（计算数学专业论文）多目标以及多目标分式规划的最优性条件.pdf

重庆大学硕士学位论文 中文摘要 摘要 本文研究多目标以及多目标分式规划的最优性条件，首先是在b a n a c h 空间中 利用泛函的梯度，讨论分式规划的k t 型条件，推广了文 1 】的结果；然后是在序 线性拓扑空间中利用次似凸以及g 一导数，讨论定义在序线性拓扑空间的多目标规 划，得到多目标规划的最优性条件；最后在彤空间中利用g 一( ，p ) 凸以及c l a r k e 次梯度讨论多目标分式规划的弱广义l a g r a n g e 鞍点，得到弱广义l a g r a n g e 鞍点的 充要条件。 关键词：多目标以及多目标分式规划择一定理最优性条件次似凸 g - ( f ，p ) 凸 重庆大学硕士学位论文 英文摘要 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，t h eo p t i m a t i l yc o n d i t i o n so fm u l t i o b j e c t i v ep r o g r a m m i n ga n d m u l t i o b j e c t i v ef r a c t i o n a lp r o g r a m m i n ga r ed i s c u s s e d f i r s t l yw em a k eu s e o fg r a d i e n to f f u n c t i o n a lt od i s c u s st h ek - to p t i m a t i l yc o n d i t i o n so ff r a c t i o n a lp r o g r a m m i n gi n b a n a c hs p a c e ，t h er e s u l t si np a p e r 1 】a l eg e n e r a l i z e d t h e nw eu s es u b c o n v e x l i k ea n d g a t e a u xd i f f e r e n t i a b l et od i s c u s sm u l t i o b j e c t i v ep r o g r a m m i n gi no r d e r e dl i n e a rs p a c e s ， a n dg e tt h eo p t i m a t i l yc o n d i t i o n s f i n a l l yw eu s eg 一( f ，p ) c o n v e x i t ya n dc l a r k e s u b g r a d i e n t t od i s c u s st h ew e a kg e n e r a l i z e dl a g r a n g es a d d l eo fm u l t i o b j e c t i v e f f a c t i o n a lp r o g r a m m i n gi nr 4 s p a c e ，a n dg e tt h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n s o f w e a kg e n e r a l i z e dl a g r a n g es a d d l e k e y w o r d s ：m u l t i o b j e c t i v ep r o g r a m m i n ga n dm u l t i o b j e c t i v ef r a c t i o n a lp r o g r a m m i n g , a l t e r n a t i v e t h e o r e m ，o p t i m a l i t y c o n d i t i o n s ，s u b c o n v e x l i k e ，g 一( ，p ) c o n v e x i t y 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得重庞盍堂 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本 研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 、扩 学位论文作者签名：妥弗k 签字日期：沁7 年月6 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解重鏖太堂有关保留、使用学位论文的 规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许 论文被查阅和借阅。