能公式(1)sin.(2)cos.(3)tan.知识点三半角公式思考1我们知道倍角公式中，“倍角是相对的”，那么对余弦的二倍角公式，若用替换，结果怎样？答案结果是cos2cos2112sin2cos2sin2.思考2根据上述结果，试用sin，cos表示sin，cos，tan.答案cos2，cos，同理sin，tan.思考3利用tan和倍角公式又能得到tan与sin，cos怎样的关系？答案tan，tan.梳理半角公式(1)sin.(2)cos.(3)tan.特别提醒：(1)半角公式中，根号前面的符号由所在的象限相应的三角函数值的符号确定(2)半角与倍角一样，也是相对的，即是的半角，而是2的半角1若k，kZ，则tan恒成立()2cossin.()类型一积化和差与和差化积公式例1求下列各式的值(1)sin37.5cos7.5；(2)sin20sin40sin80；(3)sin20cos70sin10sin50.解(1)sin37.5cos7.5sin(37.57.5)sin(37.57.5)(sin45sin30).(2)sin20sin40sin80cos 60cos(20)sin80sin80sin80cos20sin80(sin100sin60)sin80sin80.(3)sin20cos70sin10sin50sin 90sin(50)cos 60cos(40)sin50cos40.反思与感悟在运用积化和差公式时，如果形式为异名函数积时，化得的结果应用sin()与sin()的和或差；如果形式为同名函数积时，化得的结果应用cos()与cos()的和或差跟踪训练1化简：4sin(60)sinsin(60)解原式2sincos 120cos(2)2sinsin2sincos2sinsin3sinsin3.例2已知coscos，sinsin，求sin()的值解因为coscos，所以2sinsin.又因为sinsin，所以2cossin.因为sin0，所以由得tan，即tan.所以sin().反思与感悟和差化积公式对于三角函数式的求值、化简及三角函数式的恒等变形有着重要的作用，应用时要注意只有系数的绝对值相同的同名函数的和与差才能直接运用推论化成积的形式，如果是一正弦与一余弦的和或差，可先用诱导公式化成同名函数后，再运用推论化成积的形式跟踪训练2求sin220cos250sin20cos50的值解方法一原式(1cos40)(1cos100)sin20cos501(cos100cos40)(sin70sin30)sin70sin30sin70.方法二原式(sin20cos50)2sin20cos50(2sin30cos10)2(sin70sin30)cos210cos20cos20.类型二利用万能公式化简求值例3(1)已知cos，并且180270，求tan的值；(2)已知5，求3cos24sin2的值解(1)180270，90135，tan0.cos，tan24，tan2.(2)5，5，tan2.又cos2，sin2，3cos24sin2.反思与感悟(1)万能公式是三角函数中的重要变形公式，“倍角”的正弦、余弦、正切都可以表示为“单角”的正切的有理式的形式(2)万能公式左右两边的角的取值范围不同，在解三角函数方程时，要避免漏解跟踪训练3已知tan3，求sin22cos2的值解tan3，3，tan.sin22cos2sin2cos2111.类型三三角恒等式的证明例4求证：.证明要证原式，可以证明.左边tan 2，右边tan 2，左边右边，原等式成立反思与感悟证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一，变更论证等方法常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法跟踪训练4证明：tan.证明左边tan右边，原等式成立.1若cos，(0，)，则cos的值为_答案解析由题意知，cos0，cos.2已知，且coscos，则cos()_.答案解析coscos2coscos2coscoscos，cos()2cos2121.3已知sincos，450540，则tan_.答案2解析对已知等式两边平方，得sin，又450540，cos，tan，又tan，且(225，270)，tan2.4化简：(0)解tan，(1cos)tansin.又cossin，且1cos2sin2，原式.0，0，sin0.原式2cos.1本节重点学习了积化和差公式、和差化积公式及万能公式等，一定要清楚这些公式的形式特征同时要理解公式间的关系，立足于公式推导过程中记忆公式2三角恒等式的证明类型(1)绝对恒等式：证明绝对恒等式要根据等式两边的特征，化繁为简，左右归一，通过三角恒等变换，使等式的两边化异为同(2)条件恒等式：条件恒等式的证明要认真观察，比较已知条件与求证等式之间的联系，选择适当的途径，常用代入法、消元法、两头凑法一、填空题1若cos，是第三象限角，则_.答案解析是第三象限角，cos，sin ，tan 3.原式.2已知2sinx1cosx，则tan_.答案解析由2sinx1cosx，得tan.3在ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，若cosBcosCsinBsinC，则ABC为_三角形(填三角形的形状)答案直角解析由cosBcosCsinBsinC，得2coscos2sincos，两边同除以2cos，得sincos，即tan1，0BC，0，即BC，A，ABC为直角三角形4若2，则_.答案cos解析2，cos0，原式cos.5若tan3，则sin2cos2的值是_答案解析因为tan3，所以sin2，cos2，所以sin2cos2.6若tanm，则sin2_.答案解析因为tanm，即m，所以sin2.7已知sin，cos，则tan_.答案5解析由sin2cos21，得221，解得m0或8，当m0时，sin0，不符合.m0舍去，故m8，sin，cos，tan5.8若cos2cos2m，则sin()sin()_.答案m解析sin()sin()(cos2cos2)(2cos212cos21)cos2cos2m.9函数f(x)sinx的最小正周期是_答案2解析f(x)sinxsinxsinxtanx.因为函数f(x)的定义域为，即xk且x2k，kZ.显然有f(0)0，而f()无意义，所以T2.10已知，为锐角，且，则sinsin的取值范围是_答案解析，sinsincos()cos().，为锐角，且，0，即0，2，cos，0，sinsin的取值范围为.11若是第三象限角，且sin()cossincos()，则tan_.答案5解析sin()cossin cos()sin()sin ，又是第三象限角，cos.tan 5.二、解答题12求证：tantan.证明左边tan tan 右边原等式成立13已知在ABC中，AC，且B60，能否利