高考数学二轮复习 专题6.1.2 导数及其应用课件 理.ppt

第2课时导数及其应用 高考定位1 导数的意义和运算是导数应用的基础 是高考的一个热点 2 利用函数的单调性和最值确定函数的解析式或参数的值及解决与不等式的交汇问题等 突出考查导数的工具性作用 1 导数的几何意义 1 函数y f x 在x x0处的导数f x0 就是曲线y f x 在点 x0 f x0 处的切线的斜率 即k f x0 2 曲线y f x 在点 x0 f x0 处的切线方程为y f x0 f x0 x x0 2 基本初等函数的导数公式和运算法则 1 基本初等函数的导数公式 3 函数的单调性与导数如果已知函数在某个区间上单调递增 减 则这个函数的导数在这个区间上大 小 于零恒成立 在区间上离散点处导数等于零 不影响函数的单调性 如函数y x sinx 4 函数的导数与极值对可导函数而言 某点导数等于零是函数在该点取得极值的必要条件 例如f x x3 虽有f 0 0 但x 0不是极值点 因为f x 0恒成立 f x x3在 上是单调递增函数 无极值 5 闭区间上函数的最值在闭区间上连续的函数 一定有最大值和最小值 其最大值是区间的端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极大值中的最大者 最小值是区间端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极小值中的最小值 6 函数单调性的应用 1 若可导函数f x 在 a b 上单调递增 则f x 0在区间 a b 上恒成立 2 若可导函数f x 在 a b 上单调递减 则f x 0在区间 a b 上恒成立 3 可导函数f x 在区间 a b 上为增函数是f x 0的必要不充分条件 答案 1 1 1 2 x y 2 0 规律方法函数切线的相关问题的解决 抓住两个关键点 其一 切点是交点 其二 在切点处的导数是切线的斜率 因此 解决此类问题 一般要设出切点 建立关系 方程 组 其三 求曲线的切线要注意 过点p的切线 与 在点p处的切线 的差异 答案 1 a 2 4 热点二利用导数研究函数的性质 例2 设函数f x 1 1 a x x2 x3 其中a 0 1 讨论f x 在其定义域上的单调性 2 当x 0 1 时 求f x 取得最大值和最小值时的x的值 又f 0 1 f 1 a 所以当0 a 1时 f x 在x 1处取得最小值 当a 1时 f x 在x 0处和x 1处同时取得最小值 当1 a 4时 f x 在x 0处取得最小值 规律方法利用导数研究函数性质的一般步骤 1 确定函数的定义域 2 求导函数f x 3 若求单调区间 或证明单调性 只要在函数定义域内解 或证明 不等式f x 0或f x 0 若已知函数的单调性 则转化为不等式f x 0或f x 0在单调区间上恒成立问题来求解 4 若求极值 则先求方程f x 0的根 再检查f x 在方程根的左右函数值的符号 若已知极值大小或存在情况 则转化为已知方程f x 0根的大小或存在情况来求解 5 求函数f x 在闭区间 a b 的最值时 在得到极值的基础上 结合区间端点的函数值f a f b 与f x 的各极值进行比较得到函数的最值 当x 0 5 时 f x 0 故f x 在 0 5 内为减函数 当x 5 时 f x 0 故f x 在 5 内为增函数 由此知函数f x 在x 5时取得极小值f 5 ln5 热点三导数与方程 不等式的问题 例3 2014 浙江卷 已知函数f x x3 3 x a a 0 若f x 在 1 1 上的最小值记为g a 1 求g a 2 证明 当x 1 1 时 恒有f x g a 4 1 解因为a 0 1 x 1 所以 当0 a 1时 若x 1 a 则f x x3 3x 3a f x 3x2 3 0 故f x 在 1 a 上是减函数 若x a 1 则f x x3 3x 3a f x 3x2 3 0 故f x 在 a 1 上是增函数 所以g a f a a3 2 证明令h x f x g a 当0 a 1时 g a a3 若x a 1 h x x3 3x 3a a3 得h x 3x2 3 则h x 在 a 1 上是增函数 所以 h x 在 a 1 上的最大值是h 1 4 3a a3 且0 a 1 所以h 1 4 故f x g a 4 若x 1 a h x x3 3x 3a a3 得h x 3x2 3 则h x 在 1 a 上是减函数 所以 h x 在 1 a 上的最大值是h 1 2 3a a3 令t a 2 3a a3 则t a 3 3a2 0 知t a 在 0 1 上是增函数 所以 t a t 1 4 即h 1 4 故f x g a 4 当a 1时 g a 2 3a 故h x x3 3x 2 得h x 3x2 3 此时h x 在 1 1 上是减函数 因此h x 在 1 1 上的最大值是h 1 4 故f x g a 4 综上 当x 1 1 时 恒有f x g a 4 规律方法研究方程及不等式问题 都要运用函数性质 而导数是研究函数性质的一种重要工具 基本思路是构造函数 通过导数的方法研究这个函数的单调性 极值和特殊点的函数值 根据函数的性质推断不等式成立的情况以及方程实根的个数 必要时画出函数的草图辅助思考 1 利用公式求导时 一定要注意公式的适用范围及符号 如 xn nxn 1 其中n q cosx sinx 2 如果一个函数具有相同单调性的区间不止一个 这些单调区间不能用 连接 而只能用逗号或 和 字隔开 3 可导函数在闭区间 a b 上的最值 就是函数在该区间上的极值及端点值中的最大值与最小值 4 可导函数极值的理解 1 函数在定义域上的极大值与极小值的大小关系不确定 也有可能极小