本人授权重麽太堂可以将学位论文的全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存、汇编学位论文。 保密() ，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密( 。 ( 请只在上述一个括号内打“4 ”) 学位论文作者签名：茎书卜 导师签名： 学位论文作者签名：丕爷卜 导师签名： 签字日期：谰年月易日 签字日期： 日 髭r 重庚大学颈学经论文 1 缝论 i 绪论 l 。l 多曩拣艇剃错究的起源、鏊豹襁意义 多疆标规划( m u l t i o b j e c t i v ep r o g r a m m i n g ) 又称向量优化( v e c t o ro p t i m i z a t i o n ) 或多准则决策( m u l t i c r i t e r i ad e c i s i o nm a k i n g ) ，足近2 0 年来迅速发展起来的一门新 兴学科，作为最优化的个重要分支，它主臻研究在某种意义下多个数值日标的 同时最优化，由于现实世界的大多数最优化问题都要涉及许多个目标，因此，自 为冬代数来，对手多窭搽绶伐纯阕题的磷究，在国际上萼l 莛了入翻极大豹关注帮 重税，瑗论探索不断深入，应用范围西益广泛，研究敬伍迅速妆大。国际与国内 每隔两年都要召开一次多目标规划的专业会议。国际杂志z e i t s c h f i ro fo p e r a t i o n s r e s e a r c h ( z o r ，德) 曾于1 9 9 1 年出版过一期关于向量优化理论的专刊( v 0 1 3 5n o 2 ) ， 指明了向量优化在这之后十年间的发展方向。这一杂志是由德国e r l a n g e n - n u m b e r g 大学黪j a h n 教授主编， 多弱标最饶纯豹莛潆艨该遥灏嚣1 7 7 2 华，警霹f r a n k l i n 藏援出了多嚣标矛篷 如何协调的问题。但国际上一般认为多目标最优化问题最早题由法国经济学家 p a r e t o 予1 8 9 6 年在经济福利理论的著作中提出的。当时他从政治经济学的角度， 把很多不好比较的目标归纳成多目标最优化问题。1 9 4 4 年，n e u m a n n 和m o r g e n s t e r n 又扶慰娥论酶角度，绳啦多个决策者两彼j 嗽又霪稿矛蘑的多晷标决策阀题。1 9 5 1 年，k o o p m a n s 获生产与分靛豹活葫分辑孛掇爨了多嚣蠡最钱纯阏遂，并显第一次 提出p a t e t o 解的概念。阍年，k u h n 和t u c k e r 从数学规划的角度，绦出了向量极值 问题的p a r e t o 最优解的概念，并研究了这种解的充分条件和必要条件。1 9 5 3 年， a i t o 镣人对凸集提出了衡效点的概念。1 9 5 8 肇，h u r w i c z 把多目标最优化问题的 研究攘囊了一般的拓扑囱鬃空间。从此，多秘标娌划逐渐受到人们的广泛关注。 1 9 6 3 冬，z a d e h 又获控稍论筢角度鬟塞多嚣拣羧镶霹莲。1 9 6 8 筝，j o h l l g e n 系统遗 提出了关于多目标决策模缀的研究报告，这怒多目标最优化这门擘开始大发展的 一个转折点。 多翮标最优化问题从p a r e t o 正式提出到j o h n s e n 的系统总结，先后经过了六、 七十簪的时间。但是，多隧标最优化的真正必旺发达时期，并鼹厩式作为一个数 学分支避簿系统硬究，题毛毯纪七卡年我戳瑟瑟事猿。众瑟震籁，k o o p m a n s ( 1 9 5 1 年) 扶数鬣经济角度对多秘标最优纯所作的基本工作，以及k u l m 和t u c k e 坟1 9 5 1 年) 关于向擞极值问题的赕研究为这一学科的建立奠定了重骚基础。稍后， h u r w i c z ( 1 9 5 8 年) 把多目标爆优化问题的研究推向了一般的拓扑向嫩空间，终于使 得这一学科的抽象理论为数学家们所广泛接受。从此，不少著名科学家先后转入 重庆大学硕士学位论文 l 绪论 这一领域的研究，取得了许多有意义的结果。 到目前为止，多目标最优化不仅在理论上取得了许多重要成果，而且在应用 上其范围也越来越广泛。多目标决策作为一个工具，在解决现代经济，工程技术， 军事，管理等领域的问题，正起着重要作用。比如在无人驾驶飞行器动力学，船 舶外壳设计，桁架优化设计及经济管理等方面现在都有广泛的应用。 1 2 国内外多目标规划的理论研究现状综述 多目标规划理论涉及的范围十分广泛，下面仅就几个方面的内容来呈现其国内外 研究现状。 1 2 1 广义凸性的研究 广义凸性( g e n e r a l i z e dc o n v e x i t y ) 是目前运筹学领域研究的重要课题。每年国际 上主要运筹学期刊和其他相关的一些期刊都发表大量的广义凸性问题及其在最优化 应用文章。由l u c ，s c h a i b l e ，a v r i e l 等专家牵头成立的国际广义凸性工作组( w o r k i n g g r o u p o ng e n e r a l i z e dc o n v e x i t y ，简称w g g c ) 在网上m t t p ：g e n c o n v e e u n i p i i t ) 组织 各种讨论，发布广义凸性的最新进展，以及提供各种学术会议的消息。所有这些表 明国际运筹界同仁对广义凸性研究是感兴趣的，且十分重视。 第一个研究水平集是凸集的学者d e f i n e t i i ，他没有称这类函数为拟凸函数，但 是他发现这一类函数包含所有凸函数和一些非凸函数。f e n c h e l 第一个称这类函数为 拟凸函数，并且比较系统地研究了它的性质。较早地利用拟凸函数固有的结构推广 凸函数的结果的是n i k a i d o ，他用b r o u w e r 的不动点定理推广了v o nn e u m a n n 极小 极大原理，稍后，b e r g e 利用k a k u m a n i 定理修改了n a s h 和s i o n 的定理。在最优化 方面，s l a t e r 较早地推广了k u h n - t u c k e r 鞍点等价定理。a r r o w 和e n t h o v e n 在1 9 9 6 年第一次发表处理拟凹最优化问题并应用到经济方面。从上个世纪六十年代末期开 始，从事广义凸性研究的学者逐渐多起来，并得到了许多重要结果。 凸函数的推广多种多样，如拟凸函数、伪凸函数、p 一凸函数、f 凸函数、广义 f - 凸函数、i f , p ) 凸函数、e 凸函数、弧式凸函数、不变凸函数、似凸函数、次似凸 函数等。在1 9 8 6 年，j e y a k u l l l a r ( 见文 1 6 】) 在r “空间提出了锥次似凸向量值函数的概 念；在1 9 9 0 年，李泽民( 见文 3 】) 在序线性拓扑空间中定义了锥次似凸向量值函数的 概念，并在此凸性假设下获得了择一定理，讨论了向量极值问题的广义k u h n - t u e k e l 条件和l a g r a n g e 乘子存在定理；在1 9 9 2 年，杨新民( 见文 1 8 】) 提出了广义锥次似凸 向量值函数的概念，并在此凸性假设下，证明了向量极值问题的一些定理；在1 9 9 8 年，陈光亚，戎卫东( 见文 1 9 1 ) 在序线性拓扑空间中讨论了广义锥次似凸向量值函数 的一些重要性质；在1 9 9 9 年，i l l e s 和k a s s a y ( 见文 2 0 】) 在实线性拓扑空间中介绍了 广义似凸函数的概念，讨论了广义似凸函数下的择一定理，进而得到了广义似凸规 2 重庆大学联学蕴论文l 绪论 划的最优性条件；在2 0 0 0 锥，黄永伟( 见文 6 5 9 在序线性拓扑空间中定义了广义锥 次似凸向最值函数的概念。f 凸函数，f 一拟凸函数，f 伪凸函数分别是凸函数，拟凸 函数，伪凸函数的推广。在1 9 9 2 年，p r e d a ( 见义【8 8 】) 首先介绍了( f ，力凸函数的概 念，它麓p 凸丞数农尹瑟蕊数戆摇广。在1 9 9 6 冬，x 珏( 觅文【8 翻) 终f - 7 只力凸逶 数，建立了广义( f ，加凸灏数；在2 0 0 1 年a g h e z z f 和h a c h i m i ( 豫文【9 0 】) 进一步摧 广了( f ，p ) 凸函数，并且给出了( f ，p ) 一拟凸，( f ，p ) 一伪凸，严格( f ，p ) 一伪凸函数之 间的关系，并发展了x u 的结果；同年，l i a n g ，h u a n g 和p a r d a l o s ( 见文 1 9 在( f ，p ) 一 凸的基础上建立了更为广泛的凸性条件，即( f ，掰，肛d ) 凸，并绘出了此类凸与 ( 只尹一燕，f 一蓬，p 惑，零交凸之闯戆关系；在2 0 0 3 年，c h e ng u a n - y a ( 觅交 秘2 1 ) ，y 飘蘸觅文氍3 3 ) 讨论了广义( f ，a ，p 国一热函数；在1 9 9 7 年d r a g o m i r ( 觅文净 ) 给出了s - o r l i c z 凸函数；在2 0 0 2 年，陈修素( 见文【4 6 ) 利用新定义的s 右导数，推广了 s - o r l i e z 凸函数，提出了向量慎函数的锥d s 凸。 1 2 2 解的性质的研究 关予最优纯阖题解豹馁震戆舔究是缀多豹，诸如最饯性条绛，存在性，稳定性， 连逶毪、解与解之嗣静关系笛，萁孛，最优髅条件豹硕究是最优纯壤论静一个重要 内容，也是国内外许多专家、学者广泛研究的课题之一。最优性条件不仅为算法提 供理论熬础，而且与最优化的其他理论，如有效性理论，稳定性理论，对偶理论等 有着密切的关系。在最优性条件的研究中，择性定理起着桥梁作用，它是研究最 傥性条锋靛有裂工具。 在1 9 7 6 年，l i n 在菜鳖约寒燕貉条终下，瓣一般多鼙稼纛麓绘滋鼯t 必要条棒。 在1 9 7 7 年，b o r w e n 利用切镶给出了一些最优饿条件。在1 9 7 9 年，廒玫茜对伪凸多 目标规划的有效解和弱有效解抛开约束规格，建虚了若干类型问题的充要条件和判 别准则。猩1 9 8 2 年，h a n s o n 和m o n d ( 见文 2 1 】) 在函数的f 拟凸和f ，伪凸的假定下 证骧了k u h n - t u c k e r 最优饿究分条件。1 9 8 2 年舞始，袜铿云对k - t 祭传的充分性进 行了一系歹硬究。奁1 9 8 2 霉，m a l i w e n t 在f r e e h e t 霹镦意义下磺究簸往往条终。在 1 9 8 4 年，t 海交大的两位研究生在胡毓达指导下，在一般空间申讨论了五个k - t 条 件。在1 9 8 7 年，s i n g h ( 见文【2 0 】) 讨论了有限维可微多目标规划的最优性条件。在1 9 9 4 年，李泽民( 见文【2 3 ) 推广了陈光亚( 见文 2 8 1 ) 的结果，讨论了半无穷维向量最优化问 题的最优性条件，他以f r e c h e t 导数为工具，导嬲了向量极值问题的k - t 型一阶充分 纛必要条传激及二玲充分条终，在1 9 9 6 年羹文【2 餐) ，又透蓬建立线往菝羚空麓孛 的择一饿定理，得出了无穷缳可微商量极值问题的最优性条俘。在1 9 9 9 年，i l l e s 和 k a s s a y ( 见文【2 0 】) 建立似凸函数的一般形式的择一你定理，得到了同时含有等式与不 等式约柬的似凸规划的最优性条件，从不同侧丽推广了h a y a s h i 和k o m i y a ( 见文 【2 9 ) ，s i m o n s ( 见文【3 0 9 ，c r a v e n 和j e y a k u m a ( 见文【3 1 ) g w i n n e r j e y a k u m a r ( 见文 3 重庆大学硕士学位论文1 绪论 3 2 ) ，t a r d e l l a ( 见文【3 3 】) ，t a m m i n e n ( 见文 3 4 】) 等的结果。在2 0 0 3 年，陈秀宏( 见文【3 5 】) 给出了正切锥真有效解的定义，在锥方向导数的假设下，讨论了一类单目标问题的 最优性必要条件，同时，利用正切锥方向导数定义了一类正切锥f 凸函数类，并给 出了正切锥真有效解的充分条件。 最近这些年来，对集值映射向量最优化问题的最优性条件的研究也取得了许多 成果。把单值映射推广到集值映射的工作主要开始于二十世纪九十年代，到目前为 止这些工作仍在有条不紊地进行着。如c o f l e y ( 见文 3 6 1 ) 在实赋范空间中通过导数给 出了集值映射极大极小问题的最优性条件；s o n g ( 见文 3 7 1 ) 在局部凸空间中通过凸锥 分离定理讨论了弱凸和非凸集值映射规划问题的最优性条件和对偶性；l i n ( 见文【3 8 ) 在实线性拓扑空间中通过定义弱次微分的概念，推广了集值映射的 m o r e a u r o c k f e l l a r 型和f a r k a s m i n k o w s k i 型的择一定理，然后得到了弱极小点存在 的k - t 型必要条件；李泽民( 见文【4 】) 则在抽象的实线性空间中，用凸集分离定理建 立了次似凸集值映射的择一性定理，进而获得了最优性条件。关于集值映射的最优 性条件的研究成果还有很多，有兴趣的可以参阅文献 3 9 】，【4 0 ， 4 1 ， 4 2 】，【4 3 ， 4 4 】， 4 5 等。 1 2 3 最优性条件 最优性条件是最优化理论中的重要研究课题之一。在非线性规划的算法研究 中，人们常以最优性条件作为算法迭代运算终止的依据。在多目标优化理论中， 最优性条件与解的有效性理论，稳定性理论和对偶性理论紧密相关。最近的一些 文章还表明，研究向量优化最优性条件与揭示向量变分不等式，向量均衡问题的 解的存在性条件，能相互补充，相得益彰。 从八十年代后期以来，人们对可微与非可微，凸与非凸的向量优化问题的一、 二阶最优性条件做了许多研究，并取得了一些有意义的成果。例如，李泽民教授( 见 文 3 】) 1 用g a t e a u x 一阶导数刻画了向量极值问题弱有效解k - t 型必要条件，用二阶 导数描述最优性充分条件，还证明了l a g r a n g i a n 乘子存在性定理。陈修素和罗国 光( 见文【4 6 ) 考虑了向量优化问题弱有效解的二阶最优性条件。李泽民教授( 见文 2 3 ) 研究了半无穷维向量极值问题的最优性条件，即用f r e c h e t 导数方式给出向量 优化问题k - t 型一阶充分与必要条件以及二阶充分条件。李泽民( 见文 4 7 】) 在序线 性拓扑空间中，利用择一性定理和二阶g a t e a u x 一微分表示的t a y l o r 公式，导出无 约束向量优化问题的二阶最优性充分条件与必要条件。b o l i n t i n e a n r 与m a g h r i ( 见文 4 8 】) 在一些约束规格假设下，证明了多目标问题局部有效解的一、二阶最优性必 要条件和二阶充分条件。a g h e z z a f 与h a c h i m i ( 见文 4 9 ) 基于二阶切集( s e c o n d o r d e r t a n g e n ts e t s ) ，在有限维空间中，研究了含等式与不等式的向量优化问题二阶充分 和必要条件。扬晓琪( 见文【5 0 】) 定义了b a n a c h 空间中广义d i n i 二阶方向导数，并 4 重庆大学硕士学位论文1 绪论 用它描述了向量优化问题的高阶最优性必要条件。t a a ( 见文 5 l 】) 在目标和约束函数 的h a d a m a r d 方向导数均存在的条件下，用j e y a k u m a t ( 见文 1 6 ) 的择一性定理证明 了非凸，非光滑向量优化问题的最优性条件。 由于锥类凸性的推广和解的有效性的精炼，非凸单值映射下的向量优化问题 的最优性条件和l a g r a n g i a n 乘子存在性定理，在近年来又有了新的进展。l o r i d a n ( 见 文 5 2 1 ) 在掣中介绍了近似有效解( 占e f f i c i e n ts o l u t i o n ) 亥l j 画了它的一些性质；并以 此提出了向量优化问题的近似有效解，证明了近似有效解意义下的最优性条件。 y o k o y a m a ( 见文 5 3 9 在抽象空间中也做类似l o r i g a n ( 见文 5 2 9 的工作。戎卫东( 见文 5 4 】) 在h a u s d o r f f 线性拓扑空间中，引进近似b e n s o n 真有效解( s 一真有效解) ：在锥 次类凸单值映射下，利用李泽民( 见文 3 ) 中的择一性定理，建立起向量优化占有 效解，占一真有效解与相应的标量化问题的最优解之间的关系。 李仲飞、汪寿阳( 见文 5 5 】) 证明了向量优化的b e n s o n 真有效解，b o r w e i n 真有 效解的等价性；研究了b e n s o n 真有效解下的l a g r a n g i a l l 乘子存在定理，详细讨论 了l a g r a n g e 函数的弱鞍点存在的充分条件与必要条件，同时也揭示了鞍点与真有 效解，弱鞍点与弱有效解之间的关系。i l l e s 与k a s s a y ( 见文【5 6 ) 在近类凸单值映射 与正规性假设下，证明了单值向量优化问题的最优性条件。陈光亚，戎卫东( 见文 【1 9 】) ，b o r w e i n 与z h u a n g ( 见文【5 7 】) 分别对向量优化的b e n s o n 真有效性和超有效性 ( s u p e re f f i c i e n c y ) 进行了刻画。b o i s s a r d ( 见文 5 8 9 在b o r w e i n ( 见文【5 7 】) 超有效点的基 础上，提出超下确点( s u p e ri n f i m a ) ，并研究他的一些性质。b o i s s a r d ( 见文 5 8 】) 还利 用d o l e c k i 等( 见文 5 9 ) 1 - 闭包( u p p e rd o s u r e ) 的概念定义了向量优化问题的超下确 解，依此得到了标量化结果与l a g r a n g i a n 乘子法则。t a m m i n e n ( 见文 3 4 1 ) 在内点假 设下证明了内在乘子法则；在广义约束规格条件下，证明了l a g r a n g i a n 乘子存在 定理。 不同的( 广义) 约束规格是研究非凸向量优化问题的l a g r a n g i a n 乘予存在性，以 及k - t 型最优性条件的一个必备条件。集值向量优化问题的最优性条件和 l a g r a n g i a n 乘子存在性研究工作是从c o r l e y ( 见文【6 0 、【6 u ) 开始的。到九十年代， 尤其是后期，随着集值分析学的发展，人们可以通过各种不同的途径去刻画集值 优化问题的最优性条件及l a g r a n g i a n 乘子。这些途径主要有：锥( 弱) 次微分，相依 ( 上) 导数，各种意义下的切导数，以及广义的集值方向导数等。c o r l e y ( 见文 6 0 1 ) 讨论了集值向量优化极大化问题，定义了l a g r a n g e 映射( 也是一种集值映射) ，证 明了在半紧和上半连续的条件下，无约束集值极大化问题存在强极大解。 1 3 鞍点和对偶理论的研究 鞍点理论具有广泛的应用背景，例如：非合作博弈中纳什均衡点的求解就是 重庆大学硕士学位论文 1 绪论 这一类型博弈数学模型的鞍点。鞍点理论仍处于不断发展之中。减弱鞍点的存在 性条件( 如拟凸性，半连续性等) 与定义新的广义鞍点是鞍点理论发展的两大主题。在 向量优化问题中l a g r a n g e 函数的鞍点与向量优化问题的( 弱) 有效解，及其l a g r a n g e 型对偶问题( 弱1 有效解有着密切的联系。 向量极值问题的对偶理论，在向量最优化理论中占有重要地位，是同时讨论一 对规划问题之间的重要关系的理论，它对向量极值问题的求解以及最优性条件的 揭示等起着重要作用，而且，由于对偶性有其客观存在的实际背景，因此，其在 生产实践中也有重要的应用价值。给定原问题，如何建立它的对偶问题，目前已 有好几种方法。对于每一种方法，都有其相应的对偶理论。常见的对偶类型有： l a g r a n g e 对偶型，对称对偶，自身对偶型，共扼对偶型等。 l a g r a n g e 对偶型，也叫w o l f e 对偶型，因为在单目标最优化问题的对偶理论 中，w o l f e 首先建立了这种对偶理论。它是目前最常见的一种对偶型，它是利用 l a g r a n g e 函数来建立其对偶，并与鞍点理论密切相关。在1 9 8 4 年，l u e ( 见文 【6 8 】) 研究了m 凸函数的l a g r a n g e 对偶，在m 一连续的基础上和m 凸性假设下 得到了鞍点定理和对偶定理；在1 9 8 6 年，l a i 和h o ( 见文 6 9 】) 研究了凸多目标 规划问题的p a r e t o 最优性f r i t z - j o h n 型充分条件，并建立了非线性非可微凸多目标 规划问题的l a g r a n g e 对偶，讨论了p a r e t o 最优解的向量l a g r a n g i a n 性质和广义 鞍点性质；在1 9 8 9 年，应玫茜( 见文 7 0 1 ) 定义了有限维向量值函数的鞍点，证 明了鞍点存在的充分条件以及非控解意义下强对偶定理；在1 9 9 3 年，李中飞， 汪寿阳( 见文 7 2 1 ) 在r n 中定义了弱鞍点，在次似凸映射下证明了弱鞍点定理， 导出了弱有效解下的l a g r a n g e 对偶；在1 9 9 4 年，t a m m i n e n ( 见文 3 4 1 ) 定义了无 穷维向量优化问题的l a g r a n g e 对偶，证明了弱对偶和强对偶定理；在1 9 9 6 年， s i n g h ( 见文【2 2 】) 在真有效解的意义下建立了l a g r a n g e 对偶，得到了l a g r a n g e 鞍 点定理及相应的弱对偶和强对偶。 l a g r a n g e 对偶与鞍点理论密切相关。t a m m i n e n ( 见文 3 4 1 ) 定义了有限维向 量值函数的鞍点，证明了鞍点存在的充分与必要条件，以及非控解意义下的强对 偶定理。李仲飞和汪寿阳( 见文 7 6 1 ) 在尺“中定义弱鞍点，在次似凸下证明了弱 鞍点定理，导出了弱有效解意义下的l a g r a n g e 对偶定理，包括弱对偶、强对偶等。 黄正海等在近次似凸单值映射下，把李仲飞( 见文 7 6 1 ) 的结果推广到h a u s d o r f f 线性拓扑空间中去。t a m m i n e n ( 见文 3 4 】) 定义了无穷为向量优化问题( 含等式与不 等式) 的l a g r a n g e 型对偶问题，证明了弱对偶、强对偶定理。陈光亚和戎卫东( 见 文 4 0 1 ) 用b e n s o n 有效点定义了单值向量优化真对偶映射，以它为目标函数，建立 极大化问题为原问题的对偶问题，讨论了弱对偶、强对偶定理，在强对偶定理中， 他们只证明了原问题的b e n s o n 真有效解与对偶问题的弱有效解的等价性。f r e n k 6 重庆大学硕士学位论文 1 绪论 和i o s s a y ( 见文【5 0 】) 在有限维实线性空间中，用上、下确界定义了对偶问题，然后 借助于择一定理证明了直接对偶定理。在定义的对偶问题下，原问题的最优解与 对偶问题的最优解恰好组成l a g r a n g e 函数的鞍点。 共轭对偶为最优化对偶理论提供了同一的理论框架。r o c k a f e l l a r ( 见文 1 7 1 ) 对单目标最优化的共轭对偶理论做了较完整的研究。t a n i n o ( 见文 8 6 ) 在弱有效性 基础上，十分合理地定义了r 4u 仕o o ) 中集合的上、下确界，也定义了集值映射的 弱次梯度、弱次微分，并讨论了集值映射弱次微分与二次共轭映射的关系。t a n i n o ( 见文 8 6 】) 进一步推广自己的结果到一般的线性拓扑空间中去，引入虚点o o ， 定义集合的上、下确界和集值映射的共轭映射与与二次共轭映射，并把相关结果 进行了推广。宋文注意到t a n i n o ( 见文 8 7 1 ) 中关于向量优化问题对偶理论的强对 偶定理，即稳定性准则，只在有限维空间中成立，于是他把t a n i n o 的这个结果推 广为更一般的情形，即在无穷维空间中给出稳定性结果，同时还给出了无约束和 有约束两类集值优化问题的共轭对偶定理。 1 4 本文的主要研究工作 广义凸性多目标规划以及抽象空间中的多目标规划已经引起了人们极大的兴 趣与关注，并取得了许多重要结果。尽管如此，仍然有许多理论问题尚处于发展 完善之中。 最优性条件是最优化理论中的重要研究课题之一。在非线性规划的算法研究 中，人们常以最优性条件作为算法迭代运算终止的依据。在多目标优化理论中， 最优性条件与解的有效性理论，稳定性理论和对偶性理论紧密相关。最近的一些 文章还表明，研究向量优化最优性条件与揭示向量变分不等式，向量均衡问题的 解的存在性条件，能相互补充，相得益彰。 从八十年代后期以来，人们对可微与非可微，凸与非凸的向量优化问题的一、 二阶最优性条件做了许多研究，并取得了一些有意义的成果。我这篇文章从三个 部分来讨论最优性条件。 第三章是在参考文献 1 的基础上完成的，参考文献 1 发表在j o t a 上，它在 欧氏空间中用梯度描述了具有不等式约束的分式规划k _ t 型最优性条件，我将这 个结果推广到b a n a c h 空间，在b a n a c h 空间利用泛函梯度引入了( f ，口，p ，d ) 凸 性的概念，然后在目标函数与约束函数具有( f ，口，p ，d ) 凸性的条件下，得到 用泛函梯度描述的k t 型最优性充分条件。 第四章是在参考文献 3 的基础上完成的，主要考虑序线性拓扑空间中多目 标规划k - t 型最优性条件，我将g 一可微和凸性的等价关系推广到序线性拓扑空间 中，再结合次似凸映射下的择一定理在目标函数与约束函数具有次似凸的条件下， 得到序线性拓扑空间中多目标规划k - t 型最优性充分条件。 7 重庆大学硕士学位论文 1 绪论 第五章在参考文献 a 2 的基础上完成的，主要利用c l a r k e 次梯度来讨论目 标函数和约束函数在经典意义下不可微的多目标分式规划的弱广义l a g r a n g e 鞍点 问题，参考3 礅 1 2 3 利用c l a r k e 次梯度给出了g - ( f ，p ) 凸的概念，我在目标函 数与约束函数具有g - ( f ，p ) 凸的条件下得出了目标函数和约束函数在经典意义 下不可微的多目标分式规划的弱广义l a g r a n g e 鞍点的充要条件。 重庆大学硕士学位论文 2 预备知识 2 预备知识 2 1 线性空间中的凸子集 设矿是实线性空间，它不止含有一个点，集合d 是v 的子集。 2 1 1 凸集及其基本性质 定义2 1 1 6 1 称集合j d 是( 矿中的) 凸集或集合d 是凸的，若帆1 ，d 对任意的 旯【o ，1 】有 2 x i + ( 1 一a ) x 2 d 。 命题2 1 【6 】集合d 是( 矿中的) 凸集营v x ，y d ，i x ，y c d 。 其中 x ，y 】表示以工，y 为端点的线段。 集合d 是( v 中的) 凸集的充要条件是d 中的任何有限个元素的凸 组合男于d 。( 设工矿， o ( i = 1 , 2 ，n ) ，丑= 1 ，则称向量 x = 罗丑一是( 工1 ，) 的凸组合。 9 1 集合d 是( 矿中的) 凸集的充要条件是 ( 口+ f 1 ) d = a d + 印v o t ，r + 。 在线性变换下，凸集的象和逆象是凸集。 任意多个凸集的交集是凸集。 凸集的笛卡儿积是凸集。 若集合d ，e 是( 矿中的) 凸集，则d + e = i d + p ：d d ，p e ， 2 t 9 = 射：d d 亦是凸集，其中旯r 。 2 1 2 凸锥、代数对偶锥及其基本性质 设集合k 是v 的子集。 定义2 2 【6 1 称集合置是( v 中的) 锥，若对任意的x k ，有 触kv a 0 。 称足为点锥，若锥k 含有原点o ，且置n ( 一k ) = d 。称足是凸锥，若锥髟是凸的。 定义2 3 【6 1 称置为正锥，若k 是含有原点d 的凸锥，记为足。具有正锥的线性空 间称为序线性空间。 定义2 4 【6 1 称集合d 。= 扛d ：v v v ，j 占 o 葡x ，石+ 删】c d ) 为d 的代数内部。 x d 称为d 的代数内点。称集合d 是代数开集，如果d = d 。 命题2 2 t 6 1 设x d ，则x d 。v v v ，了占 o ，s j h 一删，工+ 删】c d 。 x d 的充要条件是；v v v ，j 占 o ，s t x + t v d ，v t ：纠t 占。 设集合d 是( v 中的) 凸集，x d ，y d ，则k 力c d 。 若集合d 是( 矿中的) d h 集，则d 是凸集。 9 重庆大学硕士学位论文 2 预备知识 设集合d 是( 矿中的) 凸集，我们有( d ) = d 。 设】，是序线性空间，具有代数内部非空的正锥一，一y 。f 表示e 的代数内 部，v y ，y y ，在y 中引入如下序关系： y y 营y y e ， y y 营y y 。 y y y y f ，y y 。 定义2 5 6 1 设l ，是实线性空间，定义】，为线性泛函y - - r 的全体，在点态加法和 数乘意义下，l ，也是一线性空间，称l ，+ 为】，的代数对偶。 定义2 6 【6 1 设，表示】，的代数对偶，称 巧= 秒y 。：( _ y ，y ) o ，v y 为y + 的代数对偶锥，其中( y ，y 表示线性泛函，在点y 的值。 命题2 3 4 1 下列条件等价： 1 ) k 是凸锥。 2 ) x + y k ，a x k ，v x ，y k ，v 0 。 3 ) a x + p y k ，v x ，y k ，v a ， 0 。 l + 墨c 一。 设r 是一实线性空间，具有代数内部非空的正锥e ， y 一，y o ，y 群，贝0 ( y ，y 0 。 设一，z + 分别是实线性空间】，z 的正锥，则 ( lx z + ) = f z ：。 设一，z + 分别是实线性空间】，z 的正锥，则 ( l z + ) = 砰z ：。 2 2 线性空间中的凸集分离定理 为简便起见，我们常写f ( a ) a 代替( v x a ) f ( x ) 口，f ( b ) a ，则称日严格分离4 和b 。 命题2 3 ( 线性空间中的分离定理) 【6 1 设爿，bc 7 v 是两个凸集，a o ，且b o ，a n b 。= a ，则存在v 中的超平 面真分离a 和曰。 1 0 重庆大学硕士学位论文 2 预备知识 2 3 线性拓扑空间中的凸子集 线性拓扑空间首先是线性空间，因此前面所叙述过的定义、性质等在线性拓 扑空间中均可继承。但由于空间引进拓扑结构，使空间具有更多较好的性质。 设y 是实线性拓扑空间，ecy 是】，中拓扑内部非空的一个正锥，用y 表示y 的拓扑对偶空间，即】，+ 是y 到r 的线性连续泛函的全体。e 的对偶锥定义如下： 耳= 扫r ： j ，y ) o ，v y 其中( y ，y ) 表示线性连续泛函y 在点y 的值y ( y ) 。 设a c y 是非空的，彳的拓扑内部记为i n t 彳。 命题2 4 【6 1若4 是凸的，则i n t a c a 设b c y 且i n t b g ，u 匕y 是开集，石y ，五r ，a c y ，则 1 ) 2 u ，x + u ，a + u 都是开集。 2 ) 4 + i n t b c i n t ( a + b 、。 若a 是凸集，i n t a 非空，则i n t 爿也是凸集。 命题2 5 1 2 6 1 设，z + 分别表示实线性拓扑空间y ，z 的正锥，i n t y + g ，i n t z + g + i n t c i n t 一。 i n t t 是一个凸锥，但不含原点。 ( e z + ) = 耳z ：。 i n t ( 一z + ) = i n t e i n t z + 。 若y ，y o ，y i n t t ，则 0 。 命题2 6 ( 线性拓扑空间中的分离定理) 同 设彳，曰是实线性拓扑空间中l r 的两个凸子集，a a ，i n t ( b ) a ，且 a n i n t ( b ) = o ，则存在y 中的闭超平面真分离4 和b 。 2 4g a t e a u x 微分f r e c h e t 微分及其性质 设x 是实线性空间，r 是实线性拓扑空间，且是一个h a u s d o r f f 空间，e 是y 中的内部非空的正锥，用r 表示i ，的拓扑对偶。 定义2 8 1 4 7 设i x ，妒x ，厂：x